最后更新: 2025-10-27 06:19 查看: 151 次纠错评论(0) 课件开VIP

B函数和伽玛函数总结

##  B 函数和 $\Gamma$ 函数
### 定义与基本公式
$B$ 函数和 $\Gamma$ 函数的定义为

$$
\begin{aligned}
B(p, q) & =\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} d x, p>0, q>0 \\
\Gamma(s) & =\int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} d t, s>0
\end{aligned}
$$

用内闭一致收敛性和连续性定理知道这两个函数在它们的定义域上都是连续函数．

Gamma 函数 $\Gamma(s)$ 的图像如下．其中在 $s<0$ 部分是根据下面的递推公式 $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)$ 延拓得到的．
![图片](/uploads/2025-02/59fca8.jpg)

`例` 求 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
解 写出 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^{+\infty} t^{-\frac{1}{2}} e ^{-t} d t=2 \int_0^{+\infty} e ^{-t} d t^{\frac{1}{2}}$ ，作代换 $\sqrt{t}=u$ ，就有 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2 \int_0^{+\infty} e ^{-u^2} d u=\sqrt{\pi}$.
下面的定理集中了 $B$ 函数和 $\Gamma$ 函数的最常用公式．

### 性质
（1）对称性：$B(p, q)=B(q, p)$ ；
（2）递推公式：$\Gamma(s+1)=s \Gamma(s), s>0$ ，特别有 $\Gamma(n+1)=n!$（ $\Gamma$ 函数是阶乘的推广）；
（3）$B$ 函数与 $\Gamma$ 函数的联系：$B(p, q)=\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}, p>0, q>0$ ；
（4）余元公式：$\Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}, 0<s<1$ ；
（5）Legendre 加倍公式：$\Gamma(s) \Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2^{2 s-1}} \Gamma(2 s)$ ．
证（1）在 $B(p, q)$ 的积分定义中用代换 $t=1-x$ 即可．
（2）用分部积分法，当 $s>0$ 时有

$$
\Gamma(s+1)=\int_0^{+\infty} t^s d\left(-e^{-t}\right)=-\left.t^s e^{-t}\right|_0 ^{+\infty}+\int_0^{+\infty} e^{-t} d t^s=s \Gamma(s)
$$

直接可从定义得到 $\Gamma(1)=1$ ，于是有 $\Gamma(2)=1 \Gamma(1)=1, \Gamma(3)=2 \Gamma(2)=2$ ，即可从数学归纳法得到 $\Gamma(n+1)=n$ ！．
（3）从 $\Gamma(p) \Gamma(q)$ 开始将这个乘积看成为二次积分，然后转化为二重积分再用代换：
$$
\begin{aligned}
\Gamma(p) \Gamma(q) & =\int_0^{+\infty} t^{p-1} e^{-t} d t \int_0^{+\infty} u^{q-1} e^{-u} d u \\
& =\int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} t^{p-1} u^{q-1} e^{-(t+u)} d t d u .
\end{aligned}
$$

作代换 $t=x(1-y), u=x y$ ，它将区域 $t>0, u>0$ 变换为 $x>0,0<y<1$ ．计算该代换的 Jacobi 行列式得到

$$
\frac{\partial(t, u)}{\partial(x, y)}=\left|\begin{array}{cc}
1-y & -x \\
y & x
\end{array}\right|=x
$$

这样就得到

$$
\Gamma(p) \Gamma(q)=\int_0^1 d y \int_0^{+\infty} x^{p+q-1} e^{-x} y^{q-1}(1-y)^{p-1} d x=B(p, q) \Gamma(p+q) .
$$

（4）利用（3）的余元公式就有

$$
\begin{aligned}
\Gamma(s) \Gamma(1-s) & =B(s, 1-s)=\int_0^1 x^{s-1}(1-x)^{-s} d x \\
& =\int_0^1\left(\frac{x}{1-x}\right)^s \frac{d x}{x} .
\end{aligned}
$$

作代换 $t=x /(1-x)$ ，则 $x=t /(1+t), d x=\frac{ d t}{(1+t)^2}$ ，代入就有

$$
\Gamma(s) \Gamma(1-s)=\int_0^{+\infty} \frac{t^{s-1}}{1+t} d t
$$

可以证明最后一个积分的值为 $\frac{\pi}{\sin \pi s}$ ．由于这里需要较多的预备知识，从略．

（5）利用例 1 可以将 Legendre 公式改写为 $\frac{\Gamma(s) \Gamma(s)}{\Gamma(2 s)}=\frac{1}{2^{2 s-1}} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma(s)}{\Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)}$ ，也就是 $B(s, s)=\frac{1}{2^{2 s-1}} B\left(\frac{1}{2}, s\right)$ ．这可以证明如下．

写出 $B(s, s)=\int_0^1 x^{s-1}(1-x)^{s-1} d x$ ，利用被积函数关于 $x=\frac{1}{2}$ 为偶函数，因此有

$$
\begin{aligned}
B(s, s) & =2 \int_0^{\frac{1}{2}}[x(1-x)]^{s-1} d x \\
& =2 \int_0^{\frac{1}{2}}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\right]^{s-1} d x=\frac{1}{2^{2 s-1}} B\left(\frac{1}{2}, s\right)
\end{aligned}
$$

用代换 $u=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$ ，得到

$$
B(s, s)=\frac{2}{2^{2 s}} \int_0^1(1-u)^{s-1} u^{-\frac{1}{2}} d u
$$

注 如前所说，在图 1 中的 $\Gamma(s)$ 在 $s<0$ 时是通过公式 $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)$ 延拓得到的．例如从 $\Gamma\left(-\frac{1}{2}+1\right)=-\frac{1}{2} \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ ，就有

$$
\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=-2 \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=-2 \sqrt{\pi} \approx-3.545
$$

