最后更新: 2025-10-25 18:44 查看: 45 次纠错评论(0) 课件开VIP

调和函数

## 调和函数
 调和函数简单来说，描述的是一种“稳定状态”或“平衡状态”的函数。

想象一个均匀的金属薄片，它的边缘被固定在不同温度上。经过足够长的时间后，薄片上的温度分布会达到一个不再变化的稳定状态。这个稳定的温度场，在数学上就是一个**调和函数**。

这种“稳定”或“平衡”的数学体现是：**在任意一点，函数的值都等于它周围所有点的平均值**。

*   **二维例子**：在一个平静的湖面上，某一点的水深等于它周围一个极小圆圈上所有点水深的平均值。
*   **三维例子**：物体内部稳定温度场中，某一点的温度等于以该点为球心的极小球面上所有点温度的平均值。

这个“平均值性质”是调和函数最本质的特征之一。

在数学上，调和函数有一个非常精确的定义：

**如果一个二阶连续可微的实值函数 $ u $ 满足拉普拉斯方程，那么它就是调和函数。**

**拉普拉斯方程**的形式如下：

*   **在二维平面 $(x, y)$**：
    $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 $$
    其中，$ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $ 被称为 **拉普拉斯算子**。

*   **在三维空间 $(x, y, z)$**：
    $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 $$

**所以，简而言之：满足 $\Delta u = 0$ 的函数 $u$，就是调和函数。**

$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ 为 Laplace 算子，二阶偏微分方程方程 $\Delta u=0$ 称为 Laplace 方程或调和方程，满足该方程的函数称为调和函数．

## 调和函数的平均值定理

设 $u(x, y)$ 在区域 $x^2+y^2 \leqslant R^2$ 上连续，在其内点处二阶连续可微，且满足 $\Delta u=u_{x x}+u_{y y}=0$ ，证明

$$
I=\frac{1}{2 \pi r} \oint_L u(x, y) \mathrm{d} s=u(0,0)
$$

证明：普通证明是硬性证明， 这里可以使用挖洞法。

由于分母在原点为 0 ，因此不能直接用 Green 公式．方法是用圆 $C_{\varepsilon}: x^2+y^2=$ $\varepsilon^2(0<\varepsilon<R)$ 挖一个洞，然后对于介于 $C_R$ 和 $C_{\varepsilon}$ 之间的多连通区域 $D_{\varepsilon}$ 用 Green公式，得到

$$
\oint_{C_R}-\frac{y u}{r^2} d x+\frac{x u}{r^2} d y=\oint_{C_{\varepsilon}}-\frac{y u}{r^2} d x+\frac{x u}{r^2} d y+A
$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}, C_{\varepsilon}$ 取逆时针方向。
下面的主要工作是证明上式右边的第二项 $A$ 为 0 。写出

$$
A=\iint_{\varepsilon<r<R}\left[\left(\frac{y u}{r^2}\right)_y^{\prime}+\left(\frac{x u}{r^2}\right)_x^{\prime}\right] d x d y
$$

由于 $r_x=\frac{x}{r}, r_y=\frac{y}{r}$ ，就有

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{y u}{r^2}\right)_y^{\prime}+\left(\frac{x u}{r^2}\right)_x^{\prime} & =\left(\frac{u}{r^2}-\frac{2 y u}{r^3} \cdot \frac{y}{r}+\frac{y}{r^2} \cdot u_y\right)+\left(\frac{u}{r}-\frac{2 x u}{r^3} \cdot \frac{x}{r}+\frac{x}{r^2} \cdot u_x\right) \\
& =\frac{r_y}{r} \cdot u_y+\frac{r_x}{r} \cdot u_x \\
& =(\ln r)_x^{\prime} \cdot u_x+(\ln r)_y^{\prime} \cdot u_y \\
& =\left(\ln r \cdot u_x\right)_x^{\prime}+\left(\ln r \cdot u_y\right)_y^{\prime},
\end{aligned}
$$

其中最后利用了条件 $u_{x x}+u_{y y}=0$ ．
然后再反方向对 $A$ 用 Green 公式，得到在 $\partial D_{\varepsilon}=C_R \cup C_{\varepsilon}$ 上与原来不同的第二类曲线积分：

$$
\begin{aligned}
A & =\iint_{\varepsilon<r<R}\left[\left(\ln r \cdot u_x\right)_x^{\prime}+\left(\ln r \cdot u_y\right)_y^{\prime}\right] d x d y \\
& =(\oint-\oint)-\ln r \cdot u_y d x+\ln r \cdot u_x d y \\
& =\ln R \oint_{C_R}\left(-u_y d x+u_x d y\right)-\ln \varepsilon \oint_{C_{\varepsilon}}\left(-u_y d x+u_x d y\right)=0
\end{aligned}
$$

这里是将两个第二类曲线积分中的 $\ln r$ 提出到积分号外之后再次对它们用 Green公式，将它们转化为二重积分，其被积函数为 $u_{x x}+u_{y y}=0$ ，因此这两项都等于 0 ．

于是就证明了对于每一个 $\varepsilon \in(0, R]$ ，都成立以下等式，即有

$$
I=\frac{1}{2 \pi} \bigcirc_{C_{\varepsilon}}^{\complement} \frac{-y u d x+x u d y}{r^2}=\frac{1}{2 \pi \varepsilon^2} \bigodot_{C_{\varepsilon}}^{\complement} u(-y d x+x d y) .
$$

用极坐标 $x=\varepsilon \cos \theta, y=\varepsilon \sin \theta$ 代入，就得到

$$
I=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} u(\varepsilon \cos \theta, \varepsilon \sin \theta) d \theta
$$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ 就得到 $I=u(0,0)$ ．

这个结论也可以参加 [复变函数里的调和函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=854)

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