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函数项级数的例子

## 15.1.4 函数项级数的例子
如本章的标题指出，主题是函数项级数，讨论函数列时主要关心的是函数项级数的部分和函数列．这一小节中将提出一些基本概念，并给出几个例子，为下一节作准备。

对于给定的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，将使得该级数收玫的点 $x$ 的集合称为该级数的收玫域．相仿地定义发散域和绝对收玫域．这里只需要点态收玫概念．

`例15.8` 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^x}$ 的收玫域，发散域和绝对收玫域．
解 由于 $x>0$ 时为 Leibniz 型级数，因此收玫．反之则通项不是无穷小量．因此收玫域为 $(0,+\infty)$ ，发散域为 $(-\infty, 0]$ ．又可以从 $p$ 级数的知识知道绝对收玫域是 $(1,+\infty)$ ．

下面是一个有用的结论．其中的余项概念见定义14．1．已知收玫级数的余项一定收玫于 0 ．

> **定理 15.2** 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛的充分必要条件是级数的余项 $r_n(x)=\sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x)$ 在 $I$ 上一致收敛于 0 ．

证 设函数项级数的部分和函数列为 $\left\{S_n(x)\right\}$ ．
若该函数项级数在 $I$ 上一致收玫，则记其和函数为 $S(x)$ ，就有
 
$$
r_n(x)=S(x)-S_n(x) .
$$

可见余项所成的函数列在 $I$ 上一致收敛于 0 （更确切地说是一致收敛于恒等于 0的常值函数）。 反之，余项在 $I$ 上有意义就已经表明对应的函数项级数在 $I$ 上点态收敛。由于余项对每个 $x$ 都是无穷小量，因此余项所成的函数列一致收敛也就是 $\left\{r_n(x)\right\}$ 一致收敛于 0 。从（15．2）可见这就是 $\left\{S_n(x)\right\}$ 一致收敛于 $S(x)$ 。

下面举出两个例子。

`例15.9`在 $x>1$ 时定义著名的 Riemann zeta (黎曼函数)函数为

$$
\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}
$$

注意这里右边的级数就是第十四章的 $p$ 级数（见 §14．1．2 的例题 14．2），区别仅仅在于在 $p$ 级数讨论中 $p$ 是参数，所关心的只是敛散性；而在这里 $x$ 是自变量，所关心的是无穷级数的和函数具有什么性质．当然二者也有联系．由 $p$ 级数的玫散性讨论知道函数 $\zeta(x)$ 的定义域为 $(1,+\infty)$ 。

与 zeta 函数相联系的是一个著名的世界难题，称为 Riemann 猜想．这里首先要将该函数的定义域从数轴上的 $(1,+\infty)$ 延拓到整个复平面上．Riemann 提出， $\zeta(x)$ 的无穷多个非平凡零点都落在直线 $\operatorname{Re} z=\frac{1}{2}$ 上，也就是都具有 $\frac{1}{2}+ i \alpha$ 的形状．一般认为，这个猜想与素数分布等重大问题有直接联系，是当前纯粹数学中最重要的未解决问题。2000年 Clay 数学促进会设立了 7 个新千年数学奖问题．每个问题的奖金额为一百万美元．Riemann 猜想即其中之一。

`例15.10` 从第十四章的例题 14.18 可知，函数

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}
$$

在 $(-\infty,+\infty)$ 上处处有定义，而且是周期 $2 \pi$ 的周期函数．这个级数将是本章和下一章中的重要例子．

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