最后更新: 2025-10-25 18:52 查看: 51 次纠错评论(0) 课件开VIP

利用格林公式证明高斯Gauss的代数基本定理

## 利用格林公式证明高斯Gauss的代数基本定理

`例` **Gauss 的代数基本定理** $n$ 次代数方程 $(n>0)$ 至少有一个复根．
证 设 $f(z)=z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0$ ，其中 $a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}$ 都是复数，$z=x+ i y$ 是复变量．

取充分大的正数 $R$ ，使得满足不等式

$$
R>1+\left|a_0\right|+\left|a_1\right|+\cdots+\left|a_{n-1}\right| .
$$

于是在 $|z|=R$ 时就可以将 $f(z)$ 写为

$$
f(z)=z^n(1+w)
$$

其中

$$
w=\frac{a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0}{z^n} .
$$

由 $R$ 的取法，就有

$$
\begin{aligned}
|w| & \leqslant \frac{\left|a_{n-1}\right| R^{n-1}+\cdots+\left|a_1\right| R+\left|a_0\right|}{R^n} \\
& \leqslant \frac{R^{n-1}}{R^n}\left(\left|a_{n-1}\right|+\cdots+\left|a_1\right|+\left|a_0\right|\right)<1 .
\end{aligned}
$$

现在计算当 $z$ 按照逆时针反向绕圆周 $C_R: x^2+y^2=R^2$ 一周时，$f(z)$ 的幅角变化．由 $f(z)=z^n(1+w)$ 可见

$$
\operatorname{Arg} f(z)=n \operatorname{Arg} z+\operatorname{Arg}(1+w)
$$

右边的第一项的变化量是 $2 n \pi$ ．为了计算右边的第二项的变化量，只要从 $|w|<$ 可看出 $1+w$ 在复平面上始终处于以 $1+0 i$ 为中心，以 1 为半径的开圆内，因此 $1+w$ 的幅角变化为 0 。

这里还应当注意，由于 $|w|<1$ ，当 $z \in C_R$ 时，一定有 $f(z) \neq 0$ ．这就是说当 $z$沿 $C_R$ 一周时，复平面上的曲线 $f(z)$ 不会经过原点．

记 $f(z)=P(x, y)+ i Q(x, y)$ ，其中 $P, Q$ 都是二元实函数，则就可以用第二类曲线积分来计算当 $z$ 沿正向绕 $C_R$ 一周时，$f(z)$ 的幅角变化：

$$
\oint_{C_R} \frac{P d Q-Q d P}{P^2+Q^2}=\oint_{C_R} d\left(\arctan \frac{Q}{P}\right)=2 n \pi \neq 0 .
$$

这里的第一个等式来自于一阶微分的形式不变性，第二个等式则是前面对于 $f(z)=z^n(1+w)$ 的幅角变化计算结果．（其中对于 $\arctan Q / P$ 按照前面计算 Gauss 积分时的连续延拓来理解，也就是 $f(z)$ 的幅角 $\theta$ ．）

现在可以证明代数基本定理的结论了．用反证法．设某个 $f(z)$ 在复平面上没有零点，则 $P^2+Q^2$ 也在 $x y$ 平面上没有零点．于是根据 Green 定理知道，由于存在势函数，在闭路上的第二类曲线积分一定等于 0 ，即有：

$$
\oint_{C_R} \frac{P d Q-Q d P}{P^2+Q^2}=0
$$

从而引出矛盾．因此 $f(z)=0$ 一定有根．
注 证明中的第二类曲线积分仍然以 $x, y$ 为变量，只是利用一阶微分的形式不变性，表面上写成了 $P, Q$ 为中间变量的积分．若 $f(z)=z$ ，则就是前面的 Gauss积分．

其他版本
【高等代数】C R Q 上多项式的因式分解与高等代数基本定理

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