`例` 求 $I=\int_0^1 x^5 \sqrt{1-x^3} d x$ ．
解 可以看出用 $x^3=t$ 即可得到

$$
I=\frac{1}{3}=\int_0^1 t(1-t)^{\frac{1}{2}} d t=\frac{1}{3} B\left(2, \frac{3}{2}\right) .
$$

利用 $B$ 函数与 $\Gamma$ 函数的联系就有

$$
I=\frac{1}{3} \cdot \frac{\Gamma(2) \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)}=\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{4}{45} .
$$

`例` 求 $I=\int_0^{+\infty} e ^{-x^3} d x$ ．
解 作代换 $t=x^3$ 得到

$$
I=\frac{1}{3} \int_0^{+\infty} t^{-\frac{2}{3}} e^{-t} d t=\frac{1}{3} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)
$$

`例` 求 $I_{\alpha, \beta}={ }_0^{-\frac{\pi}{2}} \sin ^\alpha \theta \cos ^\beta \theta d \theta$ ．
解 对于可能的奇点 $\theta=0$ ，利用 $\sin \theta \sim \theta(\theta \rightarrow 0)$ 可见收敛的条件为 $\alpha>-1$ ，同样对于可能的奇点 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 得到收敛条件为 $\beta>-1$ ．

在被积表达式中先分出 $\sin \theta \cos \theta d \theta=\frac{1}{2} d \sin ^2 \theta$ ，作代换 $x=\sin ^2 \theta$ ，就有
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
I_{\alpha, \beta} & =\frac{1}{2} \int_0^1 x^{\frac{\alpha-1}{2}}(1-x)^{\frac{\beta-1}{2}} d x \\
& =\frac{1}{2} B\left(\frac{\alpha+1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right) \\
& =\frac{1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\beta+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+1\right)} .
\end{aligned}\\
&\text { 注 若 } \alpha, \beta \text { 中有一个为 } 0 \text { ，另一个为正整数，则就得到过去熟知的公式：}\\
&I_{2 n, 0}=I_{0,2 n}=\frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}, \quad I_{2 n-1,0}=I_{0,2 n-1}=\frac{(2 n-2)!!}{(2 n-1)!!}
\end{aligned}
$$

`例` 求 $I_{\alpha, \beta}=\int_0^{+\infty} \frac{t^\alpha}{(1+t)^\beta} d t$ ．
解 首先确定使广义积分收敛的参数范围．对于奇点 0 ，由于被积函数 $f(t) \sim$ $t^\alpha\left(t \rightarrow 0^{+}\right)$，收敛的条件是 $\alpha>-1$ ．对于奇点 $+\infty, f(t) \sim t^{\alpha-\beta}$ ，因此收敛条件是 $\beta-\alpha>1$ ．

作代换 $u=\frac{t}{1+t}, d u=\frac{ d t}{(1+t)^2}$ ．当 $t$ 从 0 趋于 $+\infty$ 时，$u$ 从 0 趋于 1 ．于是就得到

$$
\begin{aligned}
I_{\alpha, \beta} & =\int_0^1 u^\alpha(1-u)^{\beta-\alpha-2} d u \\
& =B(\alpha+1, \beta-\alpha-1)=\frac{\Gamma(\alpha+1) \Gamma(\beta-\alpha-1)}{\Gamma(\beta)}
\end{aligned}
$$

特别当 $\alpha=s-1, \beta=1,0<s<1$ 时就得到

$$
\int_0^{+\infty} \frac{t^{s-1}}{1+t} d t=\Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}
$$

`例` 证明： $\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^4}} \int_0^1 \frac{x^2 d x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\pi}{4}$ ．
证 只要用代换 $x^4=t$ ，就有 $4 x^3 d x= d t$ ，于是有

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^4}} \int_0^1 \frac{x^2 d x}{\sqrt{1-x^4}} & =\frac{1}{16} \int_0^1(1-t)^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{3}{4}} d t \int_0^1(1-t)^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{1}{4}} d t \\
& =\frac{1}{16} B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) B\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) \\
& =\frac{1}{16} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)}=\frac{\pi}{4}
\end{aligned}
$$

`例` 从余元公式可以得到 $I_n=\int_0^{+\infty} \frac{ d x}{1+x^n}$ 当 $n>1$ 时的一般公式．平时经常见到的是

$$
\begin{aligned}
& I_2=\int_0^{+\infty} \frac{d x}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}, \\
& I_3=\int_0^{+\infty} \frac{d x}{1+x^3}=\frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}, \\
& I_4=\int_0^{+\infty} \frac{d x}{1+x^4}=\frac{\pi}{2 \cdot \sqrt{2}}, \\
& I_6=\int_0^{+\infty} \frac{d x}{1+x^6}=\frac{\pi}{3}
\end{aligned}
$$

此外，从下列证明可见在 $I_n$ 中的 $n$ 对大于 1 的任意实数都成立．
解 为此作代换 $x^n=t, n x^{n-1} d x= d t$ ，就有

$$
\begin{aligned}
I_n & =\int_0^{+\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{1+t} d t=\frac{1}{n} B\left(\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right) \\
& =\frac{1}{n} \Gamma\left(\frac{1}{n}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n} \cdot \frac{\pi}{\sin \frac{\pi}{n}} .
\end{aligned}
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：伽玛Gamma 函数与第二类欧拉Euler积分

下一篇：勒让德公式 legendre

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)