最后更新: 2025-03-17 09:55 查看: 47 次反馈刷题

s趋于无穷大时伽玛函数的态性与Stirling 公式

三．当 $s \rightarrow+\infty$ 时 $\Gamma(s)$ 的性态
这就是将过去关于阶乘的 Stirling 公式推广到 $\Gamma$ 函数，得到同名的公式．
定理 0.2 （Stirling 公式）对于 $\Gamma$ 函数有 $\Gamma(s+1) \sim\left(\frac{s}{ e }\right)^s \sqrt{2 \pi s}(s \rightarrow+\infty)$ ．
分析 下面介绍的方法称为 Laplace 方法，它可以解决许多含参变量积分的渐近性态的分析问题 ${ }^{(1)}$ ．

首先从表达式

$$
\Gamma(s+1)=\int_0^{+\infty} x^s e^{-x} d x
$$

可以看出非负的被积函数于 $x=s$ 处达到最大值，因此在该点附近的函数值对于积分作出最大的贡献（见图 2）．

![图片](/uploads/2025-02/ec94b6.jpg)
  
  由于这个最大值点的位置与参数 $s$ 直接有关，分析起来不方便，我们作代换 $t=\frac{x}{s}$ ，这样就得到

$$
\Gamma(s+1)=s^{s+1} \int_0^{+\infty} e^{-s(t-\ln t)} d t
$$

记 $f(t)=t-\ln t$ ，则 $f$ 在 $t=1$ 处达到最大值 1 ．与前面一样，对于大参数 $s$ 来说，只要 $t$ 离开 1 时被积函数就迅速下降，因此在 $t=1$ 邻近的被积函数对积分作出最大贡献．

写出 $f$ 在 $t=1$ 的 Taylor 展开式，并只写到二次项，就有

$$
f(t)=1+\frac{1}{2}(t-1)^2+O_3,
$$

将它代入积分中，略去上述展开式中未写出的项，就近似地有

$$
\begin{aligned}
\Gamma(s+1) & =s^{s+1} e^{-s} \int_0^{+\infty} e^{-s(t-\ln t-1)} d t \\
& \approx s^{s+1} e^{-s} \int_{1-\delta}^{1+\delta} e^{-\frac{s(t-1)^2}{2}} d t,
\end{aligned}
$$

这里最后将积分集中到点 $t=1$ 的一个 $\delta$ 邻域上 $(\delta>0)$ ，因为可以证明，对大参数 $s$ 来说，在邻域 $O_\delta(1)$ 外的积分可忽略不计。

根据同样的理由，又将积分限扩大为 $(-\infty,+\infty)$ ，这样做的影响对于大参数也非常小，于是就有

$$
\begin{aligned}
\Gamma(s+1) & \approx s^{s+1} e^{-s} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{s(t-1)^2}{2}} d t \\
& =s^{s+1} e^{-s} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{s t^2}{2}} d t \\
& =s^{s+1} e^{-s} \sqrt{\frac{2 \pi}{s}} \\
& =\left(\frac{s}{e}\right)^s \sqrt{2 \pi s}
\end{aligned}
$$

这样就得到了所求的 Stirling 公式（最后一步用概率积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e ^{-x^2} d x=\sqrt{\pi}$ ）．问题就是要证明最后的表达式恰好是当 $s \rightarrow+\infty$ 时的 $\Gamma(s+1)$ 的等价无穷大．

证 从以上分析即可写出

$$
I(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s^s e^{-s} \sqrt{s}}=\sqrt{s} \int_0^{+\infty} e^{-s(t-\ln t-1)} d t
$$

余下的问题只是要证明

$$
\lim _{s \rightarrow+\infty} I(s)=\sqrt{2 \pi}
$$

![图片](/uploads/2025-02/e50048.jpg)

将 $I(s)$ 的积分号下的被积函数写为 $\varphi(t)^s$ ，其中

$$
\varphi(t)=e^{-(t-\ln t-1)}=t e^{1-t}
$$

则可见函数 $\varphi$ 在 $t \in[0,1]$ 上严格单调增加，在 $t \in[1,+\infty)$ 上严格单调减少。

如图3所示，$\varphi(t)^s$ 的图像下的面积随着 $s$增大而越来越小。我们要证明当 $s \rightarrow+\infty$ 时其面积值与 $\sqrt{2 \pi} / \sqrt{s}$ 为等价无穷小量．
取充分小的 $\delta>0$（目前还没有取定），将 $I(s)$ 按照其中积分的积分范围分拆为三项：

$$
I(s)=\sqrt{s} \int_0^{1-\delta}\left(t e^{1-t}\right)^s d t+\sqrt{s} \int_{1-\delta}^{1+\delta}\left(t e^{1-t}\right)^s d t+\sqrt{s} \int_{1+\delta}^{+\infty}\left(t e^{1-t}\right)^s d t,
$$

