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第二类曲线积分

## 第二类曲线积分 物理背景
第二类曲线积分的物理背景就是**变力沿曲线做功**。设 $D \subset R ^3$ 是一个区域，在 $D$ 上定义了一个力场 $F$ ．取定坐标系后可以将 $F$表示如下：

$$
F (x, y, z)=P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j +R(x, y, z) k .
$$

用场论的语言来说就是在 $D$ 上定义了一个向量场（或矢量场）．在取定坐标系时上述向量表达式的每一个分量的系数就是 $D$ 上的数量场．

![图片](/uploads/2025-02/4bfd12.jpg)

设点 $A, B$ 均在 $D$ 内。我们考虑某一个质点在力场 $F$ 中从点 $A$ 沿某条曲线 $C$到点 $B$ ，问题是如何计算力场 $F$ 所作的功 $W$ ．设曲线 $C$ 由参数方程表示如下：

$$
r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k , t_A \leqslant t \leqslant t_B
$$

其中 $t_A, t_B$ 是点 $A, B$ 对应的参数值，同时设 $x(t), y(t), z(t)$ 在区间 $\left[t_A, t_B\right]$ 上均连续可微．这里要注意曲线 $C$ 现在是有确定方向的．由以上的参数表示可知曲线方向与参数 $t$ 的增加方向一致．

仍然用微元法．在曲线上取一小段微元，并用向量表示为 $r (t+ d t)- r (t)$ ，则可以近似地用微分表示为

$$
d r =(d x, d y, d z)
$$

设在点 $r (t)$ 处的力为 $F (x(t), y(t), z(t))$ ，则质点沿曲线方向移动这一小段微元时，力场所作的功近似地为 $F \cdot d r$ 。

将这样的微元相加，就可以将力场所作的功用下列积分来计算：

$$
W=\int_C F \cdot d r =\int_{\overparen{A B}} P d x+Q d y+R d z
$$

这就是第二类曲线积分。
注意这类新的曲线积分的一个重要特点是它与曲线的方向有关。例如上述问题中如果质点是从曲线的点 $B$ 到点 $A$ ，其他都不变，则所作的功就是上述 $W$ 乘以 -1 ，即有

$$
\int_{\overparen{B A}} F \cdot d r =-\int_{\overparen{A B}} F \cdot d r
$$

我们同样称第二类曲线积分中的曲线为积分路径。由上可见，第二类曲线积分的积分路径 $C$ 是有向曲线．这与第一类曲线积分完全不同．

## 第二类曲线积分的定义
**定义1** 设函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 定义在平面有向可求长度曲线 $L: \overparen{A B}$ 上．对 $L$ 的任一分割 $T$ ，它把 $L$ 分成 $n$ 个小弧段

$$
{\widehat{M_{i-1} M}}_i \quad(i=1,2, \cdots, n),
$$

其中 $M_0=A, M_n=B$ ．记各小弧段 $\widehat{M_{i-1} M_i}$ 的弧长为 $\Delta s_i$ ，分割 $T$ 的细度 $\|T\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \Delta s_i$ ．又设 $T$ 的分点 $M_i$ 的坐标为 $\left(x_i, y_i\right)$ ，并记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_i=y_i-y_{i-1}(i=1,2, \cdots, n)$ ．在每个小弧段 $\widehat{M_{i-1} M}$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ ，若极限

$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i+\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i
$$

存在且与分割 $T$ 和点 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 沿有向曲线 $L$ 上的第二型曲线积分，记为

$$
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \quad \text { 或 } \quad \int_{\widehat{A B}} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y ...(1)
$$

上述积分（1）也可写作

或

$$
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y) \mathrm{d} x+\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y \\
& \int_{\widehat{A B}} P(x, y) \mathrm{d} x+\int_{\widehat{A B}} Q(x, y) \mathrm{d} y .
\end{aligned}
$$

为书写简洁起见，（1）式常简写成

$$
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \quad \text { 或 } \quad \int_{\widehat{A B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y .
$$

若 $L$ 为封闭的有向曲线，则记为

$$
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y ...(2)
$$

若记 $\boldsymbol{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)), \mathrm{d} \boldsymbol{s}=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y)$ ，则（1）式可写成向量形式

$$
\int_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} s \text { 或 } \int_{\widehat{A B}} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} s ...(3)
$$

于是，力 $\boldsymbol{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))$ 沿有向曲线 $L: \overparen{A B}$ 对质点所做的功为

$$
W=\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
$$

倘若 $L$ 为空间有向可求长度曲线，$P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 为定义在 $L$ 上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线 $L$ 上的第二型曲线积分，并记为

$$
\int_L P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z ...(4)
$$

或简写成

$$
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
$$

当把 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ 与 $\mathrm{d} \boldsymbol{s}=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)$ 看作三维向量时，（4）式也可表示成（3）式的向量形式．

第二型曲线积分与曲线 $L$ 的方向有关．对同一曲线，当方向由 $A$ 到 $B$ 改为由 $B$ 到 $A$ 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得的 $\Delta x_i, \Delta y_i$ 也随之改变符号，故有

$$
\int_{\widehat{A B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\int_{\widehat{B A}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y ...(5)
$$

而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 $f(x, y)$ 与弧长的乘积，它与曲线 $L$ 的方向无关．这是两种类型曲线积分的一个重要区别．

类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些主要性质：
1．若 $\int_L P_i \mathrm{~d} x+Q_i \mathrm{~d} y \quad(i=1,2, \cdots, k)$ 存在，则 $\int_L\left(\sum_{i=1}^k c_i P_i\right) \mathrm{d} x+\left(\sum_{i=1}^k c_i Q_i\right) \mathrm{d} y$ 也存在，且

$$
\int_L\left(\sum_{i=1}^k c_i P_i\right) \mathrm{d} x+\left(\sum_{i=1}^k c_i Q_i\right) \mathrm{d} y=\sum_{i=1}^k c_i\left(\int_L P_i \mathrm{~d} x+Q_i \mathrm{~d} y\right)
$$

