最后更新: 2025-10-25 06:34 查看: 64 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第二类曲线积分

## 第二类曲线积分 物理背景
第二类曲线积分的物理背景就是**变力沿曲线做功**。设 $D \subset R ^3$ 是一个区域，在 $D$ 上定义了一个力场 $F$ ．取定坐标系后可以将 $F$表示如下：

$$
F (x, y, z)=P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j +R(x, y, z) k .
$$

用场论的语言来说就是在 $D$ 上定义了一个向量场（或矢量场）．在取定坐标系时上述向量表达式的每一个分量的系数就是 $D$ 上的数量场．

![图片](/uploads/2025-02/4bfd12.jpg)

设点 $A, B$ 均在 $D$ 内。我们考虑某一个质点在力场 $F$ 中从点 $A$ 沿某条曲线 $C$到点 $B$ ，问题是如何计算力场 $F$ 所作的功 $W$ ．设曲线 $C$ 由参数方程表示如下：

$$
r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k , t_A \leqslant t \leqslant t_B
$$

其中 $t_A, t_B$ 是点 $A, B$ 对应的参数值，同时设 $x(t), y(t), z(t)$ 在区间 $\left[t_A, t_B\right]$ 上均连续可微．这里要注意曲线 $C$ 现在是有确定方向的．由以上的参数表示可知曲线方向与参数 $t$ 的增加方向一致．

仍然用微元法．在曲线上取一小段微元，并用向量表示为 $r (t+ d t)- r (t)$ ，则可以近似地用微分表示为

$$
d r =(d x, d y, d z)
$$

设在点 $r (t)$ 处的力为 $F (x(t), y(t), z(t))$ ，则质点沿曲线方向移动这一小段微元时，力场所作的功近似地为 $F \cdot d r$ 。

将这样的微元相加，就可以将力场所作的功用下列积分来计算：

$$
W=\int_C F \cdot d r =\int_{\overparen{A B}} P d x+Q d y+R d z
$$

这就是第二类曲线积分。
注意这类新的曲线积分的一个重要特点是它与曲线的方向有关。例如上述问题中如果质点是从曲线的点 $B$ 到点 $A$ ，其他都不变，则所作的功就是上述 $W$ 乘以 -1 ，即有

$$
\int_{\overparen{B A}} F \cdot d r =-\int_{\overparen{A B}} F \cdot d r
$$

我们同样称第二类曲线积分中的曲线为积分路径。由上可见，第二类曲线积分的积分路径 $C$ 是有向曲线．这与第一类曲线积分完全不同．

## 第二类曲线积分的定义
**定义1** 设函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 定义在平面有向可求长度曲线 $L: \overparen{A B}$ 上．对 $L$ 的任一分割 $T$ ，它把 $L$ 分成 $n$ 个小弧段

$$
{\widehat{M_{i-1} M}}_i \quad(i=1,2, \cdots, n),
$$

其中 $M_0=A, M_n=B$ ．记各小弧段 $\widehat{M_{i-1} M_i}$ 的弧长为 $\Delta s_i$ ，分割 $T$ 的细度 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \Delta s_i$ ．又设 $T$ 的分点 $M_i$ 的坐标为 $\left(x_i, y_i\right)$ ，并记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_i=y_i-y_{i-1}(i=1,2, \cdots, n)$ ．在每个小弧段 $\widehat{M_{i-1} M}$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ ，若极限

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i+\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i
$$

存在且与分割 $T$ 和点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 沿有向曲线 $L$ 上的第二型曲线积分，记为

$$
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \quad \text { 或 } \quad \int_{\widehat{A B}} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y ...(1)
$$

上述积分（1）也可写作

或

$$
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y) \mathrm{d} x+\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y \\
& \int_{\widehat{A B}} P(x, y) \mathrm{d} x+\int_{\widehat{A B}} Q(x, y) \mathrm{d} y .
\end{aligned}
$$

为书写简洁起见，（1）式常简写成

$$
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \quad \text { 或 } \quad \int_{\widehat{A B}} P \mathrm{~d}

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【高等数学】第二类曲线积分(对坐标积分)

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