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含参变量积分的性质

四．含参变量积分的性质

定理 0.1 （连续性定理）设 $f(x, y)$ 于 $I \times[c,+\infty)$ 上连续，参变量 $x$ 的广义积分 $F(x)=\int_c^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上内闭一致收玫，则 $F \in C(I)$ ．

证 对于点 $x_0 \in I$ ，取 $I$ 中的一个内闭区间 $I_1{ }^{(1)}$ ，使得 $x_0, x \in I_1$ ．按一致收玫的定义，对 $\forall \varepsilon>0, \exists d_{\varepsilon}>c, \forall d>d_{\varepsilon}, \forall x \in I_1$ ：

$$
\left|\int_d^{+\infty} f(x, y) d y\right|<\frac{\varepsilon}{3}
$$

固定这个 $d$ ，作如下分拆（这就是引入广义积分一致收玫的引言中的做法）：

$$
\begin{aligned}
\left|F(x)-F\left(x_0\right)\right| & \leqslant\left|\int_c^d\left[f(x, y)-f\left(x_0, y\right)\right] d y\right| \\
& +\left|\int_d^{+\infty} f(x, y) d y\right|+\left|\int_d^{+\infty} f\left(x_0, y\right) d y\right|
\end{aligned}
$$

则当 $x \in I_1$ 时后两项分别小于 $\varepsilon / 3$ ．对第一项则（如含参变量常义积分那样处理）利用 $f$ 在 $I_1 \times[c, d]$ 上二元连续，存在 $\delta>0, \forall x \in O_\delta\left(x_0\right) \cap I_1$ ，使得第一项也小于 $\varepsilon / 3$ ，于是就成立 $\left|F(x)-F\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ．

注 对于有多个奇点的情况结论同样成立．

现在重新回顾 p． 226 的例 5．即要证明积分 $F(s)=\int_0^{+\infty} s e ^{-s y} d y$ 在 $s \in[0,1]$上不一致收敛。

实际上可以直接求出 $F(0)=0$ ，而在 $0<s \leqslant 1$ 时

$$
F(s)=-\left.e^{-s y}\right|_{y=0} ^{y=+\infty}=1
$$

可见 $F(s)$ 在 $[0,1]$ 上有间断点，因此根据连续性定理知道积分 $\int_0^{+\infty} s e ^{-s y} d y$ 对于 $s \in[0,1]$ 不一致收敛．

定理 0.2 （积分顺序交换定理）在定理 1 的条件下，若区间 $I=[a, b]$ ，则

$$
\int_a^b F(x) d x=\int_a^b d x \int_c^{+\infty} f(x, y) d y=\int_c^{+\infty} d y \int_a^b f(x, y) d x
$$

（1）若 $I$ 本身已是有界闭区间，则取 $I_1=I$ ．又若 $x_0$ 为 $I$ 的内点，则也应当使得 $x_0$ 是 $I_1$ 的内点，这样才能最后得到 $F$ 在点 $x_0$ 双侧连续．

证 任取 $d>c$ ，记 $F_d(x)=\int_c^d f(x, y) d y$ ，则有

$$
\int_a^b F_d(x) d x=\int_a^b d x \int_c^d f(x, y) d y=\int_c^d d y \int_a^b f(x, y) d x .
$$

写出

$$
\left|F_d(x)-F(x)\right|=\left|\int_c^d f-\int_c^{+\infty} f\right|=\left|\int_d^{+\infty} f\right|
$$

可见定理中的一致收敛条件就是 $F_d(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $F(x)$ ．令 $d \rightarrow+\infty$ ，这样就有

$$
\lim _{d \rightarrow+\infty} \int_a^b F_d(x) d x=\int_a^b F(x) d x
$$

（这与第十四章中一致收敛函数列的积分极限定理完全相同（见上册 p．364），只是当时的自变量是离散的正整数 $n$ ，其余无差别．这样就得到所要求证的

$$
\int_a^b F(x) d x=\int_a^b d x \int_c^{+\infty} f(x, y) d y=\int_c^{+\infty} d y \int_a^b f(x, y) d x .
$$

