最后更新: 2025-02-01 16:36 查看: 12 次反馈刷题

势函数

三．全微分情况
定义 0.1 设在含曲线 $\overparen{A B}$ 的一个开集中存在连续可微函数 $\varphi(x, y)$ ，使得成立

$$
d \varphi=P(x, y) d x+Q(x, y) d y,
$$

则称 $P d x+Q d y$ 为全微分式（或恰当式），称 $\varphi$ 为该全微分式的原函数（或势函数）．
注 由定义可知，若 $\varphi$ 是 $P d x+Q d y$ 的原函数，则加上任意常数 $C$ 得到的 $\varphi+C$ 也是该微分式的原函数．因此似乎只要在曲线所在的区域内选定一个即可．

但后面会看到，这不一定做得到．在一元函数中原函数主要用于计算定积分，因此只要取定一个即可．而对于多元函数来说，由于区域可以有洞，因此在沿着某条路径积分计算第二类曲线积分时，有可能从一个原函数连续过渡到另一个原函数．下面就会看到这样的例子．

定理 0.1 设 $\overparen{A B}$ 是分段光滑的平面曲线，$P d x+Q d y$ 是在包含该曲线的一个区域上的全微分式，$\varphi$ 为其原函数，则该全微分式在 $\overparen{A B}$ 上的第二类曲线积分等于原函数在两端之差，即有：

$$
I=\int_{\overparen{A B}} P d x+Q d y=\left.\varphi\right|_A ^B=\varphi\left(x_B, y_B\right)-\varphi\left(x_A, y_A\right)
$$

其中 $\left(x_A, y_A\right)$ 和 $\left(x_B, y_B\right)$ 分别是点 $A$ 和 $B$ 的坐标．

证 从条件知道有 $\varphi_x=P, \varphi_y=Q$ ，因此积分成为 $I=\int_{\overparen{A B}} \varphi_x d x+\varphi_y d y$ ．
设曲线 $\overparen{A B}$ 的参数表示为 $x=x(t), y=y(t), t \in\left[t_A, t_B\right]$ ，则就可以计算曲线积分 $I$ 如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{t_A}^{t_B}\left[\varphi_x(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+\varphi_y(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t \\
& =\left.\varphi(x(t), y(t))\right|_{t_A} ^{t_B}=\varphi\left(x_B, y_B\right)-\varphi\left(x_A, y_A\right),
\end{aligned}
$$

这里一方面利用 $\varphi$ 可微必连续，从而 $\varphi(x(t), y(t))$ 在区间 $\left[t_A, t_B\right]$ 上连续；另一方面利用 $x(t), y(t)$ 又分段光滑，因此除有限点之外，$\varphi(x(t), y(t))$ 的导数就等于被积函数．这样就可以用 Newton－Leibniz 公式（见上册 p．218）．
注 从定理可见，对于全微分式的第二类曲线积分来说，它的值似乎只与端点处的原函数值有关，而与积分路径的具体形状（即表达式）无关．因此可以将积分写为

$$
\int_{\overparen{A B}} P d x+Q d y=\int_A^B P d x+Q d y
$$

但这里还不能说是积分与具体路径无关，它还涉及到区域是否为单连通，下面是几个常见的全微分式：

$$
\begin{aligned}
x d x+y d y & =\frac{1}{2} d\left(x^2+y^2\right) \\
y d x+x d y & =d(x y) \\
\frac{-y d x+x d y}{x^2} & =d\left(\frac{y}{x}\right) \\
\frac{-y d x+x d y}{x^2+y^2} & =d\left(\arctan \frac{y}{x}\right)
\end{aligned}
$$

对上面的最后一个原函数需要作较详细的讨论．
用连续延拓的方法就可以证明这里的原函数是点 $(x, y)(\neq(0,0))$ 到原点的联接直线段与 $x$ 正向的夹角，即极坐标中的极角 $\theta$ ，也称为幅角．由于在点 $(x, y)(\neq(0,0))$ 的极角可以相差 $2 \pi$ 的倍数，而在反正切函数 $\arctan x$ 的定义中则规定其值域只在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内，因此在越出这个范围时需要加上（或减去）$\pi$ 的倍数．这里即使用多值函数 $\operatorname{Arctan} x$ 也不行．因为它在 $x=0(y \neq 0)$ 时也没有定义，并不能成为在去心平面区域 $R ^2-\{0\}$ 上满足条件的原函数．因此上面最后一式的右边只在 $|\theta|<\frac{\pi}{2}$ 时才是正确的。

