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格林定理Green

## Green 定理
**Green定理** 设 $D$ 是平面上的单连通区域，$P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$上连续可微，则以下四个命题等价：
（1）对 $D$ 中的任一分段光滑的闭曲线 $\Gamma$ ，有 $\oint_{\Gamma} P d x+Q d y=0$ ．（闭路积分为0．）

（2）对于 $D$ 内的任意两点 $A, B$ ，积分 $\int_{\overparen{A B}} P d x+Q d y$ 只与点 $A, B$ 有关，而与具体的曲线 $\overparen{A B} \subset D$ 的形状无关．（积分与路径无关．）

（3）在 $D$ 内存在单值可微函数 $\varphi(x, y)$ ，使得成立 $d \varphi=P d x+Q d y$ ，称 $\varphi$ 为势函数或即原函数．（存在势函数．）

（4）在 $D$ 内处处成立 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ ．（恰当条件，即检验 $P d x+Q d y$ 为恰当微分形式的条件．）

当上述条件之一满足时，势函数全体为

$$
\varphi(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P d x+Q d y
$$

其中点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为 $D$ 内的任一固定点，$C$ 为任意常数．

**注 这里 $D$ 是单连通区域，$P, Q$ 在 $D$ 内没有奇点是关键条件**．

证 $(1) \Longrightarrow(2)$ ．设 $C_1, C_2$ 是在区域 $D$ 内从 $A$ 到 $B$ 的两条曲线，记 $C_2^*$ 为 $C_2$的反向曲线，则 $A C_1 B C_2^* A$ 就成为闭路，因此从（1）就有（为简明起见略去了被积表达式）：

$$
0=\int_{A C_1 B}+\int_{B C_2^* A}=\int_{A C_1 B}-\int_{A C_2 B}
$$

这样就有 $\int_{C_1}=\int_{C_2}$ ．
$(2) \Longrightarrow(3)$ ．利用（2）就可以定义单值函数

$$
\varphi(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P d x+Q d y
$$

以下只要证明 $\varphi_x=P$ 和 $\varphi_y=Q$ ．
对于点 $(x+\Delta x, y)$ ，取从 $\left(x_0, y_0\right)$ 到 $(x, y)$ 的任意路径（当然要求在 $D$ 内），然后取从 $(x, y)$ 到 $(x+\Delta x, y)$ 的直线段，这样就可以写出差商

$$
\frac{\Delta \varphi}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_x^{x+\Delta x} P(t, y) d t
$$

利用积分中值定理，存在 $\xi \in[x, x+\Delta x]$ ，使得 $\int_x^{x+\Delta x} P(t, y) d t=P(\xi, y)$ ，于是就有 $\frac{\Delta \varphi}{\Delta x}=P(\xi, y)$ 。令 $\Delta x \rightarrow 0$ ，利用 $P$ 连续，就得到 $\varphi_x=P(x, y)$ 。同样可以得到 $\varphi_y=Q(x, y)$ ．
$(3) \Longrightarrow(4)$ ．从 $\varphi_x=P, \varphi_y=Q$ 出发，利用 $P, Q$ 连续可微，就有 $P_y=\varphi_{x y}=$ $\varphi_{y x}=Q_x$ ．
$(4) \Longrightarrow(1)$ 。设 $\Gamma$ 是 $D$ 内的分段光滑闭曲线，所围区域记为 $D_1$ ．由于 $D$ 为单连通区域，因此 $\Gamma$ 所围区域 $D_1$ 也是单连通区域。对此区域用 Green 公式就有

$$
\oint_{\Gamma} P d x+Q d y=\iint_{D_1}\left(-\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}\right) d x d y=0
$$

注 在这 4 个等价命题中，（4）是最容易验证的。在（3）的证明中的方法可以用于具体构造势函数（即原函数）．下面就是一个例子．

`例` 求 $\varphi(x, y)$ ，使得满足

$$
d \varphi=\left(4 x^3 y^3-3 y^2+5\right) d x+\left(3 x^4 y^2-6 x y-4\right) d y
$$

![图片](/uploads/2025-02/214204.jpg)
解 首先要解决 $\varphi$ 是否存在．记 $P(x, y)=4 x^3 y^3-$ $3 y^2+5, Q(x, y)=3 x^4 y^2-6 x y-4$ ，则就有 $P_y=12 x^3 y^2-6 y$ ， $Q_x=12 x^3 y^2-6 y$ ，可见满足恰当条件，从而在全平面存在势函数 $\varphi$ ．

计算 $\varphi$ 的简单方法是取合适的路径，对于本题的问题可以取从 $(0,0)$ 到 $(x, 0)$ ，然后从 $(x, 0)$ 到 $(x, y)$ 的两段直线组成的折线，即有

$$
\begin{aligned}
\varphi(x, y) & =C+\int_0^x P(u, 0) d u+\int_0^y Q(x, v) d v \\
& =C+\int_0^x 5 d x+\int_0^y\left(3 x^4 v^2-6 x v-4\right) d v \\
& =C+5 x+x^4 y^3-3 x y^2-4 y
\end{aligned}
$$

注 在确定存在势函数之后，可以从 $\varphi_x=P(x, y)=4 x^3 y^3-3 y^2+5$ 对 $x$ 积分，将其中的 $y$ 看成为参数，得到 $\varphi=x^4 y^3-3 x y^2+5 x+C(y)$ ，其中最后一项为待定函数。然后代入 $\varphi_y=Q(x, y)=3 x^4 y^2-6 x y-4$ ，即有 $C^{\prime}(y)=-4$ ，因此可确定 $C(y)=-4 y+C$ 。当然也可以先从 $\varphi_y=Q(x, y)$ 出发，所得的表达式中有关于 $x$ 的待定函数，然后用 $\varphi_x=P(x, y)$ 求出最后的势函数．

`例`试用曲线积分求

$$
(2 x+\sin y) \mathrm{d} x+(x \cos y) \mathrm{d} y
$$

的一个原函数．
解 由于 $\frac{\partial}{\partial y}(2 x+\sin y)=\cos y=\frac{\partial}{\partial x}(x \cos y)$ ，因此可取 $\left(x_0, y_0\right)=(0,0)$ ，有

$$
u(x, y)=\int_0^x 2 s \mathrm{~d} s+\int_0^y x \cos t \mathrm{~d} t=x^2+x \sin y .
$$

这里需要注意，对于区域 $D$ 是多连通，即有洞的情况，Green 定理的结论如何？

我们只讨论在该定理的第（4）点，即恰当条件满足的情况下会有什么结论。
对于定理的（1），从定理证明中 $(4) \Longrightarrow(1)$ 可见，若闭路内部没有洞，则积分仍然为 0 ．反之，若闭路内有洞，则积分未必为 0 ．前面的 Gauss 积分例题就是如此．

又不难对于每一个洞发现围绕该洞一周但不包围其他洞的封闭曲线上的积分是常数．这个常数称为该洞的循环常数．例如 Gauss 积分例题中洞 $(0,0)$ 的循环常数就是 $2 \pi$ ．
对于定理的（2），只要从点 $A$ 到点 $B$ 的两条曲线之间没有洞，则积分仍然相等．
对于定理的（3），这时仍然可以存在势函数（即原函数），但不一定是单值的．例如 Gauss 积分例题中的 $\theta$ 就是多值的原函数。这里要注意，多值原函数是一个函数，它与一个原函数加上任意常数后仍然是原函数不是一回事．

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