注 注意同时就证明了上式右边的广义极限收敛，也就是证明了作为 $y$ 的函数 $\int_a^b f(x, y) d x$ 在 $[c,+\infty)$ 上广义可积．
定理 0.3 （求导与积分交换定理）设二元函数 $f(x, y)$ 及其偏导函数 $f_x^{\prime}(x, y)$在 $I \times[c,+\infty)$ 上连续，积分 $\int_c^{+\infty} f_x(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上内闭一致收敛，又存在点 $x_0 \in I$ 使得积分 $\int_c^{+\infty} f\left(x_0, y\right) d y$ 收玫，则 $F(x)=\int_c^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $x \in I$ 上内闭一致收玫，在 $I$ 上可微，且有

$$
F^{\prime}(x)=\int_c^{+\infty} f_x(x, y) d y
$$

证 先证积分 $F(x)=\int_c^{+\infty} f(x, y) d y$ 在区间 $I$ 上有定义，且内闭一致收敛．
任取一个内闭区间 $I_1 \subset I$ ，且不妨设已经有 $x_0 \in I_1$ 。然后来证明 $F(x)$ 对于 $x \in I_1$ 一致收敛．

对于 $\left[d, d^{\prime}\right] \subset[c,+\infty)$ 和 $I_1$ ，有

$$
\begin{aligned}
\left|\int_d^{d^{\prime}} f(x, y) d y\right| & =\left|\int_d^{d^{\prime}}\left[f\left(x_0, y\right)+\int_{x_0}^x f_x(t, y) d t\right] d y\right| \\
& \leqslant\left|\int_d^{d^{\prime}} f\left(x_0, y\right) d y\right|+\left|\int_{x_0}^x d t \int_d^{d^{\prime}} f_x(t, y) d y\right|
\end{aligned}
$$

（其中最后一式的第二项是通过交换积分顺序得到的．）利用 $F\left(x_0\right)$ 有定义和 $\int_c^{+\infty} f_x(x, y) d y$ 在 $I_1$ 上一致收玫，对 $\varepsilon>0, \exists d_{\varepsilon}, \forall d, d^{\prime}>d_{\varepsilon}$ ，同时成立

$$
\left|\int_d^{d^{\prime}} f\left(x_0, y\right) d y\right|<\varepsilon,\left|\int_d^{d^{\prime}} f_x(t, y) d y\right|<\varepsilon \forall t \in I_1
$$

从而就有

$$
\left|\int_d^{d^{\prime}} f(x, y) d y\right|<\left(1+\left|x-x_0\right|\right) \varepsilon \leqslant\left(1+\left|I_1\right|\right) \varepsilon
$$

根据 Cauchy 准则，可见 $F(x)=\int_c^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $I$ 处处有定义，且内闭一致收敛．为研究 $F$ 的可导性，任取 $x_1, x \in I$ ，对增量 $\Delta F=F(x)-F\left(x_1\right)$ 有：

$$
\begin{aligned}
\Delta F & =\int_c^{+\infty}\left[f(x, y)-f\left(x_1, y\right)\right] d y \\
& =\int_c^{+\infty} d y \int_{x_1}^x f_x(t, y) d t \\
& =\int_{x_1}^x d t \int_c^{+\infty} f_x(t, y) d y
\end{aligned}
$$

这里利用了 $\int_c^{+\infty} f_x(t, y) d y$ 在 $I$ 中内闭一致收敛的条件和上一个关于积分顺序的交换定理。

利用前面的连续性定理，函数

$$
\varphi(t)=\int_c^{+\infty} f_x(t, y) d y, t \in I
$$

在 $I$ 上连续，因此就有

$$
\begin{aligned}
F^{\prime}\left(x_1\right) & =\lim _{x \rightarrow x_1} \frac{F(x)-F\left(x_1\right)}{x-x_1} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{x_1}^{x_1+\Delta x} \varphi(t) d t}{\Delta x}=\varphi\left(x_1\right)=\int_c^{+\infty} f_x\left(x_1, y\right) d y
\end{aligned}
$$

由于 $x_1 \in I$ 的任意性，证毕。
（下一题改写．）

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