最后更新: 2025-03-17 07:55 查看: 24 次反馈刷题

内闭一致收敛

## 15.1.3 内闭一致收敛
这是介于点态收玫和一致收玫概念之间的一种收玫性，在解决下面的许多问题时有用．

定义 15.3 若 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在数集 $I$ 内的每一个有界闭区间上一致收玫，则称 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上内闭一致收敛。

注 若 $I=[a, b]$ 本身就是有界闭区间，则在 $I$ 上的内闭一致收玫就是一致收敛，定义 15.3 不起作用．有意义的是 $I$ 不是有界闭区间，$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上不一致收敛但却是内闭一致收敛的情况。

这样的例子很多．先看例题 15.4 的继续．
例题 15.6 函数列 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1)$ 上不一致收玫，但内闭一致收敛．
证（从例题 15.4 和例题 $15.2(4)$ 就可推出 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1)$ 上不一致收敛，但下面还是给出一个独立证明．）

已知 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1)$ 上点态收玫于 $S(x) \equiv 0$ ．用反证法．若 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0,1)$ 上一致收玫，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall 0 \leqslant x<1:\left|x^n\right|<\varepsilon$ 。固定一个 $n$ ，令 $x \rightarrow 1^{-}$，就得到 $1 \leqslant \varepsilon$ 。这与 $\varepsilon>0$ 的任意性矛盾．

对于在 $[0,1)$ 中的有界闭区间，不妨讨论 $[0, b]$ ，其中 $0<b<1$ ．这时利用 $b^n \rightarrow 0$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N: 0 \leqslant b^n<\varepsilon$ 。于是 $\forall x \in[0, b]: 0 \leqslant x^n \leqslant b^n<\varepsilon$ 。这就证明了 $\left\{x^n\right\}$ 在 $[0, b]$ 上一致收敛。

注 同样可以证明，例题 15.5 中的函数列 $\left\{ e ^{-n x^2}\right\}$ 在 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 上不一致收敛，但却内闭一致收敛。

下面看几种具体情况中内闭一致收敛的意义。
（1）$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收敛等价于对每一个 $M>0,\left\{S_n(x)\right\}$在 $[-M, M]$ 上一致收敛．
（2）$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(a, b)$ 上内闭一致收玫等价于对每一个 $\delta \in\left(0, \frac{b-a}{2}\right),\left\{S_n(x)\right\}$在 $[a+\delta, b-\delta]$ 上一致收玫．
（3）$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(a, b]$ 上内闭一致收敛等价于对每一个 $\delta \in(0, b-a),\left\{S_n(x)\right\}$在 $[a+\delta, b]$ 上一致收敛．
（4）$\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $[a, b)$ 上内闭一致收玫等价于对每一个 $\delta \in(0, b-a),\left\{S_n(x)\right\}$在 $[a, b-\delta]$ 上一致收敛．

注 不厌其烦列举以上几点情况是为了什么？可以这样来理解，为了证明函数列在 $I$ 上内闭一致收敛，需要考虑在 $I$ 中的所有有界闭区间 $[c, d]$ ，这时两个端点都是参数，很不方便。因此列举出以上各个情况，其中设法将参数的个数从 2 个降为 1个，从而为检验内闭一致收敛提供方便。这里的依据见例题15．2（1）．

例题15．7 讨论在 $I=[0,+\infty)$ 上的函数列 $\left\{n x e ^{-n x}\right\}$ 的一致收敛性或内闭一致收玫性。

解 记 $S_n(x)=n x e ^{-n x} \forall n$ ，可以看出这个函数列在 $I=[0,+\infty)$ 上点态收玫于 $S(x) \equiv 0$ ．

为了判定函数列是否在 $I$ 上一致收敛，需要计算 $\left\|S_n-S\right\|=\sup _{x \geqslant 0}\left\{n x e ^{-n x}\right\}$ ．利用微分学，从

$$
\left(n x e^{-n x}\right)^{\prime}=n e^{-n x}-n^2 x e^{-n x}=n e^{-n x}(1-n x)
$$

