最后更新: 2025-10-24 21:09 查看: 123 次纠错评论(0) 课件开VIP

第一类曲线积分

## 一、第一型曲线积分的定义
设某物体的密度函数 $f(P)$ 是定义在 $\Omega$ 上的连续函数．当 $\Omega$ 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量．

现在研究当 $\Omega$ 是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 $\Omega$ 作分割，把 $\Omega$ 分成 $n$ 个可求长度的小曲线段 $\Omega_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，并在每一个 $\Omega_i$ 上任取一点 $P_i$ ．由于 $f(P)$ 为 $\Omega$ 上的连续函数，故当 $\Omega_i$ 的弧长都很小时，每一小段 $\Omega_i$ 的质量可近似地等于 $f\left(P_i\right) \Delta \Omega_i$ ，其中 $\Delta \Omega_i$ 为小曲线段 $\Omega_i$ 的长度．于是在整个 $\Omega$ 上的质量就近似地等于和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(P_i\right) \Delta \Omega_i
$$

当对 $\Omega$ 的分割越来越细密（即 $d=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \Delta \Omega_i \rightarrow 0$ ）时，上述和式的极限就应是该物体的质量．

由上面看到，求具有某种物质的曲线段的质量，与求直线段的质量一样，也是通过 ＂**分割、近似求和、取极限**＂来得到的．下面给出这类积分的定义．

**定义1** 设 $L$ 为平面上可求长度的曲线段，$f(x, y)$ 为定义在 $L$ 上的函数．对曲线 $L$作分割 $T$ ，它把 $L$ 分成 $n$ 个可求长度的小曲线段 $L_i(i=1,2, \cdots, n), L_i$ 的弧长记为 $\Delta s_i$ ，分割 $T$ 的细度为 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \Delta s_i$ ，在 $L_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ．若有极限

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i=J
$$

且 $J$ 的值与分割 $T$ 和点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 的取法无关，则称此极限为 $f(x, y)$ 在 $L$ 上的第一型曲线积分，记作

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s ...(1)
$$

若 $L$ 为空间可求长曲线段，$f(x, y, z)$ 为定义在 $L$ 上的函数，则可类似地定义 $f(x, y, z)$

在空间曲线 $L$ 上的第一型曲线积分，并且记作

$$
\int_L f(x, y, z) \mathrm{d} s ...(2)
$$

于是前面讲到的质量分布在平面或空间曲线段 $L$ 上的物体的质量可由第一型曲线积分（1）或（2）求得．

第一型曲线积分也和定积分一样具有下述一些重要性质。下面列出平面上第一型曲线积分的性质，对于空间第一型曲线积分的性质，读者可自行仿此写出．

### 性质
1．若 $\int_L f_i(x, y) \mathrm{d} s(i=1,2, \cdots, k)$ 存在，$c_i(i=1,2, \cdots, k)$ 为常数，则 $\int_L \sum_{i=1}^k c_i f_i(x, y) \mathrm{d} s$也存在，且

$$
\int_L \sum_{i=1}^k c_i f_i(x, y) \mathrm{d} s=\sum_{i=1}^k c_i \int_L f_i(x, y) \mathrm{d} s .
$$

2．若曲线段 $L$ 由曲线 $L_1, L_2, \cdots, L_k$ 首尾相接而成，且 $\int_{L_i} f(x, y) \mathrm{d} s(i=1,2, \cdots, k)$都存在，则 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ 也存在，且

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\sum_{i=1}^k \int_{L_i} f(x, y) \mathrm{d} s .
$$

3．若 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ 与 $\int_L g(x, y) \mathrm{d} s$ 都存在，且在 $L$ 上 $f(x, y) \leqslant g(x, y)$ ，则

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s \leqslant \int_L g(x, y) \mathrm{d} s .
$$

4．若 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ 存在，则 $\int_L|f(x, y)| \mathrm{d} s$ 也存在，且

$$
\left|\int_L f(x, y) \mathrm{d} s\right| \leqslant \int_L|f(x, y)| \mathrm{d} s
$$

5．若 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ 存在，$L$ 的弧长为 $s$ ，则存在常数 $c$ ，使得

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=c s
$$

这里 $\inf _L f(x, y) \leqslant c \leqslant \sup _L f(x, y)$ ．

6．第一型曲线积分的几何意义
若 $L$ 为平面 $O x y$ 上分段光滑曲线（如图20－1），$f(x, y)$ 为定义在 $L$ 上非负连续函数．由第一型曲面积分的定义，以 $L$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴的柱面上截取 $0 \leqslant z \leqslant f(x, y)$的部分面积就是 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ ．

