最后更新: 2025-09-02 17:33 查看: 214 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

内闭一致收敛

## 15.1.3 内闭一致收敛
这是介于点态收玫和一致收玫概念之间的一种收玫性，在解决下面的许多问题时有用．

**定义15.3** 若 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在数集 $I$ 内的每一个有界闭区间上一致收玫，则称 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上内闭一致收敛。

注 若 $I=[a, b]$ 本身就是有界闭区间，则在 $I$ 上的内闭一致收玫就是一致收敛，定义 15.3 不起作用．有意义的是 $I$ 不是有界闭区间，$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上不一致收敛但却是内闭一致收敛的情况。
 
`例15.6` 函数列 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1)$ 上不一致收玫，但内闭一致收敛．
证（从例题 15.4 和例题 $15.2(4)$ 就可推出 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1)$ 上不一致收敛，但下面还是给出一个独立证明．）

已知 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1)$ 上点态收玫于 $S(x) \equiv 0$ ．用反证法．若 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1)$ 上一致收玫，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall 0 \leqslant x<1:\left|x^n\right|<\varepsilon$ 。固定一个 $n$ ，令 $x \rightarrow 1^{-}$，就得到 $1 \leqslant \varepsilon$ 。这与 $\varepsilon>0$ 的任意性矛盾．

对于在 $[0,1)$ 中的有界闭区间，不妨讨论 $[0, b]$ ，其中 $0<b<1$ ．这时利用 $b^n \rightarrow 0$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N: 0 \leqslant b^n<\varepsilon$ 。于是 $\forall x \in[0, b]: 0 \leqslant x^n \leqslant b^n<\varepsilon$ 。这就证明了 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0, b]$ 上一致收敛。

注 同样可以证明，例题 15.5 中的函数列 $\left\{ e ^{-n x^2}\right\}$ 在 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 上不一致收敛，但却内闭一致收敛。

下面看几种具体情况中内闭一致收敛的意义。
（1）$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收敛等价于对每一个 $M>0,\left\{S_n(x)\right\}$在 $[-M, M]$ 上一致收敛．
（2）$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(a, b)$ 上内闭一致收玫等价于对每一个 $\delta \in\left(0, \frac{b-a}{2}\right),\left\{S_n(x)\right\}$在 $[a+\delta, b-\delta]$ 上一致收玫．
（3）$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(a, b]$ 上内闭一致收敛等价于对每一个 $\delta \in(0, b-a),\left\{S_n(x)\right\}$在 $[a+\delta, b]$ 上一致收敛．
（4）$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $[a, b)$ 上内闭一致收玫等价于对每一个 $\delta \in(0, b-a),\left\{S_n(x)\right\}$在 $[a, b-\delta]$ 上一致收敛．

注 不厌其烦列举以上几点情况是为了什么？可以这样来理解，为了证明函数列在 $I$ 上内闭一致收敛，需要考虑在 $I$ 中的所有有界闭区间 $[c, d]$ ，这时两个端点都是参数，很不方便。因此列举出以上各个情况，其中设法将参数的个数从 2 个降为 1个，从而为检验内闭一致收敛提供方便。这里的依据见例题15．2（1）．

`例15.7` 讨论在 $I=[0,+\infty)$ 上的函数列 $\left\{n x e ^{-n x}\right\}$ 的一致收敛性或内闭一致收玫性。

解 记 $S_n(x)=n x e ^{-n x} \forall n$ ，可以看出这个函数列在 $I=[0,+\infty)$ 上点态收玫于 $S(x) \equiv 0$ ．

为了判定函数列是否在 $I$ 上一致收敛，需要计算 $\left\|S_n-S\right\|=\sup _{x \geqslant 0}\left\{n x e ^{-n x}\right\}$ ．利用微分学，从

$$
\left(n x e^{-n x}\right)^{\prime}=n e^{-n x}-n^2 x e^{-n x}=n e^{-n x}(1-n x)
$$

可以知道最大值点是 $x=1 / n$ ，最大值是 $e ^{-1}$ 。于是就得到 $\left\|S_n-S\right\|= e ^{-1}$ 。这表明 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I=[0,+\infty)$ 上不一致收敛。

同样可以看出 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(0,+\inft

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