可以知道最大值点是 $x=1 / n$ ，最大值是 $e ^{-1}$ 。于是就得到 $\left\|S_n-S\right\|= e ^{-1}$ 。这表明 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I=[0,+\infty)$ 上不一致收敛。

同样可以看出 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上也不一致收敛。但下面我们来证明它在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛。

为此只要对 $\forall \delta>0$ ，证明函数列 $n x e ^{-n x}$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛。
取 $N=[1 / \delta]+1$ ，则当 $n \geqslant N$ 时，就有 $n \geqslant N>\frac{1}{\delta}$ ．这等价于 $1 / n<\delta$ ．因此 $S_n(x)$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上严格单调减少，从而就得到在 $n \geqslant N$ 时的

$$
\sup _{x \geqslant \delta}\left|S_n(x)-S(x)\right|=\sup _{x \geqslant \delta}\left(n x e^{-n x}\right)=n \delta e^{-n \delta}=\frac{n \delta}{e^{n \delta}} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)
$$

可见 $\left\{n x e ^{-n x}\right\}$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛。由于在 $(0,+\infty)$ 内的任何有界闭区间都可以被形如 $[\delta,+\infty)$ 所包含，只要取 $\delta$ 为足够小的正数即可，因此已经证明了 $\left\{n x e ^{-n x}\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛．

注 结合函数 $y=n x e ^{-n x}$ 的几何图像和一致收玫的几何意义就容易理解本例题中的结果．如图 15.3所示，函数列中的每一个函数在 $x=1 / n$ 处达到同一个最大值 $1 / e$ ，因此只要 $\varepsilon<1 / e$ ，图像就越出了图 15.2 中所说的带状区域（这里只需考虑 $y \geqslant 0$ ）：

![图片](/uploads/2025-02/c423f0.jpg)

因此在 $[0,+\infty)$ 上不可能一致收敛．
其次要看到这个最大值点 $1 / n$ 是随着 $n$ 增加而趋于 $x=0$ ．于是对于给定的 $\delta>0$ ，取 $n \geqslant N=[1 / \delta]+1$ 时就使得图像的峰已经移出了 $x \geqslant \delta$ 的范围．关于内闭一致收玫就是依赖于此而得到证明的。

小结 从一致收玫开始，在讨论中所涉及的变量（包括参数）个数越来越多，这对初学者往往造成了很大的困难。因此在这里对前面的概念作一个梳理是必要的。

在第二章中的对象是数列 $\left\{x_n\right\}$ ，从函数角度看，自变量是 $n$ ，定义域是 $N$ ．到第三章和第四章，对象是连续变量的函数 $f(x)$ ，定义域为区间或区间的并．在第十四章的无穷级数中，自变量仍然是 $n$ ，只是级数的通项可以含有参数．

从本章开始，函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 中每一个 $S_n(x)$ 实际上是二元函数，但它和今后在多元函数中经常出现的二元函数 $z=f(x, y)$ 还不相同．因为 $S_n(x)$ 中的 $n, x$ 一
个离散，另一个连续，同时地位也不平等，在不同的问题中处理的方法也不同．每一次运算中哪一个是变量，哪一个只是不参加运算的参数，必须要区分清楚．

例如在讨论点态收玫时，实际上与第十四章的无穷级数一样，还是将 $x \in I$ 作为参数，而求 $n \rightarrow \infty$ 时的极限．

但是为了研究函数列是否在 $I$ 上一致收玫于其极限函数，我们需要计算范数 $\left\|S_n-S\right\|=\sup _{x \in I}\left|S_n(x)-S(x)\right|$ ．在这里的计算中 $n$ 是参数，自变量是 $x \in I$ ．求出每一个 $\left\|S_n-S\right\|$ 后，在问它是否是无穷小量时，当然 $n$ 是自变量了．

内闭一致收玫就更复杂一点，因为其中的有界闭区间可以在 $I$ 中任取。两个端点可随意取，因此又多了两个参数．在上面我们已经指出一般可以只用一个参数就可以了。

总结起来就是说在出现了多个变量的情况，将参与当前运算的变量与不参加运算的参数区分开来是重要的．

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