最后更新: 2025-02-01 16:32 查看: 12 次反馈刷题

第二类曲线积分

$\S 23.2$ 第二类曲线积分
在第一类曲线积分 $\int_C f d s$ 中若令 $f$ 恒等于 1 ，则就得到曲线弧长．因此第一类曲线积分可看成为曲线弧长公式的推广．然而，第二类曲线积分则具有全新的特色．我们仍然从物理背景开始来引入这类新的积分．

一．物理背景
设 $D \subset R ^3$ 是一个区域，在 $D$ 上定义了一个力场 $F$ ．取定坐标系后可以将 $F$表示如下：

$$
F (x, y, z)=P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j +R(x, y, z) k .
$$

用场论的语言来说就是在 $D$ 上定义了一个向量场（或矢量场）．在取定坐标系时上述向量表达式的每一个分量的系数就是 $D$ 上的数量场．

设点 $A, B$ 均在 $D$ 内。我们考虑某一个质点在力场 $F$ 中从点 $A$ 沿某条曲线 $C$到点 $B$ ，问题是如何计算力场 $F$ 所作的功 $W$ ．设曲线 $C$ 由参数方程表示如下：

$$
r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k , t_A \leqslant t \leqslant t_B
$$

其中 $t_A, t_B$ 是点 $A, B$ 对应的参数值，同时设 $x(t), y(t), z(t)$ 在区间 $\left[t_A, t_B\right]$ 上均连续可微．这里要注意曲线 $C$ 现在是有确定方向的．由以上的参数表示可知曲线方向与参数 $t$ 的增加方向一致．

仍然用微元法．在曲线上取一小段微元，并用向量表示为 $r (t+ d t)- r (t)$ ，则可以近似地用微分表示为

$$
d r =(d x, d y, d z)
$$

设在点 $r (t)$ 处的力为 $F (x(t), y(t), z(t))$ ，则质点沿曲线方向移动这一小段微元时，力场所作的功近似地为 $F \cdot d r$ 。

![图片](/uploads/2025-02/4bfd12.jpg)

将这样的微元相加，就可以将力场所作的功用下列积分来计算：

$$
W=\int_C F \cdot d r =\int_{\overparen{A B}} P d x+Q d y+R d z
$$

这就是第二类曲线积分。
注意这类新的曲线积分的一个重要特点是它与曲线的方向有关。例如上述问题中如果质点是从曲线的点 $B$ 到点 $A$ ，其他都不变，则所作的功就是上述 $W$ 乘以 -1 ，即有

$$
\int_{\overparen{B A}} F \cdot d r =-\int_{\overparen{A B}} F \cdot d r
$$

我们同样称第二类曲线积分中的曲线为积分路径。由上可见，第二类曲线积分的积分路径 $C$ 是有向曲线．这与第一类曲线积分完全不同．

二．第二类曲线积分的定义
定义 0.2 称积分

$$
I=\int_{\overparen{A B}} F \cdot d r =\int_{\overparen{A B}} P d x+Q d y+R d z
$$

为第二类曲线积分，其中 $r =(x, y, z), d r =( d x, d y, d z), F$ 是在有向曲线 $\overparen{A B}$ 上定义的向量值函数

$$
F (x, y, z)=P(x, y, z) d x+Q(x, y, z) d y+R(x, y, z) d z
$$

对 $\overparen{A B}$ 而言，除了连续之外，还要求它是分段光滑曲线，即可以表示为 $r = r (t)=$ $(x(t), y(t), z(t)), t \in\left[t_A, t_B\right]$ ，其中 $x(t), y(t), z(t)$ 为分段连续可微函数，在每段内满足

$$
x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t) \neq 0
$$

且 $r \left(t_A\right)=A, r \left(t_B\right)=B$ 。
积分 $I$ 的定义和计算公式为

$$
\begin{gathered}
\int_{\overparen{A B}} F \cdot d r =\int_{t_A}^{t_B}\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)\right. \\
\left.+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] d t
\end{gathered}
$$

注 1 在引进第一类曲线积分时是从弧长微分 $d s$ 开始的，其优点是不依赖于曲线的参数表示方式。对于第二类曲线积分也可以如此给出定义。这对于理解这类积分是有帮助的。为此改变图 3 为图 4 ，并给出定义如下。

如图4所示，在曲线上某点邻近取弧长微元 $d s$ ，又从该点作曲线的单位切向量 $\tau$ ．这时要注意切向量有两个可能的取向，而现在规定取与曲线 $\overparen{A B}$ 的方向一致的单位切向量。

同时作出在该点的向量 $F$ ．如同上一小节用做功来引入第二类曲线积分时那样，质点沿着从 $A$ 到 $B$ 的方向移动 $d s$ 所作的功就是

$$
F \cdot \tau d s
$$

![图片](/uploads/2025-02/fd21cd.jpg)

对所有 $d s$ 求和就得到积分

$$
\int_{\overparen{A B}} F \cdot \tau d s
$$

若改变曲线的方向为从点 $B$ 到点 $A$ ，则根据上述定义只要将上述单位切向量反向即可，而对积分的影响当然就是乘以 -1 。

注意，这样一来我们对于第二类曲线积分就有三种表示形式：

$$
\int_C F \cdot d r , \quad \int_C P d x+Q d y+Q d z, \quad \int_C F \cdot \tau d s
$$

它们在各种不同场合都要用到。
在曲线用参数方程 $(x(t), y(t), z(t))$ 表出时，利用

$$
d s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} d t
$$

切向量为 $\pm\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)$ ，然后写出与曲线取向一致的单位切向量，就可以知道上述定义与前面的定义是一致的。

注2 与第一类曲线积分不同的是在第二类曲线积分中的曲线是有方向的，如果 $A$ 是起点，$B$ 是终点，则在其参数表示中并不要求 $t_A<t_B$ 。因此就有

$$
\begin{gathered}
\int_{\overparen{B A}} F \cdot d r =\int_{t_B}^{t_A}\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)\right. \\
\left.+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] d t
\end{gathered}
$$

$$
\begin{aligned}
& =-\int_{t_A}^{t_B}\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)\right. \\
& \left.\quad \quad+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] d t \\
& =-\int_{\overparen{A B}} F \cdot d r .
\end{aligned}
$$

回顾定积分中允许积分下限大于积分上限的情况，即有

$$
\int_a^b f(x) d x=-\int_b^a f(x) d x
$$

这与上述第二类曲线积分的性质相同．反之，第一类曲线积分则相当于只允许积分下限小于积分上限的定积分．

第二类曲线积分也具有关于被积函数的线性性质和关于曲线的可加性，证明从略．

对于平面上的有向曲线，同样可以定义第二类曲线积分为

$$
\int_{\overparen{A B}} F \cdot d r =\int_{\overparen{A B}} P d x+Q d y,
$$

其中 $P=P(x, y), Q=Q(x, y)$ ．
此外，还需要指出，对于平面上的封闭曲线，它有两个取向．其中之一称为正向，另一个称为负向．对于圆周来说，称逆时针方向为正向，顺时针方向为负向．对一般的封闭曲线来说，根据 Jordan 定理，单闭曲线分平面为两个区域，称为内部和外部．

定义 0.3 闭曲线有两个取向．对于曲线上的点及其充分小的邻域，使内部区域在该点左侧的前进方向就是闭曲线的正向．与正向相反的方向是闭曲线的负向．

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