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点态收敛与一致性收敛

## 函数项级数与幂级数
这一章的主要对象是函数项级数，即每一项是函数的无穷级数．回顾第十四章，其中的许多数项级数的形式为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，其中 $x$ 是参数，每一项也可看成是 $x$的函数．那么这两章有什么不一样呢？问题是角度完全不同．在第十四章中关心的主要是玫散性．在有参数时仍然如此．在这一章中则从函数的角度考虑问题．设通项 $u_n(x)$ 于数集 $I$ 上有定义，且对每个 $x \in I$ 收玫，于是级数的和就成为在 $I$ 上有定义的函数，今后称为和函数，经常记为

$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \quad \forall x \in I
$$

问题就是如何研究 $S(x)$ 的性质，其中包括连续性，可积性和可微性，还有积分与导数的计算方法．若能够求出 $S(x)$ 的有限表达式（也经常称为封闭形式），则原则上已经没有困难．但重要的情况恰恰是和函数只有上述无穷级数表达式的情况，这时怎么办  ？

办法是从通项 $u_n(x)$ 的性质出发，去研究和函数 $S(x)$ 是否继承了相应的性质。为此在下面将会发现，第十四章中的玫散性概念是不够用的．这里需要引入本章的核心概念———一致收玫性。

> 这里要指出，恰如带有参数的定积分以及带有变动积分限的定积分给出许多新的非初等函数那样，函数项级数也是定义新的函数的重要手段．第十五章的问题就是如何研究由无穷级数给出的函数的性质．

## 15.1.1 点态收敛
对函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x), x \in I$ ，记其部分和函数序列（简称为函数列）为$\left\{S_n(x)\right\}$ ，则级数玫散性也就是这个函数列的玫散性．如数列与级数的关系一样（参见定理 2．7），讨论函数列与讨论函数项级数也是等价的。

先叙述最简单的点态收玫概念，它就是在上一章中的收玫概念，只不过是对函数列或函数项级数而言．

下面的记号 $I$ 一般为区间或区间的并，也可以是更一般的数集．
**定义15.1** 设函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $I$ 上有定义，且对每个 $x \in I$ 存在极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)=S(x)
$$

则称 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上**点态收敛**或点态收敛于 $S(x)$ ，称 $S(x)$ 为 $\left\{S_n(x)\right\}$ 的极限函数．若这时的 $\left\{S_n(x)\right\}$ 是函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的部分和函数列，则称该函数项级数在 $I$ 上点态收玫或点态收玫于和函数 $S(x)$ ．

先举一个虽然简单但却可以说明许多问题的典型例子．

`例15.1` 在 $I=[0,1]$ 上考虑函数列 $\left\{x^n\right\}$ ，则该函数列在 $I$ 上点态收玫，其极限函数是

$$
S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x^n= \begin{cases}0, & 0 \leqslant x<1 \\ 1, & x=1\end{cases}
$$

注意 $S(x)$ 于点 $x=1$ 处左侧不连续．可见在 $I$ 上连续的函数列的极限函数可以有不连续点。

在图 15.1 中作出 $n=1,2,4,8,16$ 的函数 $x^n$ 的图像 （用细曲线），用粗黑线作出极限函数 $S(x)$ ．

![图片](/uploads/2025-02/247c55.jpg)
  
  注 可将上述例子换一个说法，即函数项级数

$$
x+\left(x^2-x\right)+\cdots+\left(x^n-x^{n-1}\right)+\cdots=x+\sum_{n=2}^{\infty}\left(x^n-x^{n-1}\right)
$$

在 $[0,1]$ 上点态收玫，其和函数为上述 $S(x)$ ．于是在一个区间上每一项连续的函数项级数的和函数可以有不连续点．

`例` 设 $S_n(x)=\frac{\sin n x}{\sqrt{n}}$ ，则 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收玫，极限函数为 $S(x)=$ 0 ，从而导函数 $S^{\prime}(x)=0$ ．

由于

$$
S_n^{\prime}(x)=\sqrt{n} \cos n x \text {, }
$$

因此 $S_n(x)$ 的导函数所构成的序列 $\left\{S_n^{\prime}(x)\right\}$ 并不收敛于 $S^{\prime}(x)$（例如当 $x=0, S_n^{\prime}(0)= \sqrt{n} \rightarrow+\infty)$ ．

`例` 设

$$
S_n(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 当 } x \cdot n!\text { 为整数, } \\
0, & \text { 当 } x \text { 为其他值, }
\end{array} \quad x \in[0,1]\right. \text {. }
$$

显然，对每一个 $n \in N ^{+}, S_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界，至多只有有限个不连续点，因而是可积的．

但是，当 $x$ 是无理数时，对一切 $n, S_n(x)=0$ ，因此 $S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)=0$ ；当 $x$ 是有理数 $\frac{q}{p}\left(p \in N ^{+}, q \in N , q \leqslant p\right)$ 时，对于 $n \geqslant p, S_n(x)=1$ ，因此 $S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)=1$ 。所以， $\left\{S_n(x)\right\}$ 的极限函数 $S(x)$ 就是熟知的 Dirichlet 函数，它在 $[0,1]$ 上是不可积的．

`例` 设 $S_n(x)=n x\left(1-x^2\right)^n$ ，则 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在区间 $[0,1]$ 上收玫于极限函数
$S(x)=0$ ．显然对任意 $n, S_n(x)$ 与 $S(x)$ 都在 $[0,1]$ 上可积，但是
$$
\begin{aligned}
\int_0^1 S_n(x) d x & =\int_0^1 n x\left(1-x^2\right)^n d x=-\frac{n}{2} \int_0^1\left(1-x^2\right)^n d\left(1-x^2\right) \\
& =\frac{n}{2(n+1)} \nmid \int_0^1 S(x) d x \quad(n \rightarrow \infty)
\end{aligned}
$$
这些例子说明，为了解决这类交换运算次序问题，需要引进比＂点态收敛＂要求更强的新的收玫概念．

## 15.1.2 一致收敛性
如前所说，点态收玫没有什么新的内容，它就是在第十四章中所使用的收玫概念，若级数的通项有参数的话．

本章的核心概念是一种新的收玫概念——致收玫．下面给出函数列以及函数项级数的一致收玫的定义．

**定义15.2** 称函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在

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