![图片](/uploads/2025-10/a1b26b.jpg){width=300px}
 
## 二、第一型曲线积分的计算
定理 20.1 设有光滑曲线

$$
L:\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t),
\end{array} \quad t \in[\alpha, \beta],\right.
$$

函数 $f(x, y)$ 为定义在 $L$ 上的连续函数，则

$$
\boxed{
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t
}
$$

证 由弧长公式知道，$L$ 上由 $t=t_{i-1}$ 到 $t=t_i$ 的弧长

$$
\Delta s_i=\int_{t_{i-1}}^{t_i} \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t
$$

由 $\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}$ 的连续性与积分中值定理，有

$$
\Delta s_i=\sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime}\right)} \Delta t_i \quad\left(t_{i-1}<\tau_i^{\prime}<t_i\right)
$$

所以

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i=\sum_{i=1}^n f\left(\varphi\left(\tau_i^{\prime \prime}\right), \psi\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)\right) \sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime}\right)} \Delta t_i,
$$

这里 $t_{i-1} \leqslant \tau_i^{\prime}, \tau_i^{\prime \prime} \leqslant t_i$ ．设

$$
\sigma=\sum_{i=1}^n f\left(\varphi\left(\tau_i^{\prime \prime}\right), \psi\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)\right)\left[\sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime}\right)}-\sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)}\right] \Delta t_i,
$$

则有

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i=\sum_{i=1}^n f\left(\varphi\left(\tau_i^{\prime \prime}\right), \psi\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)\right) \sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)} \Delta t_i+\sigma .
$$

令 $\Delta t=\max \left\{\Delta t_1, \Delta t_2, \cdots, \Delta t_n\right\}$ ，则当 $\|T\| \rightarrow 0$ 时，必有 $\Delta t \rightarrow 0$ ．现在证明 $\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \sigma=0$ ．
因为复合函数 $f(\varphi(t), \psi(t))$ 关于 $t$ 连续，所以在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上有界，即存在常数 $M$ ，使对一切 $t \in[\alpha, \beta]$ ，都有

$$
|f(\varphi(t), \psi(t))| \leqslant M
$$

再由 $\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续，所以它在 $[\alpha, \beta]$ 上一致连续，即对任给的 $\varepsilon>0$ ，必存在 $\delta>0$ ，使当 $\Delta t<\delta$ 时有

$$
\left|\sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)}-\sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime}\right)}\right|<\varepsilon,
$$

从而

$$
|\sigma| \leqslant \varepsilon M \sum_{i=1}^n \Delta t_i=\varepsilon M(\beta-\alpha),
$$

所以

$$
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \sigma=0 .
$$

再由定积分定义，

$$
\begin{aligned}
& \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\varphi\left(\tau_i^{\prime \prime}\right), \psi\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)\right) \sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_i^{\prime \prime}\right)} \Delta t_i \\
= & \int_\alpha^\beta f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t .
\end{aligned}
$$

因此当在（4）式两边取极限后，即得所要证的（3）式．
当曲线 $L$ 由方程

$$
y=\psi(x), \quad x \in[a, b]
$$

表示，且 $\psi(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数时，（3）式成为

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_a^b f(x, \psi(x)) \sqrt{1+\psi^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x
$$

当曲线 $L$ 由方程
$$
x=\varphi(y), \quad y \in[c, d]
$$

表示，且 $\varphi(y)$ 在 $[c, d]$ 上有连续导函数时，（3）式成为

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_c^d f(\varphi(y), y) \sqrt{1+\varphi^{\prime 2}(y)} \mathrm{d} y .
$$

`例`设 $L$ 是半圆周

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos t, \\
y=a \sin t,
\end{array} \quad 0 \leqslant t \leqslant \pi,\right.
$$

试计算第一型曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s$ ．
解

$$
\int_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s=\int_0^\pi a^2 \sqrt{a^2\left(\cos ^2 t+\sin ^2 t\right)} \mathrm{d} t=a^3 \pi
$$

`例`求一段螺旋线的质量，其中曲线的方程为 $C: x=a \cos t, y=$ $a \sin t, z=b t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi, a, b>0$ ，密度函数 $\rho(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 。

解 为此只要计算第一类曲线积分 $\int_C \rho d s$ ．这时 $d s=\sqrt{x^{\prime 2}+y^2+z^{\prime 2}}=$ $\sqrt{a^2+b^2} d t, \rho(x(t), y(t), z(t))=a^2+b^2 t^2$ ，于是曲线 $C$ 的总质量为

$$
M=\sqrt{a^2+b^2} \int_0^{2 \pi}\left(a^2+b^2 t^2\right) d t=\sqrt{a^2+b^2}\left(2 \pi a^2+\frac{8 \pi^3}{3} b^2\right)
$$

其他版本
【高等数学】第一类曲线积分(对弧长积分)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

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