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点态收敛

## 函数项级数与幂级数
这一章的主要对象是函数项级数，即每一项是函数的无穷级数．回顾第十四章，其中的许多数项级数的形式为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，其中 $x$ 是参数，每一项也可看成是 $x$的函数．那么这两章有什么不一样呢？问题是角度完全不同．在第十四章中关心的主要是玫散性．在有参数时仍然如此．在这一章中则从函数的角度考虑问题．设通项 $u_n(x)$ 于数集 $I$ 上有定义，且对每个 $x \in I$ 收玫，于是级数的和就成为在 $I$ 上有定义的函数，今后称为和函数，经常记为

$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \quad \forall x \in I
$$

问题就是如何研究 $S(x)$ 的性质，其中包括连续性，可积性和可微性，还有积分与导数的计算方法．若能够求出 $S(x)$ 的有限表达式（也经常称为封闭形式），则原则上已经没有困难．但重要的情况恰恰是和函数只有上述无穷级数表达式的情况，这时怎么办 ${ }^{(1)}$ ？

办法是从通项 $u_n(x)$ 的性质出发，去研究和函数 $S(x)$ 是否继承了相应的性质。为此在下面将会发现，第十四章中的玫散性概念是不够用的．这里需要引入本章的核心概念———致收玫性。

## 15.1.1 点态收敛
对函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x), x \in I$ ，记其部分和函数序列（简称为函数列）为
（1）这里要指出，恰如带有参数的定积分以及带有变动积分限的定积分给出许多新的非初等函数那样，函数项级数也是定义新的函数的重要手段．第十五章的问题就是如何研究由无穷级数给出的函数的性质．
 
$\left\{S_n(x)\right\}$ ，则级数玫散性也就是这个函数列的玫散性．如数列与级数的关系一样（参见定理 2．7），讨论函数列与讨论函数项级数也是等价的。

先叙述最简单的点态收玫概念，它就是在上一章中的收玫概念，只不过是对函数列或函数项级数而言．

下面的记号 $I$ 一般为区间或区间的并，也可以是更一般的数集．
定义 15.1 设函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $I$ 上有定义，且对每个 $x \in I$ 存在极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)=S(x)
$$

则称 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上点态收玫或点态收玫于 $S(x)$ ，称 $S(x)$ 为 $\left\{S_n(x)\right\}$ 的极限函数．若这时的 $\left\{S_n(x)\right\}$ 是函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的部分和函数列，则称该函数项级数在 $I$ 上点态收玫或点态收玫于和函数 $S(x)$ ．

先举一个虽然简单但却可以说明许多问题的典型例子．
例题15．1 在 $I=[0,1]$ 上考虑函数列 $\left\{x^n\right\}$ ，则该函数列在 $I$ 上点态收玫，其极限函数是

$$
S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x^n= \begin{cases}0, & 0 \leqslant x<1 \\ 1, & x=1\end{cases}
$$

注意 $S(x)$ 于点 $x=1$ 处左侧不连续．可见在 $I$ 上连续的函数列的极限函数可以有不连续点。

在图 15.1 中作出 $n=1,2,4,8,16$ 的函数 $x^n$ 的图像 （用细曲线），用粗黑线作出极限函数 $S(x)$ ．

![图片](/uploads/2025-02/247c55.jpg)
  
  注 可将上述例子换一个说法，即函数项级数

$$
x+\left(x^2-x\right)+\cdots+\left(x^n-x^{n-1}\right)+\cdots=x+\sum_{n=2}^{\infty}\left(x^n-x^{n-1}\right)
$$

在 $[0,1]$ 上点态收玫，其和函数为上述 $S(x)$ ．于是在一个区间上每一项连续的函数项级数的和函数可以有不连续点．

## 15.1.2 一致收敛性
如前所说，点态收玫没有什么新的内容，它就是在第十四章中所使用的收玫概念，若级数的通项有参数的话．

本章的核心概念是一种新的收玫概念——致收玫．下面给出函数列以及函数项级数的一致收玫的定义．

定义 15.2 称函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收玫于 $S(x)$ ，若对 $\forall \varepsilon>0, \exists N$ ， $\forall n \geqslant N, \forall x \in I:$

$$
\left|S_n(x)-S(x)\right|<\varepsilon .
$$

若这时的 $S_n(x)$ 是函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的部分和函数列，则称该函数项级数于 $I$上一致收玫于其和函数 $S(x)$ ．

