最后更新: 2025-10-25 18:01 查看: 194 次纠错评论(0) 课件开VIP

区域D有洞的格林公式

## 区域 $D$＂有洞＂情况的 Green 公式

### 补线

`例`已知曲线 L 方程为 $y=1-|x|, x \in[-1,1]$ ， L 起点为 $(-1,0)$ ，终点为 $(1,0)$ ，计算曲线积分 $I=\int_L\left(x y+e^{y^2}\right) d x+\left(x^2+2 x y e^{y^2}\right) d y$

解：由于该函数直接积分较为困难，故考虑格林公式，但积分曲线非封闭，故补充直线 $L_1: y=0, x: 1 \rightarrow-1$ 则 $L+L_1$ 为顺时针方向且记围成区域为 D ，且 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=x$ ，则有 $I=\oint_{L+L_1}-\int_{L_1}=-\iint_D x d x d y-\int_1^{-1} d x=2$

`例`求 $I=\int_L\left(x e^{2 y}+y\right) d x+\left(x^2 e^{2 y}-y\right) d y$ ，其中 L 为自原点到点 $A(2,2)$ 的圆弧 $y=\sqrt{4 x-x^2}$

解 ：补上线段 $L_1: y=0, x: 2 \rightarrow 0, L_2: x=2, y: 2 \rightarrow 0$ 利用格林公式有

$$
I=\oint_{L+L_1+L_2}-\int_{L_1}-\int_{L_2}=-\iint_D d x d y-\int_{L_1}-\int_{L_2}=\pi+2 e^4-2
$$

### 挖洞

`例`计算曲线积分 $\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为圆心，$R(R>1)$ 为半径的圆周，取逆时针方向．

解:函数在$(0,0)$无定义，所以可以挖洞。 令 $P=\frac{-y}{4 x^2+y^2}, Q=\frac{x}{4 x^2+y^2}$ ，当 $(x, y) \neq(0,0)$ 时，计算可得， $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 成立．

![图片](/uploads/2025-10/657b13.jpg){width=200px}
 
 
记曲线 $L$ 围成的区域为 $D$ ，如图 18－13 所示，$D$ 中包含点 $(0,0)$ ，所以 $P(x, y), Q(x, y), \frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x}$ 在点 $(0,0)$ 处都不连续，这种情况下，不可以直接使用格林公式．

作足够小的椭圆 $C: 4 x^2+y^2=\delta^2$（使其在 $D$ 内部，$\delta>0$ ），取逆时针方向。

记 $C$ 与 $L$ 围成的区域为 $D_1, C$ 围成的区域为 $D_2$ ，由格林公式，

$$
\begin{aligned}
I & =\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\oint_{L+C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y-\oint_C P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{D_1}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\oint_C P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \\
& =0-\oint_C P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\oint_C P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{\delta^2} \oint_C x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=\frac{1}{\delta^2} \int_{D_z} 2 \mathrm{~d} \sigma \\
& =\frac{1}{\delta^2} \cdot 2 \pi \frac{\delta}{2} \cdot \delta=\pi
\end{aligned}
$$

挖洞法的思想就是：我不直接沿着你原来的曲线做积分了，因为这样会包含无定义的点，我可以这样：我先沿着你走一段，然后径直走向圆心，围着圆心绕一个圈之后再返回圆周，这样我走的新的路径就可以使用格林公式啦，只是和题干所求的式子相比，我多走了里面的小圈，多做了一些功，那我再减去就好了。

![图片](/uploads/2025-10/a863eb.jpg)

> 请注意：上例稍微了解即可，不是每个都可以挖洞成功，这个其实是 《复变函数与积分变换》里的 [柯西积分公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1883)

二阶偏微分方程方程 $\Delta u=0$ 称为 Laplace 方程或调和方程，满足该方程的函数称为**调和函数**

只有满足 柯西黎曼方程或者调和函数的才好哇，详见 复变函数教程

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

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