最后更新: 2025-02-01 16:30 查看: 16 次反馈刷题

第一类曲线积分

$\S 23.1$ 第一类曲线积分
一．物理背景
设 $C$ 是空间中的一条光滑曲线，其上发布有质量．设已知线密度函数为 $\rho(x, y, z),(x, y, z) \in C$ ，如何求曲线 $C$ 上分布的质量．

若 $\rho=$ const，则质量

$$
m=\rho \int_C d s
$$

即密度常数乘以曲线的弧长，后者在上册 $\S 10.2$ 已经作过介绍．对于空间曲线 $C$ 为参数表示 $r (t)=(x(t), y(t), z(t)), \alpha \leqslant t \leqslant \beta$ 的情况，曲线弧长为

$$
\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} d t
$$

对于一般情况来说，线密度函数 $\rho(x, y, z)$ 就是通过在一小段曲线上的质量除以该小段曲线的弧长，当该段弧长趋于 0 时的极限来定义的．因此就可以看出计算曲线上分布的总质量的方法是通过积分

$$
m=\int_C \rho d s
$$

其中 $d s$ 是弧长的微分．对于空间曲线表示 $r (t)=(x(t), y(t), z(t)), \alpha \leqslant t \leqslant \beta$ ，有 $d s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} d t$.

称上述积分为第一类曲线积分，称其中的曲线 $C$ 为积分路径．它的严格定义将在下面给出．

二．第一类曲线积分的定义
定义0．1 设 $C$ 为一条分段光滑曲线，方程为 $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ ， $\alpha \leqslant t \leqslant \beta$ ，其中 $x(t), y(t), z(t)$ 为分段连续可微，$f(x, y, z)$ 是在 $C$ 上有定义的函数，则称下列积分

$$
\int_C f d s=\int_\alpha^\beta f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} d t
$$

为第一类曲线积分．

注 在定义中的等式左边是第一类曲线积分的记号，而右边是该记号的意义，也就是计算方法．

此外，由于同一条曲线可以有不同的表示方式，因此需要说明第一类曲线积分的值是与各种表示方式独立的．这可以从定积分的变量代换公式得到．

与定积分的情况相同，第一类曲线积分关于被积函数具有线性性质．这就是说当 $\int_C f d s$ 和 $\int_C g d s$ 存在时，则对于任意常数 $c_1, c_2$ 成立

$$
\int_C\left(c_1 f+c_2 g\right) d s=c_1 \int_C f d s+c_2 \int_C g d s
$$

定积分关于积分区间的可和性也可以推广到第一类曲线积分上．具体来说，设曲线 $C$ 分成为 $C_1$ 和 $C_2$ 两段．则当 $f$ 在曲线 $C$ 上的第一类曲线积分存在时，$f$ 在 $C_1$ 和 $C_2$ 上的第一类曲线积分也都存在，且成立

$$
\int_C f d s=\int_{C_1} f d s+\int_{C_2} f d s
$$

反之，若 $f$ 在 $C_1$ 和 $C_2$ 上的第一类曲线积分都存在，则 $f$ 在曲线 $C$ 上的第一类曲线积分也存在，且成立前述等式．

例题 0.1 求一段螺旋线的质量，其中曲线的方程为 $C: x=a \cos t, y=$ $a \sin t, z=b t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi, a, b>0$ ，密度函数 $\rho(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 。

解 为此只要计算第一类曲线积分 $\int_C \rho d s$ ．这时 $d s=\sqrt{x^{\prime 2}+y^2+z^{\prime 2}}=$ $\sqrt{a^2+b^2} d t, \rho(x(t), y(t), z(t))=a^2+b^2 t^2$ ，于是曲线 $C$ 的总质量为

$$
M=\sqrt{a^2+b^2} \int_0^{2 \pi}\left(a^2+b^2 t^2\right) d t=\sqrt{a^2+b^2}\left(2 \pi a^2+\frac{8 \pi^3}{3} b^2\right)
$$

例题 0.2 计算第一类曲线积分 $I=\int_C(x+y) d s$ ，其中 $C$ 是 $\triangle A B C$ 的边界，该三角形的顶点为 $A(0,0), B(1,0)$ ， $C(1,1)$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/06d888.jpg)
 解 利用可加性，有

$$
I=\left\{\int_{\overline{A B}}+\int_{\overline{B C}}+\int_{\overline{C A}}\right\}(x+y) d s
$$

以下分别计算三段直线上的积分．
在 $\overline{A B}$ 上，$x=x, y=0,0 \leqslant x \leqslant 1, d s= d x$ ，因此有

$$
\int_{\overline{A B}}(x+y) d s=\int_0^1 x d x=\frac{1}{2}
$$

在 $\overline{B C}$ 上，$x=1, y=y, 0 \leqslant y \leqslant 1, d s= d y$ ，因此有

$$
\int_{\overline{B C}}(x+y) d s=\int_0^1(1+y) d y=\frac{3}{2} .
$$

在 $\overline{C A}$ 上，$x=x, y=x, 0 \leqslant x \leqslant 1, d s=\sqrt{y_x^{\prime 2}+x_x^{\prime 2}} d x=\sqrt{2} d x$ ，因此有

$$
\int_{\overline{C A}}(x+y) d s=\sqrt{2} \int_0^1 2 x d x=\sqrt{2}
$$

最后就得到 $I=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$ ．
注 根据第一类曲线积分的定义，参数表示时的区间 $[\alpha, \beta]$ 必须满足 $\alpha<\beta$ ，因此在 $\overline{C A}$ 上积分时，既然用 $x$ 为参数，则参数变化范围只能是从 0 到 1 ，而不能是从 1 到 0 。

例题 0.3 求一均匀的半圆周（设线密度 $\rho=1$ ）对位于圆心的单位质点的引力．设 $a$ 为圆半径，$G$ 为万有引力常数。
 ![图片](/uploads/2025-02/202cc6.jpg)
解 将单位质点放在原点，考虑半径为 $a$ 的上半圆周对原点的单位质点的引力。

设引力为

$$
F =F_1 i +F_2 j
$$

在圆周上点 $(x, y)$ 处取一小段弧 $d s$ ，因密度为 1 ，其质量就是 $d s$ ．它对于原点的引力大小为 $\frac{G d s}{a^2}$ ．方向为 $x i +y j$ 。由于点 $(x, y)$ 在圆周上，该方向的单位向量是 $\frac{1}{a}(x i +y j )$ ．将半圆周曲线记为 $C$ ，就可以将分量 $F_2$ 用第一类曲线积分表出

$$
F_2=\int_C \frac{G y}{a^3} d s
$$

取曲线 $C$ 的参数方程为 $x=a \cos \theta, y=a \sin \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ ，则有 $d s=a d \theta$ ，于是就可以计算得到

$$
F_2=\frac{G}{a^3} \int_0^\pi R^2 \sin \theta d \theta=\frac{2 G}{a^3} .
$$

注 这里不妨问一个问题：半圆周上均匀分布的质量对圆心的质点的引力是否等于将总质量集中在半圆周的质心处对圆心质点的引力？

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