代替收玫的记号 $\rightarrow$ ，今后用记号 $\rightrightarrows$ 表示一致收玫。于是 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $S(x)$ 可表示为 $S_n(x) \rightrightarrows S(x), x \in I$ 或 $S_n(x) \stackrel{I}{\rightrightarrows} S(x)$ 。

注 从定义可见，若 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $I$ 上一致收玫于 $S(x)$ ，则也一定点态收玫于 $S(x)$ ．进一步用 $\varepsilon-N$ 语言对比以上两个定义，就可看出它们的差别。

点态收玫就是要求对每一个点 $x \in I$ 有 $S_n(x) \rightarrow S(x)$ 。因此对于给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时成立 $\left|S_n(x)-S(x)\right|<\varepsilon$ ．这里的 $N$ 不仅会随着 $\varepsilon$ 的变化而改变，而且还与点 $x$ 有关。这种依赖关系可以写成 $N=N(\varepsilon, x)$ 。

从一致收玫的定义 15.2 可见，它与点态收敛的区别在于对每个 $\varepsilon>0$ ，要求存在只与 $\varepsilon$ 有关的 $N$ ，使得当 $n \geqslant N$ 时，$\left|S_n(x)-S(x)\right|<\varepsilon$ 对所有 $x \in I$ 同时成立．

从几何上来看一致收敛可能更为清楚．如图 15.2 所示，设 $I=[a, b]$ ，则对给定的 $\varepsilon>0$就生成以 $y=S(x)$ 为中线（在图上用粗黑曲线表示）的一个带状区域：

$$
\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, S(x)-\varepsilon<y<S(x)+\varepsilon\}
$$

一致收敛的意义在于存在 $N=N(\varepsilon)$ ，使得所有 $n \geqslant N$ 的曲线 $y=S_n(x), a \leqslant x \leqslant b$ ，完全落在上述带状区域之内．

![图片](/uploads/2025-02/cd380d.jpg)
 
 在图 15.2 的带状区域内画了一条有多个极值的细曲线代表某一个 $y=S_n(x)$ ．又画出区域内的平行 $y$ 轴的一个直线段，即 $x=x_0, S\left(x_0\right)-\varepsilon<y<S\left(x_0\right)+\varepsilon$ ．

对于在点 $x=x_0$ 处的 $S_n\left(x_0\right) \rightarrow S\left(x_0\right)$ 来说，只要 $N$ 足够大，当 $n \geqslant N$ 时，点 $\left(x_0, S_n\left(x_0\right)\right)$ 一定会落在上述直线段内．这就是点态收玫的几何意义．对于不同的点 $x_0, N$ 一般是不同的．这就是说点 $\left(x, S_n(x)\right)$ 进入带状区域的先后可以不一样．一致收玫则要求存在只与 $\varepsilon$ 有关的 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时所有 $S_n(x), a \leqslant x \leqslant b$ 同时进入到带状区域中。

到此可以明白，一致收敛是一种整体性质，因此每次必须指出在什么 $I$ 上一致收玫 ${ }^{(1)}$ ．在下一个例题中我们列出可以从定义直接得到的一致收玫的若干平凡而常用的性质．其证明留作练习题．

例题 15.2 从一致收玫定义可以直接证明以下结论：
（1）若 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收玫，$J \subset I$ ，则 $\left\{S_n(x)\right\}$ 也在 $J$ 上一致收玫；
（2）若函数列 $\left\{S_n\right\}$ 在 $I$ 和 $J$ 上分别一致收玫，则也在 $I \cup J$ 上一致收敛；
（3）若函数列 $\left\{S_n\right\}$ 在 $[a, b)$ 上一致收玫，又在点 $x=b$ 收敛，则该函数列在 $[a, b]$ 上一致收敛．
（4）若函数列 $\left\{S_n\right\}$ 在 $[a, b]$ 上点态收玫，但不一致收玫，则该函数列在 $[a, b),(a, b],(a, b)$ 上都不是一致收玫的．

在理解和验证一致收敛时，引入函数的范数概念是有用的．
对于在 $I$ 上的函数 $f$ ，其范数定义为

$$
\|f\|=\sup _{x \in I}|f(x)| .
$$

这时 $\|f-g\|$ 就代表两个函数 $f$ 与 $g$ 之间的某种距离（即函数空间 ${ }^{(1)}$ 中的距离）．如 $\|f-g\|=0$ ，则 $f$ 和 $g$ 在 $I$ 上恒等．这时有以下结论。

