最后更新: 2025-02-01 16:34 查看: 12 次反馈刷题

第二类曲线积分例题

例题 0.1 求第二类曲线积分 $I=\int_C y^2 d x+$ $x^2 d y$ ，其中曲线 $C$ 是上半椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, y \geqslant 0$ ，方向是从点 $(-a, 0)$ 到 $(a, 0)$ ．

![图片](/uploads/2025-02/23a80d.jpg)

$$
x=a \cos t, y=b \sin t
$$

曲线取向是从 $t=\pi$ 到 $t=0$ ．于是有（其中 $\cos ^3 t$ 在 $[0, \pi]$ 上积分为 0 ）：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_\pi^0\left[b^2 \sin ^2 t \cdot(-a \sin t)+a^2 \cos ^2 t \cdot(b \cos t)\right] d t \\
& =a b^2 \int_0^\pi \sin ^3 t d t=2 a b^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 t d t=\frac{4}{3} a b^2
\end{aligned}
$$

例题 0.2 求 $\int_C 2 x y d x-x^2 d y$ ，其中 $C$ 为封闭折线 $\overline{A B C A}, A(0,0), B(1,0)$ ， $C(1,1)$（见图 1 ）．

解 根据积分关于路径的可加性有

$$
I=\left(\int_{\overline{A B}}+\int_{\overline{B C}}+\int_{\overline{C A}}\right) 2 x y d x-x^2 d y .
$$

在 $\overline{A B}$ 上，令 $x$ 为参数，从 0 到 1 ．这时有 $y=0, d y=0$ ，于是被积表达式的两项都等于 0 ，这样就有

$$
\int_{\overline{A B}} 2 x y d x-x^2 d y=0 .
$$

在 $\overline{B C}$ 上，令 $y$ 为参数，从 0 到 1 ．这时 $x=1, d x=0$ ，因此有

$$
\int_{\overline{B C}} 2 x y d x-x^2 d y=\int_0^1(-1) d y=-1 .
$$

在 $\overline{C A}$ 上，令 $x$ 为参数，从 1 到 0 ．这时 $y=x, d y= d x$ ，因此有

$$
\int_{\overline{C A}} 2 x y d x-x^2 d y=\int_1^0\left(2 x^2-x^2\right) d y=-\int_0^1 x^2 d x=-\frac{1}{3} .
$$

合并以上得到 $I=0+(-1)+\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{3}$ ．

例题 0.3 求 $I=\int_C y^2 d x+z^2 d y+x^2 d z$ ，其中 $C$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ $(a>0), z \geqslant 0$ 和柱面 $x^2+y^2=a x$ 的交线，方向为从 $z$ 轴正向看去的逆时针方向．

![图片](/uploads/2025-02/6a962e.jpg)

解 首先将柱面方程改写为

$$
\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{a^2}{4},
$$

参考左图，可见可以将曲线在 $x y$ 平面上的投影参数化为

$$
x=\frac{a}{2}+\frac{a}{2} \cos \theta, y=\frac{a}{2} \sin \theta
$$

参数 $\theta$ 从 0 到 $2 \pi$ ．将它们代入球面方程，即有

$$
z=\sqrt{a^2-\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{a^2-a x}=a \sin \frac{6}{2}
$$

现在可以将所得的曲线参数方程代入第二类曲线积分公式中得到：

$$
I=\frac{a^3}{8} \int_0^{2 \pi}\left[-\sin ^3 \theta+4 \sin ^2 \frac{\theta}{2} \cos \theta+(1+\cos \theta)^2 \cos \frac{\theta}{2}\right] d \theta
$$

下面分别对上述积分号下的方括号内的三项计算其积分．
在区间 $[0,2 \pi]$ 上从 $\sin ^3(2 \pi-\theta)=-\sin ^3 \theta$ ，可见函数 $\sin ^3 \theta$ 关于区间中点 $\pi$ 为奇函数，因此积分 $\int_0^{2 \pi} \sin ^3 \theta d \theta=0$

又有

$$
\begin{aligned}
\int_0^{2 \pi} 4 \sin ^2 \frac{\theta}{2} \cos \theta d \theta & =2 \int_0^{2 \pi}(1-\cos \theta) \cos \theta d \theta \\
& =-2 \int_0^{2 \pi} \cos ^2 \theta d \theta=-2 \pi .
\end{aligned}
$$

对第三个积分则有

$$
\int_0^{2 \pi}(1+\cos \theta)^2 \cos \frac{\theta}{2} d \theta=\int_0^{2 \pi} 4 \cos ^5 \frac{\theta}{2} d \theta=0,
$$

这里再次利用了被积函数关于区间中点 $\pi$ 为奇函数，因此积分为 0 ．
合并以上得到

$$
I=\frac{a^3}{8} \cdot(-2 \pi)=-\frac{\pi a^3}{4} .
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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