最后更新: 2025-03-17 09:34 查看: 5 次反馈刷题

调和函数

下面是 $\S 23.2$ 的例 7 的续．其中 $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ 为 Laplace 算子，二阶偏微分方程方程 $\Delta u=0$ 称为 Laplace 方程或调和方程，满足该方程的函数称为调和函数．

例题 0.4 （调和函数的平均值定理）设 $u(x, y)$ 在区域 $x^2+y^2 \leqslant R^2$ 上连续，在其内点处二阶连续可微，且满足 $\Delta u=u_{x x}+u_{y y}=0$ ，证明

$$
I=\frac{1}{2 \pi R}{\stackrel{C}{C_R}}_{\bigcirc}^{\odot} u(x, y) d s=u(0,0)
$$

证 1 （这是书中的证明方法，较复杂．）首先用 p． 173 的例 7，有

$$
I=\frac{1}{2 \pi} \oint_{C_R} \frac{-y u d x+x u d y}{x^2+y^2}
$$

积分号下的分母在 $C_R$ 上为 $R^2$ ，（本来可以移出到积分号前，但现在不能移出去，否则就做不下去。这也是应用 Green 公式中的一种技巧。）

由于分母在原点为 0 ，因此不能直接用 Green 公式．方法是用圆 $C_{\varepsilon}: x^2+y^2=$ $\varepsilon^2(0<\varepsilon<R)$ 挖一个洞，然后对于介于 $C_R$ 和 $C_{\varepsilon}$ 之间的多连通区域 $D_{\varepsilon}$ 用 Green公式，得到

$$
\oint_{C_R}-\frac{y u}{r^2} d x+\frac{x u}{r^2} d y=\oint_{C_{\varepsilon}}-\frac{y u}{r^2} d x+\frac{x u}{r^2} d y+A
$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}, C_{\varepsilon}$ 取逆时针方向。
下面的主要工作是证明上式右边的第二项 $A$ 为 0 。写出

$$
A=\iint_{\varepsilon<r<R}\left[\left(\frac{y u}{r^2}\right)_y^{\prime}+\left(\frac{x u}{r^2}\right)_x^{\prime}\right] d x d y
$$

由于 $r_x=\frac{x}{r}, r_y=\frac{y}{r}$ ，就有

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{y u}{r^2}\right)_y^{\prime}+\left(\frac{x u}{r^2}\right)_x^{\prime} & =\left(\frac{u}{r^2}-\frac{2 y u}{r^3} \cdot \frac{y}{r}+\frac{y}{r^2} \cdot u_y\right)+\left(\frac{u}{r}-\frac{2 x u}{r^3} \cdot \frac{x}{r}+\frac{x}{r^2} \cdot u_x\right) \\
& =\frac{r_y}{r} \cdot u_y+\frac{r_x}{r} \cdot u_x \\
& =(\ln r)_x^{\prime} \cdot u_x+(\ln r)_y^{\prime} \cdot u_y \\
& =\left(\ln r \cdot u_x\right)_x^{\prime}+\left(\ln r \cdot u_y\right)_y^{\prime},
\end{aligned}
$$

其中最后利用了条件 $u_{x x}+u_{y y}=0$ ．
然后再反方向对 $A$ 用 Green 公式，得到在 $\partial D_{\varepsilon}=C_R \cup C_{\varepsilon}$ 上与原来不同的第二类曲线积分：

$$
\begin{aligned}
A & =\iint_{\varepsilon<r<R}\left[\left(\ln r \cdot u_x\right)_x^{\prime}+\left(\ln r \cdot u_y\right)_y^{\prime}\right] d x d y \\
& =(\oint-\oint)-\ln r \cdot u_y d x+\ln r \cdot u_x d y \\
& =\ln R \oint_{C_R}\left(-u_y d x+u_x d y\right)-\ln \varepsilon \oint_{C_{\varepsilon}}\left(-u_y d x+u_x d y\right)=0
\end{aligned}
$$

这里是将两个第二类曲线积分中的 $\ln r$ 提出到积分号外之后再次对它们用 Green公式，将它们转化为二重积分，其被积函数为 $u_{x x}+u_{y y}=0$ ，因此这两项都等于 0 ．

于是就证明了对于每一个 $\varepsilon \in(0, R]$ ，都成立以下等式，即有

$$
I=\frac{1}{2 \pi} \bigcirc_{C_{\varepsilon}}^{\complement} \frac{-y u d x+x u d y}{r^2}=\frac{1}{2 \pi \varepsilon^2} \bigodot_{C_{\varepsilon}}^{\complement} u(-y d x+x d y) .
$$

用极坐标 $x=\varepsilon \cos \theta, y=\varepsilon \sin \theta$ 代入，就得到

$$
I=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} u(\varepsilon \cos \theta, \varepsilon \sin \theta) d \theta
$$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ 就得到 $I=u(0,0)$ ．

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