连续延拓的方法简述如下．从在一，四象限已经有定义的原函数 $\arctan \frac{y}{x}$ 开始，可以先在 $x=0, y>0$ 时定义原函数的值为 $\frac{\pi}{2}$ ，在 $(x, y)$ 处于第二，三象限时定义为 $\arctan \frac{y}{x}+\pi$ ，然后沿反时针方向得到 $\theta$ 的多值分支。同样可以在 $x=0, y<0$时定义原函数的值为 $-\frac{\pi}{2}$ ，然后沿顺时针方向得到 $\theta$ 的其余多值分支．这样得到的多值函数在去心平面的每一点处都连续可微，而且其全微分等于 $\frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}$ ，因此就是所求的原函数。

这样我们就有

$$
\frac{-y d x+x d y}{x^2+y^2}=d \theta
$$

并约定对于今后出现的原函数 $\arctan \frac{y}{x}$ 就自动理解为它的连续延拓 $\theta$ ．

关于原函数的以上定义和定理都可以推广到 $R ^3$ 中．其中常见的全微分式是

$$
\frac{x d x+y d y+z d z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}=d\left(-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)
$$

这里若记 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，则就可以与前面有关例题中的结果相联系，即有

$$
\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{x i +y j +z k }{r^3}
$$

例题 0.4 求 $I=\int_{(0,0)}^{(1,1)} y d x+x d y$ ．
解 由于 $d (x y)=y d x+x d y$ ，因此就有

$$
I=\left.x y\right|_{(0,0)} ^{(1,1)}=1
$$

下面是一个重要的例题．其中的记号 $\oint$ 表示积分路径为闭曲线．

例题 0.5 （Gauss 积分）求 $\oint_C \frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}$ ，其中路径 $C$ 是不经过原点的闭曲线．

解 如前所述，在去心平面 $R ^2-\{(0,0)\}$ 上本题的被积表达式是全微分，其原函数是点 $(x, y)(\neq(0,0))$ 在极坐标中的极角 $\theta$ ．这里需要分三种情况来讨论，同时请参见下面的附图．
 ![图片](/uploads/2025-02/30171e.jpg)
 （i）如图 2（a）所示，闭曲线 $C$ 从点 $A$ 开始以逆时针方向围绕原点一周回到点 $B=A$ ．这时极角 $\theta$ 连续（但不必单调）地从 0 变化到 $2 \pi$ ，因此虽然 $A=B$ ，但却有 $\theta_A=0, \theta_B=2 \pi$ ，因此就有

$$
I=\left.\theta\right|_A ^B=2 \pi
$$

（ii）如图 2（b）所示，闭曲线 $C$ 不围绕原点，即原点在 $C$ 的外部，则 $\theta_A=\theta_B$ ，因此 $I=0$ ．
（iii）如图2（c）所示，闭曲线 $C$ 围绕原点按照逆时针方向旋转两周，因此有 $\theta_A=0, \theta_B=4 \pi$ ，于是 $I=4 \pi$ 。

依此类推，若闭曲线围绕原点按照逆时针方向旋转 $n$ 周，则 $I=2 n \pi$ ，而若闭曲线围绕原点按照顺时针方向旋转 $n$ 周，则 $I=-2 n \pi$ ．

例题 0.6 求使得地球表面的单位质点脱离重力场所需作的功．

解 记 $G$ 为万有引力常数，$M$ 为地球质量，取地球中心为原点，于是地球对位置在点 $(x, y, z)$ 的单位质点的引力为

$$
F =-\frac{G M}{r^2} \cdot \frac{ r }{r}=-\frac{G M}{r^3}(x i +y j +z k )
$$

其中 $r =(x, y, z), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ．

在此重力场中将单位质点沿曲线 $C$ 移动就是要克服引力作功，因此可以用第二类曲线积分表出为

$$
\int_C- F \cdot d r =G M \int_C \frac{x d x+y d y+z d z}{r^3} .
$$

如前所说，已知上述积分号下的被积表达式是全微分式，其原函数是 $-\frac{1}{r}$ ，因此积分与路径无关。

要使得地面的单位质点脱离地球的引力场相当于将该质点按照某条轨道送到无穷远处．不妨设该质点的起始位置为 $(0,0, R)$ ，而将无穷远处用 $\infty$ 表示，则所要作的功是

$$
W=G M \int_{(0,0, R)}^{\infty} \frac{r \cdot d r}{r^3}=-\left.G M \frac{1}{r}\right|_R ^{+\infty}=\frac{G M}{R}
$$

利用地面的重力加速度为 $g=\frac{G M}{R^2}$ ，这样就有 $W=g R$ ．
现在采取在地面上给予质量为 $m$ 的质点以速度 $v_0$ 的方法来发射该质点．这样获得的动能就可以用来克服地球引力作功，因此应当成立等式：
$$
\frac{1}{2} m v_0^2=m g R
$$

因此得到 $v_0=\sqrt{2 g R}$ ．
用 $g=9.81$ 米 $/$ 秒 ${ }^2$ 和 $R=6371$ 米代入就得到 $v_0=11.2$ 千米／秒，这就是第二宇宙速度。

注 这里还是离不开与路径无关的概念。

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