其中 $c_i(i=1,2, \cdots, k)$ 为常数．
2．若有向曲线 $L$ 是由有向曲线 $L_1, L_2, \cdots, L_k$ 首尾相接而成，且 $\int_{L_i} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \quad(i= 1,2, \cdots, k)$ 存在，则 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 也存在，且

$$
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\sum_{i=1}^k \int_{L_i} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
$$

## 第二型曲线积分的计算
与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算．
设平面曲线

$$
L:\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t),
\end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.
$$

其中 $\varphi(t), \psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导函数，且点 $A$ 与 $B$ 的坐标分别为 $(\varphi(\alpha)$ ， $\psi(\alpha))$ 与 $(\varphi(\beta), \psi(\beta))$ ．又设 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 为 $L$ 上的连续函数，则沿 $L$ 从 $A$ 到 $B$的第二型曲线积分

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y  
=   \int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t ...(6)
\end{aligned}
}
$$

读者可仿照前面的方法分别证明

$$
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y) \mathrm{d} x=\int_\alpha^\beta P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t \\
& \int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_\alpha^\beta Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t) \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$

由此便可得公式（6），这里不再赘述了。
对于沿封闭曲线 $L$ 的第二型曲线积分（2）的计算，可在 $L$ 上任意选取一点作为起点，沿 $L$ 所指定的方向前进，最后回到这一点．

`例` 计算 $\int_L x y \mathrm{~d} x+(y-x) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 分别沿如图 20－4中路线：
（i）直线 $A B$ ；
（ii）$\overparen{A C B}$（抛物线：$y=2(x-1)^2+1$ ）；
（iii）$A D B A$（三角形周界）．

![图片](/uploads/2025-10/495e54.jpg){width=300px}

解（i）直线 $A B$ 的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=1+t, \\
y=1+2 t,
\end{array} \quad t \in[0,1]\right.
$$

故由公式（6）可得

$$
\begin{aligned}
& \int_{A B} x y \mathrm{~d} x+(y-x) \mathrm{d} y \\
= & \int_0^1[(1+t)(1+2 t)+2 t] \mathrm{d} t \\
= & \int_0^1\left(1+5 t+2 t^2\right) \mathrm{d} t=\frac{25}{6} .
\end{aligned}
$$

（ii）曲线 $\overparen{A C B}$ 为抛物线 $y=2(x-1)^2+1,1 \leqslant x \leqslant 2$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& \int_{ACB} x y \mathrm{~d} x+(y-x) \mathrm{d} y \\
= & \int_1^2\left\{x\left[2(x-1)^2+1\right]+\left[2(x-1)^2+1-x\right] 4(x-1)\right\} \mathrm{d} x \\
= & \int_1^2\left(10 x^3-32 x^2+35 x-12\right) \mathrm{d} x=\frac{10}{3} .
\end{aligned}
$$

（iii）这里 $L$ 是一条封闭曲线，故可从 $A$ 开始，应用上段的性质 2 ，分别求沿 $A D, D B$和 $B A$ 上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分．

由于沿直线 $A D: x=x, y=1(1 \leqslant x \leqslant 2)$ 的线积分为

$$
\int_{A D} x y \mathrm{~d} x+(y-x) \mathrm{d} y=\int_{A D} x y \mathrm{~d} x=\int_1^2 x \mathrm{~d} x=\frac{3}{2} .
$$

沿直线 $D B: x=2, y=y(1 \leqslant y \leqslant 3)$ 的线积分为

$$
\int_{D B} x y \mathrm{~d} x+(y-x) \mathrm{d} y=\int_{D B}(y-x) \mathrm{d} y=\int_1^3(y-2) \mathrm{d} y=0 .
$$

沿直线 $B A$ 的线积分可由（i）及公式（5）得到

$$
\int_{B A} x y \mathrm{~d} x+(y-x) \mathrm{d} y=-\int_{A B} x y \mathrm{~d} x+(y-x) \mathrm{d} y=-\frac{25}{6}
$$

所以

$$
\oint_L x y \mathrm{~d} x+(y-x) \mathrm{d} y=\frac{3}{2}+0+\left(-\frac{25}{6}\right)=-\frac{8}{3} .
$$

对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与（6）式相仿．设空间有向光滑曲线 $L$ 的参量方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(t) \\
y=y(t), \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta, \\
z=z(t)
\end{array}\right.
$$

起点为 $(x(\alpha), y(\alpha), z(\alpha))$ ，终点为 $(x(\beta), y(\beta), z(\beta))$ ，则

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z = \int_\alpha^\beta\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)+\right.  \left.R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t
\end{aligned}
}
$$

这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致．

`例`计算第二型曲线积分

$$
I=\int_L x y \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} y+x^2 \mathrm{~d} z
$$

$L$ 是螺旋线：$x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ 从 $t=0$ 到 $t=\pi$ 上的一段．
解 由公式（7），

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^\pi\left(-a^3 \cos t \sin ^2 t+a^2 \cos ^2 t-a^2 \sin t \cos t+a^2 b \cos ^2 t\right) \mathrm{d} t \\
& =\left.\left[-\frac{1}{3} a^3 \sin ^3 t-\frac{1}{2} a^2 \sin ^2 t+\frac{1}{2} a^2(1+b)\left(t+\frac{1}{2} \sin 2 t\right)\right]\right|_0 ^\pi \\
& =\frac{1}{2} a^2(1+b) \pi
\end{aligned}
$$

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