最后更新: 2025-10-25 16:06 查看: 73 次纠错评论(0) 课件开VIP

两类曲线积分的联系

## 两类曲线积分的联系
设光滑曲线 $L$ 的方程为

$$
x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t), \quad t: a \rightarrow b,
$$

在方向角余弦里，我们知道，如果对$f(x,y,z)$求偏导，得到3个分量，就是曲线的切线，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393)

![img-text](/uploads/2022-12/image_202212301d2a95f.png)

这里 $t: a \rightarrow b$ 表示参数 $t$ 从 $a$ 变化到 $b$ ，这就确定了 $L$ 的方向．则 $L$ 是可求长的，且曲线的弧长的微分 $\mathrm{d} s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$ ．注意到 $\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)$ 是曲线的切向量，因此它的单位切向量为

$$
\boldsymbol{\tau}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{1}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}}\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) .
$$

若向量值函数

$$
\boldsymbol{f}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k}
$$

在 $L$ 上连续，那么由定理14．1．1得到第二类曲线积分的计算公式：

$$
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z \\
= & \int_L[P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma] \mathrm{d} s \\
= & \int_a^b\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t .
\end{aligned}
$$

特别地，如果 $L$ 的方程是

$$
y=y(x), \quad z=z(x), \quad x: a \rightarrow b
$$

则

$$
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z \\
= & \int_a^b\left[P(x, y(x), z(x))+Q(x, y(x), z(x)) y^{\prime}(x)+R(x, y(x), z(x)) z^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x .
\end{aligned}
$$

如果 $L$ 为 $x y$ 平面上光滑曲线，其方程为

$$
x=x(t), \quad y=y(t), \quad t: a \rightarrow b,
$$

则

$$
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_a^b\left[P(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t .
$$

因此，如果 $L$ 是 $x y$ 平面上的方程为

$$
y=y(x), \quad x: a \rightarrow b
$$

的光滑曲线，则
$$
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_a^b\left[P(x, y(x))+Q(x, y(x)) y^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x .
$$

## 总结
第二类曲线积分可以通过下面公式转换为第一类曲线积分
$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y = \int_0^l[P(x(s), y(s)) \cos (\widehat{\boldsymbol{t}, x})+Q(x(s), y(s)) \cos (\widehat{\boldsymbol{t}, y})] \mathrm{d} s = \int_L[P(x, y) \cos (\widehat{\boldsymbol{t}, x})+Q(x, y) \cos (\widehat{\boldsymbol{t}, y})] \mathrm{d} s,
\end{aligned}
}
$$

类似讨论可以得到

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z \\
= & \int_L[P(x, y, z) \cos (\hat{t}, x)+Q(x, y, z) \cos (\hat{t}, y)+R(x, y, z) \cos (\hat{t}, z)] \mathrm{d} s
\end{aligned}
}

其中 $P, Q, R$ 为空间有向曲线 $L$ 上的连续函数，$(\cos (\widehat{t}, x), \cos (\widehat{t}, y), \cos (\widehat{t}, z))$ 为曲线 $L$正切向的方向余弦。

`例` 设 $u(x, y)$ 为二元连续函数，$C_R$ 是圆周 $x^2+y^2=R^2$ ，要求将第一类曲线积分

$$
I=\frac{1}{2 \pi R} \int_{C_R} u(x, y) d s
$$

化为第二类曲线积分．
解 1 对于 $C_R$ 上的点 $(x, y)$ ，在该点沿逆时针方向的切向可以将向量 $(x, y)$ 旋转正 $90^{\circ}$ 得到．因此若记 $(x, y)$ 的方向为 $(\cos \theta, \sin \theta)$ ，则切方向的单位向量就是

$$
\tau =\left(\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right), \sin \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)=(-\sin \theta, \cos \theta)=\frac{(-y, x)}{R}
$$

又利用 $\tau d s= d r =( d x, d y)$ ，这样就有

$$
\begin{aligned}
I & =\frac{1}{2 \pi R} \oint_{C_R} u \tau \cdot \tau d s \\
& =\frac{1}{2 \pi R^2} \oint_{C_R}-y u d x+x u d y
\end{aligned}
$$

解2 利用 $C_R$ 是半径为 $R$ 的圆，因此就有

$$
d s=R d \theta=R d\left(\arctan \frac{y}{x}\right)=R \cdot \frac{-y d x+x d y}{x^2+y^2}=\frac{-y d x+x d y}{R}
$$

代入 $I$ 的积分表达式即可。

`例`计算

$$
\oint_L y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z,
$$

其中 $L$ 是 $x^2+y^2+z^2=1$ 和 $x+y+z=1$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去取逆时针方向．
解 利用曲线 $L$ 的描述可以得到其正切向的方向余弦为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(z-y, x-z, y-x)$ ．

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
I & =\oint_L y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z \\
& =\oint_L \frac{1}{\sqrt{2}}[y(z-y)+z(x-z)+x(y-x)] \mathrm{d} s \\
& =-\frac{1}{\sqrt{2}} \oint_L \mathrm{~d} s
\end{aligned}\\
&\text { 交线是一个半径为 } \sqrt{\frac{2}{3}} \text { 的圆，所以 }\\
&I=-\frac{1}{\sqrt{2}} \oint_L \mathrm{~d} s=-\frac{2 \sqrt{3} \pi}{3} .
\end{aligned}
$$

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