定理 15.1 设 $\left\{S_n(x)\right\}$ 是 $I$ 上的函数列，$\|\cdot\|$ 是 $I$ 上的范数，则

$$
S_n(x) \stackrel{I}{\rightrightarrows} S(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|S_n-S\right\|=0
$$

证 若 $S_n(x) \stackrel{I}{\rightrightarrows} S(x)$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall x \in I:\left|S_n(x)-S(x)\right|<\varepsilon$ ．将上述最后一个不等式关于 $x \in I$ 取上确界，就有 $\left\|S_n-S\right\| \leqslant \varepsilon$ ．这样就已经得到 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|S_n-S\right\|=0$ ．

反之，若有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|S_n-S\right\|=0$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N:\left\|S_n-S\right\|<\varepsilon$ ．根据范数的上确界定义，就有 $\left|S_n(x)-S(x)\right|<\varepsilon \forall x \in I$ ．

由此可见，对于给定在 $I$ 上的函数列，若能计算出它的极限函数，又能计算出定理中的范数，则一致收玫问题就转化为一个数列是否收敛于 0 的问题了．可惜对于一般的函数列或者函数项级数的部分和函数列来说，以上几步计算过程往往是难以实现的。下面我们用一些简单例子来学习一致收敛概念和定理 15.1 的用法．

例题 15.3 证明函数列 $S_n(x)=\frac{x}{1+n^2 x^2} \forall n$ 在 $R$ 上一致收敛．
证 可先求出极限函数为 $S(x) \equiv 0$ ．以下计算范数 $\left\|S_n-S\right\|$ ．可以估计得到

$$
\left|\frac{x}{1+n^2 x^2}\right|=\frac{1}{2 n} \cdot \frac{2 n|x|}{1+n^2 x^2} \leqslant \frac{1}{2 n},
$$

且当 $n|x|=1$ 时成立等号．可见范数 $\left\|S_n-S\right\|=\frac{1}{2 n}$ ．因此 $\left\{S_n(x)\right\}$ 一致收玫．
现在继续讨论例题 15.1 中的函数列（并参看图 15．1）．
例题 15.4 证明函数列 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛．
证 1 在前面已经得到了极限函数 $S(x)$ ，它除了在 $x=1$ 处为 1 之外处处等于 0 ，因此可以直接计算出范数 $\left\|x^n-S(x)\right\|$ 为：

$$
\sup _{0 \leqslant x \leqslant 1}\left|x^n-S(x)\right|=\sup _{0 \leqslant x<1}\left|x^n\right|=1
$$

由于这对每一个正整数 $n$ 成立，因此 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1]$ 上不一致收玫．
证 2 反证法．设 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．则对 $\varepsilon_0=1 / 2$ ，存在 $N, \forall n \geqslant N$ ， $\forall x \in[0,1]$ ：

$$
\left|x^n-S(x)\right|<\frac{1}{2}
$$

令 $x \rightarrow 1^{-}$，就导致矛盾 $1 \leqslant \frac{1}{2}$ ．
注 如例题 15.1 后的注中所说，令

$$
u_1(x)=x, u_n(x)=x^n-x^{n-1} \forall n \geqslant 2,
$$
这样就得到了在 $[0,1]$ 上点态收玫但不一致收玫的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ．
例题15．5 证明 $S_n(x)= e ^{-n x^2} \forall n$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $|x| \geqslant \delta$时一致收玫，其中 $\delta>0$ 为给定的正数．

证 先求出极限函数为 $S(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x=0 \\ 0, & x \neq 0\end{array}\right.$ ，然后计算在 $(-\infty,+\infty)$ 上的范数，也就是

$$
\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|e^{-n x^2}-S(x)\right|=\sup _{x \neq 0}\left\{e^{-n x^2}\right\}=1,
$$

可见 $e ^{-n x^2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致收玫．又计算出在 $|x| \geqslant \delta$ 上的范数，即有

$$
\sup _{|x| \geqslant \delta}\left|e^{-n x^2}-S(x)\right|=e^{-n \delta^2}
$$

可见只要固定 $\delta>0$ ，则 $e ^{-n x^2}$ 在 $(-\infty,-\delta) \cup(\delta,+\infty)$ 上一致收玫．

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