最后更新: 2025-02-01 16:37 查看: 12 次反馈刷题

两类曲线积分的联系

五．两类曲线积分的联系
先考虑将第二类曲线积分转化为第一类曲线积分。
设 $\overparen{A B}$ 是光滑曲线 $r = r (t), t \in\left[t_A, t_B\right]$ ，且设 $t_A<t_B . r ^{\prime}(t)$ 是曲线的切向，记 $\tau =\frac{ r ^{\prime}(t)}{\left| r ^{\prime}(t)\right|}$ 是单位切向量，它可以用方向余弦表示为

$$
\tau =(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
$$

其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 是 $\tau$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴和 $z$ 轴的正向的夹角．
利用弧长微分

$$
d s=\sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2+z^{\prime}(t)^2} d t=\left| r ^{\prime}(t)\right| d t
$$

因此有

$$
d r = r ^{\prime}(t) d t= \tau d s
$$

这样就可以对于 $f =(P, Q, R)$ 得到
$$
\int_{\overparen{A B}} f \cdot d r =\int_{\overparen{A B}} f \cdot \tau d s=\int_{\overparen{A B}}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d s
$$

这样就在 $t_A<t_B$ 的条件下将第二类曲线积分化为第一类曲线积分．对于 $t_A>t_B$的情况，利用

$$
\int_{\overparen{A B}} f \cdot d r =-\int_{\overparen{B A}} f \cdot d r
$$

可见只要乘以 -1 即可．
同样可以将第一类曲线积分转化为第二类曲线积分．
设 $t_A<t_B$ ，利用 $\tau \cdot \tau =| \tau |^2=1, \tau d s= d r$ ，因此就有

$$
\int_{\overparen{A B}} F d s=\int_{\overparen{A B}} F \tau \cdot \tau d s=\int_{\overparen{A B}} F \tau \cdot d r
$$

其中右边的最后一个积分就是 $F r =(F \cos \alpha, F \cos \beta, F \cos \gamma)$ 在有向曲线 $\overparen{A B}$ 上的第二类曲线积分，这就是

$$
\int_{\overparen{A B}} F d s=\int_{\overparen{A B}} F \cos \alpha d x+F \cos \beta d y+F \cos \gamma d z
$$

例题 0.7 设 $u(x, y)$ 为二元连续函数，$C_R$ 是圆周 $x^2+y^2=R^2$ ，要求将第一类曲线积分

$$
I=\frac{1}{2 \pi R} \int_{C_R} u(x, y) d s
$$

化为第二类曲线积分．
解 1 对于 $C_R$ 上的点 $(x, y)$ ，在该点沿逆时针方向的切向可以将向量 $(x, y)$ 旋转正 $90^{\circ}$ 得到．因此若记 $(x, y)$ 的方向为 $(\cos \theta, \sin \theta)$ ，则切方向的单位向量就是

$$
\tau =\left(\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right), \sin \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)=(-\sin \theta, \cos \theta)=\frac{(-y, x)}{R}
$$

又利用 $\tau d s= d r =( d x, d y)$ ，这样就有

$$
\begin{aligned}
I & =\frac{1}{2 \pi R} \oint_{C_R} u \tau \cdot \tau d s \\
& =\frac{1}{2 \pi R^2} \oint_{C_R}-y u d x+x u d y
\end{aligned}
$$

解2 利用 $C_R$ 是半径为 $R$ 的圆，因此就有

$$
d s=R d \theta=R d\left(\arctan \frac{y}{x}\right)=R \cdot \frac{-y d x+x d y}{x^2+y^2}=\frac{-y d x+x d y}{R}
$$

代入 $I$ 的积分表达式即可。

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