最后更新: 2025-10-25 17:24 查看: 85 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

格林Green 公式

## 格林Green公式
### 单连通与多连通
**定义** 若在区域 $D$ 中的每条单闭曲线都可以在 $D$ 内连续收缩为一点，则称 $D$ 为**单连通区域**，否则称 $D$ 为**多连通区域**．

平时我们常将单连通区域称为**没有洞的区域**，而将多连通区域称为**有洞的区域**，并将其中洞的数目作为区分多连通区域的依据．

在图 2 中就是分别有一个洞，两个洞和三个洞的三个多连通区域，其中用阴影线表示＂挖去＂的洞．
 ![图片](/uploads/2025-02/25a7f8.jpg)

### 曲线的正向
第二类曲线积分是有方向的，我们是这么定义曲线的正向的。设区域 $D$ 的边界 $L$ 由一条或几条光滑曲线所组成．边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走时，区域 $D$ 总在他的左边，如图 21－11 所示．与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为 $-L$ 。

![图片](/uploads/2025-10/924a8e.jpg){width=250px}

### 格林公式
设 $D$ 是平面上的有界区域，其边界 $C \subset  D$ 为分段光滑的曲线，取正向，则当 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上连续可微时，有

$$
\boxed{
\oint_{D} P d x+Q d y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
...\text{(格林公式)}
}
$$

注 右边的被积函数可以用行列式来记忆：

$$
\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
P & Q
\end{array}\right|=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
$$

先看一个例子，它表明应用 Green 公式进行计算时的一个基本技巧．

> 格林公式表明，可以把有向曲线积分转换为曲面积分或者反之把曲面积分转换为有向曲线积分。

`例`求 $I=\int_C x y^2 d y-x^2 y d x$ ，其中 $C$ 是上半圆周 $x^2+y^2=a^2, y \geqslant 0$ ，取向从 $B(a, 0)$ 到 $A(-a, 0), a>0$ ．

![图片](/uploads/2025-02/96d31d.jpg)

解 1 题中的曲线 $C$ 不是闭曲线，可以添上一段有向直线段 $\overline{A B}$ ，这样就得到封闭曲线 $C \cup \overline{A B}$ ，它所围的区域为上半圆 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2, y \geqslant 0\right\}$ ．

用 Green 公式于 $ D=C \cup \overline{A B}$ ，由于在 $\overline{A B}$ 上 $y=0, d y=0$ ，因此

$$
\int_{\overline{A B}} x y^2 d y-x^2 y d x=0
$$

这样就有

$$
\begin{aligned}
I & =\oint_{C \cup \overline{A B}} x y^2 d y-x^2 y d x=\iint_D\left(\frac{\partial\left(x^2 y\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(x y^2\right)}{\partial x}\right) d x d y \\
& =\iint_D\left(x^2+y^2\right) d x d y=\int_0^\pi \int_0^a r^3 d r=\frac{\pi}{4} a^4
\end{aligned}
$$

> 格林公式里，$dx$ 前面的是$P$, $dy$ 前面的是$Q$

解 2 此题当然可以按照第二类曲线积分的计算公式来做．用参数表示 $x=a \cos t, y=a \sin t, t$ 从 0 到 $\pi$ ，就有

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^\pi 2 a^4 \sin ^2 t \cos ^2 t d t=4 a^4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 t\left(1-\sin ^2 t\right) d t \\
& =4 a^4 \frac{\pi}{4}\left(1-\frac{3}{4}\right)=\frac{\pi}{4} a^4 .
\end{aligned}
$$

注 作为第一个例子就介绍添加辅助线的方法是不错的，但这个例子太简单，解 1 似乎比解 2 还复杂，不能说

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