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狄利克雷积分

## 狄利克雷积分

`例`设法用含参变量积分的方法计算 Dirichlet 积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ ．
解 1 第一个问题是如何引入参变量．
若考虑 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} d x$ ，则虽然有 $\left(\frac{\sin \alpha x}{x}\right)_\alpha^{\prime}=\cos \alpha x$ ，但 $\int_0^{+\infty} \cos \alpha x d x$ 发散。

考虑

$$
F(s)=\int_0^{+\infty} e^{-s x} \frac{\sin x}{x} d x, s \geqslant 0
$$

然后用积分号下求导的方法在 $s>0$ 时求 $F^{\prime}(s)$ ，并求出 $F(s)$ ，最后得到所要求的 $F(0)$ ．这里的要害是引入了改进收敛情况的因子 $e ^{-s x}$ 。这种方法常称为收敛因子方法．

从例 4 和定理 1 知道 $F(s)$ 在 $s \geqslant 0$ 有定义且连续．若允许在积分号下求导，则就有

$$
F^{\prime}(s)=\int_0^{+\infty}\left(e^{-s x} \frac{\sin x}{x}\right)_s^{\prime} d x=\int_0^{+\infty}-e^{-s x} \sin x d x=-\frac{1}{1+s^2} \text {. }{ }^{(1)}
$$

> 更为复杂的问题是两个无穷限积分的顺序交换的合理性问题．教科书中举出了两个定理。其中定理 4 是经典定理，不难证明，但在很多问题中难以直接应用，需要其他技巧的配合．定理 5 是新结果，但要在 Lebesgue 积分的框架内来证明（见 p．289），不准备讲了．对 p． 234 的例 10 看学期最后有时间的话再说．

于是可从 $F^{\prime}(s)=-\frac{1}{1+s^2}, s>0$ 求出

$$
F(s)=-\arctan s+C
$$

其中 $C$ 是待定常数．
从 $F(s)$ 的表达式可以估计出 $|F(s)| \leqslant \int_0^{+\infty} e ^{-s x} d x=\frac{1}{s}$ ，因此有 $F(+\infty)=0$ ．可见上述常数 $C=\frac{\pi}{2}$ ．这样就确定了 $s>0$ 时函数 $F(s)$ 的表达式．

最后从 $F(s)$ 于 $s=0$ 右连续可以推出

$$
F(0)=\lim _{s \rightarrow 0^{+}} F(x)=\lim _{s \rightarrow 0^{+}}\left(-\arctan s+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}
$$

这样就求出了 Dirichlet 积分的值为
$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}
$$

余下的问题是要验证上述求导运算的合理性。
根据定理 3 ，只要验证含参变量积分 $\int_0^{+\infty}- e ^{-s x} \sin x d x$ 在 $s>0$ 上是否是内闭一致收敛。

实际上对 $\forall \delta>0$ ，当 $s \geqslant \delta$ 时，从余积分的估计有

$$
\left|\int_d^{+\infty}-e^{-s x} \sin x d x\right| \leqslant \int_d^{+\infty} e^{-\delta x} d x=\frac{1}{\delta} e^{-\delta d}
$$

可见当 $d$ 充分大时左边的余积分就可小于事先给定的 $\varepsilon>0$ ，这已可推出积分 $\int_0^{+\infty}- e ^{-s x} \sin x d x$ 在 $s \in(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛。

注 对于类似的问题，即用含参变量方法计算某些积分，经常将验证这一步放到最后。这是因为所设计的解题过程事先不知道是否能够成功。只有成功时才需要去验证中间过程是否合理。

解 2 Dirichlet 积分有多种计算方法。下面的方法仍然依赖于收敛因子，但参变量与解 1 不同．这就是考虑二元函数

$$
J(s, a)=\int_0^{+\infty} e^{-s x} \cdot \frac{\sin a x}{x} d x
$$

其中 $s \geqslant 0, a \geqslant 0$ ．

固定 $s>0$ ，以 $a$ 为参变量，则可以用 $e ^{-

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