最后更新: 2025-10-24 21:09 查看: 66 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第一类曲线积分

## 一、第一型曲线积分的定义
设某物体的密度函数 $f(P)$ 是定义在 $\Omega$ 上的连续函数．当 $\Omega$ 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量．

现在研究当 $\Omega$ 是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 $\Omega$ 作分割，把 $\Omega$ 分成 $n$ 个可求长度的小曲线段 $\Omega_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，并在每一个 $\Omega_i$ 上任取一点 $P_i$ ．由于 $f(P)$ 为 $\Omega$ 上的连续函数，故当 $\Omega_i$ 的弧长都很小时，每一小段 $\Omega_i$ 的质量可近似地等于 $f\left(P_i\right) \Delta \Omega_i$ ，其中 $\Delta \Omega_i$ 为小曲线段 $\Omega_i$ 的长度．于是在整个 $\Omega$ 上的质量就近似地等于和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(P_i\right) \Delta \Omega_i
$$

当对 $\Omega$ 的分割越来越细密（即 $d=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \Delta \Omega_i \rightarrow 0$ ）时，上述和式的极限就应是该物体的质量．

由上面看到，求具有某种物质的曲线段的质量，与求直线段的质量一样，也是通过 ＂**分割、近似求和、取极限**＂来得到的．下面给出这类积分的定义．

**定义1** 设 $L$ 为平面上可求长度的曲线段，$f(x, y)$ 为定义在 $L$ 上的函数．对曲线 $L$作分割 $T$ ，它把 $L$ 分成 $n$ 个可求长度的小曲线段 $L_i(i=1,2, \cdots, n), L_i$ 的弧长记为 $\Delta s_i$ ，分割 $T$ 的细度为 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \Delta s_i$ ，在 $L_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ．若有极限

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i=J
$$

且 $J$ 的值与分割 $T$ 和点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 的取法无关，则称此极限为 $f(x, y)$ 在 $L$ 上的第一型曲线积分，记作

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s ...(1)
$$

若 $L$ 为空间可求长曲线段，$f(x, y, z)$ 为定义在 $L$ 上的函数，则可类似地定义 $f(x, y, z)$

在空间曲线 $L$ 上的第一型曲线积分，并且记作

$$
\int_L f(x, y, z) \mathrm{d} s ...(2)
$$

于是前面讲到的质量分布在平面或空间曲线段 $L$ 上的物体的质量可由第一型曲线积分（1）或（2）求得．

第一型曲线积分也和定积分一样具有下述一些重要性质。下面列出平面上第一型曲线积分的性质，对于空间第一型曲线积分的性质，读者可自行仿此写出．

### 性质
1．若 $\int_L f_i(x, y) \mathrm{d} s(i=1,2, \cdots, k)$ 存在，$c_i(i=1,2, \cdots, k)$ 为常数，则 $\int_L \sum_{i=1}^k c_i f_i(x, y) \mathrm{d} s$也存在，且

$$
\int_L \sum_{i=1}^k c_i f_i(x, y) \mathrm{d} s=\sum_{i=1}^k c_i \int_L f_i(x, y) \mathrm{d} s .
$$

2．若曲线段 $L$ 由曲线 $L_1, L_2, \cdots, L_k$ 首尾相接而成，且 $\int_{L_i} f(x, y) \mathrm{d} s(i=1,2, \cdots, k)$都存在，则 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ 也存在，且

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\sum_{i=1}^k \int_{L_i} f(x, y) \mathrm{d} s .
$$

3．若 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ 与 $\int_L g(x, y) \mathrm{d} s$ 都存在，且在 $L$ 上 $f(x, y) \leqslant g(x, y)$ ，则

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s \leqslant \int_L g(x, y)

其他版本
【高等数学】第一类曲线积分(对弧长积分)

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