并在下面分别记为 $I_1(s), I_2(s), I_3(s)$ ．
对于 $I_1(s)$ ，由于在 $[0,1-\delta]$ 上 $\varphi(t) \leqslant \varphi(1-\delta)<1$ ，因此可估计为：

$$
I_1(s) \leqslant \sqrt{s} \varphi(1-\delta)^s
$$

这样就得到 $\lim _{s \rightarrow+\infty} I_1(s)=0$ ．
对于 $I_3(s)$ ，由于在 $[1+\delta,+\infty)$ 上 $\varphi(t) \leqslant \varphi(1+\delta)<1$ ，因此可估计为：

$$
I_3(s)=\sqrt{s} \int_{1+\delta}^{+\infty}\left(t e^{1-t}\right)^s d t \leqslant \sqrt{s} \varphi(1+\delta)^{s-1} \int_{1+\delta}^{+\infty} \varphi(t) d t
$$

由于最后一个广义积分收玫，因此也有 $\lim _{s \rightarrow+\infty} I_3(s)=0$ ．
现在来处理余下的主要部分 $I_2(s)$ 。
利用在 $t=1$ 处展开的 Taylor 公式

$$
t-\ln t-1=\frac{1}{2}(t-1)^2+o\left((t-1)^2\right)(t \rightarrow 1)
$$

也就是有极限

$$
\lim _{t \rightarrow 1} \frac{t-\ln t-1}{(t-1)^2}=\frac{1}{2}
$$

因此对于 $\eta>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $|t-1|<\delta$ 时成立不等式

$$
\left(\frac{1}{2}-\eta\right)(t-1)^2<t-\ln t-1<\left(\frac{1}{2}+\eta\right)(t-1)^2
$$

这样就可以得到关于 $I_2(s)$ 的不等式如下（其中积分变量作了平移后仍记为 $t$ ）：

$$
\sqrt{s} \int_{-\delta}^\delta e^{-s t^2\left(\frac{1}{2}+\eta\right)} d t \leqslant I_2(s) \leqslant \sqrt{s} \int_{-\delta}^\delta e^{-s t^2\left(\frac{1}{2}+\eta\right)} d t
$$

利用概率积分可知当 $s \rightarrow+\infty$ 时上式的左右两边分别收敛于 $\sqrt{\frac{\pi}{1 / 2+\eta}}$ 和

$$
\sqrt{\frac{\pi}{1 / 2-\eta}}
$$

现在综合以上讨论如下：对 $\forall \varepsilon>0$ ，先取 $\eta>0$ ，使得满足

$$
\sqrt{2 \pi}-\frac{1}{6} \varepsilon<\sqrt{\frac{\pi}{1 / 2+\eta}}<\sqrt{\frac{\pi}{1 / 2-\eta}}<\sqrt{2 \pi}+\frac{1}{6} \varepsilon
$$

由此确定 $\delta>0$ ，使得当 $|t-1|<\delta$ 时成立不等式

$$
\left(\frac{1}{2}-\eta\right)(t-1)^2<t-\ln t-1<\left(\frac{1}{2}+\eta\right)(t-1)^2
$$

然后确定 $M$ ，使得当 $s>M$ 时，同时成立

$$
\left|I_1(s)\right|<\frac{\varepsilon}{3},\left|I_3(s)\right|<\frac{\varepsilon}{3}
$$

且成立
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\frac{\pi}{1 / 2+\eta}}-\frac{1}{6} \varepsilon & <\sqrt{s} \int_{-\delta}^\delta e^{-s t^2\left(\frac{1}{2}+\eta\right)} d t \leqslant I_2(s) \\
& \leqslant \sqrt{s} \int_{-\delta}^\delta e^{-s t^2\left(\frac{1}{2}+\eta\right)} d t<\sqrt{\frac{\pi}{1 / 2-\eta}}+\frac{1}{6} \varepsilon
\end{aligned}
$$

从而就成立

$$
\left|I_2(s)-\sqrt{2 \pi}\right|<\frac{\varepsilon}{3}
$$

于是当 $s>M$ 时就成立

$$
|I(s)-\sqrt{2 \pi}| \leqslant\left|I_1(s)\right|+\left|I_2(s)-\sqrt{2 \pi}\right|+\left|I_3(s)\right|<3 \cdot \frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon
$$

刷题

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