最后更新: 2025-02-01 16:43 查看: 16 次反馈刷题

单连通区域

定义 0.1 若在区域 $D$ 中的每条单闭曲线都可以在 $D$ 内连续收缩为一点，则称 $D$ 为单连通区域，否则称 $D$ 为多连通区域．

平时我们常将单连通区域称为没有洞的区域，而将多连通区域称为有洞的区域，并将其中洞的数目作为区分多连通区域的依据．在图 2 中就是分别有一个洞，两个洞和三个洞的三个多连通区域，其中用阴影线表示＂挖去＂的洞．
 ![图片](/uploads/2025-02/25a7f8.jpg)
 
 还应当指出，在前面的许多例题中已经见到过多连通区域．例如去心平面

$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \neq 0\right\}= R ^2-\{(0,0)\}
$$

就是有一个洞（实际上是一个孔）的多连通区域，因为围绕原点的单闭曲线不可能在 $D$ 内连续收缩为一点．例题．．．中的结论实际上已经提示我们多连通区域和单连通区域会带来完全不同的答案。

在多连通区域上 Green 公式的证明教科书中放到下面的第五小节中，讲课时可以直接讲下去．

三．其他例子
下面是一个重要例子，其结果在许多问题中有用。
例题 0.2 设区域 $D$ 满足 Green 公式中的条件满足，$u(x, y)$ 在 $D$ 上二阶连续可微，要求将第一类曲线积分 $\oint_C \frac{\partial u}{\partial n} d s$ 转化为二重积分，其中 $n$ 是曲线 $C$ 的单位外法向量．

解 为了写出方向导数 $\frac{\partial u}{\partial n}$ ，先要求出 $n$ ．设曲线 $C$ 的参数表示以弧长为参数，即 $x=x(s), y=y(s), 0 \leqslant s \leqslant l$ ，其中 $l$ 是 $C$的弧长，且要求 $s$ 的增长方向就是闭曲线 $C$ 的正向。这时，与正向一致的单位切向量 $\tau =\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$ 。

如图3所示，其中只画出了 $C=\partial D$ 的一部分，它的取向由单位切向量 $\tau$ 表出．这

![图片](/uploads/2025-02/f650ff.jpg)

时的单位外法向量 $n =\left(y^{\prime}(s),-x^{\prime}(s)\right)$ ．

于是 $u$ 在 $n$ 方向的方向导数为

$$
\frac{\partial u}{\partial n}=u_x y^{\prime}(s)-u_y x^{\prime}(s)
$$

由此即可将第一类曲线积分转化为第二类曲线积分，然后用 Green 公式得到：

$$
\oint_C \frac{\partial u}{\partial n} d s=\oint_C u_x d y-u_y d x=\iint_D\left(u_{x x}+u_{y y}\right) d x d y .
$$

注 从 $\tau$ 的表达式推出 $n$ 的表达式（或相反）可以用三角函数关系来做．如上一个例题中 $\tau =\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$ 同时写为 $\tau =(\cos \theta, \sin \theta)$ ，则就有（参考图 3）：

$$
n =\left(\cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right), \sin \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\right)=(\sin \theta,-\cos \theta)=\left(y^{\prime}(s),-x^{\prime}(s)\right) .
$$

当然还可以用其他方法．例如，在教科书 p． 173 的例 7 中则需要从单位外法向量求单位切向量，其中用的就是乘以虚数 i 的复数方法．

注 2 在这个例题中从第一类曲线积分到第二类曲线积分的转化是利用被积表达式中出现 $x^{\prime}(s) d s= d x$ 和 $y^{\prime}(s) d s= d y$ 来实现的．如果用前面引入 $1= \tau \cdot \tau$的方法也可以，但计算量要大得多．

从 Green 公式可以导出平面图形面积计算的新公式。
为此只要在 Green 公式中取 $P=-y, Q=x$ ，这样就有

$$
\oint_{\partial D}-y d x+x d y=2 \iint_D d x d y=2|D|
$$

其中记 $D$ 的面积为 $|D|$ ．于是得到面积计算公式

$$
|D|=\iint_D d x d y=\frac{1}{2} \oint_{\partial D}-y d x+x d y
$$

当然还有

$$
|D|=\oint_{\partial D}-y d x=\oint_{\partial D} x d y
$$

其中的第一式对于 $D$ 为 $x$ 区域，即有 $D=\left\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, y_1(x) \leqslant y \leqslant y_2(x)\right\}$时，就可以推导出过去熟知的面积公式（见上册 p .269 的（10．1．1））：

$$
|D|=\int_a^b\left[y_2(x)-y_1(x)\right] d x .
$$

请读者完成这个推导。
注 在上册 p． 271 实际上已经出现过这样的公式，当然那里没有曲线积分的概念，同时也只限于上面所说的简单区域（参见上册 p． 271 的图 10－9）。从 Green 公式可知，这个面积计算公式对于以分段光滑的闭曲线为边界的平面区域都是成立的。

书中下面的例 3 与上册 p． 271 的例 5 完全重复了。它说明在上面的三个面积公式中我们往往还愿意用第一个，虽然它长一点，但也许计算会更方便一些．

例题 0.3 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a, b>0)$ 所围的面积．
解 用参数方程 $x=a \cos t, y=b \sin t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ，则就有

$$
\begin{aligned}
|D| & =\frac{1}{2} \oint_C-y d x+x d y \\
& =\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi}[-b \sin t \cdot a(-\sin t)+a \cos t \cdot b \cos t] d t=\pi a b
\end{aligned}
$$

刷题

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