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柯西一致收敛准则

## 15.2 一致收敛性判别法
定理 15.1 将函数列的一致收玫性等价于由范数组成的数列收玫于 0 ，但实际上很难将这个定理用于判定无穷级数的一致收敛性．

问题在于，若打算用上述定理于某一个函数项级数，则第一步就要能求出它的部分和函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 的有限表达式（也称为封闭性表达式），第二步是求出其极限函数 $S(x)$ ，也就是函数项级数的和函数，然后才有可能考虑是否能够计算出数列 $a_n=\left\|S_n-S\right\|$ ．最后就是判定 $a_n \rightarrow 0$ 是否成立．

能够将以上做法贯彻到底的最典型例子就是几何级数．对于 $\sum_{n=1}^{\infty} x^n$ ，只要所讨论的区间 $I$ 在其收玫域 $(-1,1)$ 内，以上的每一步都没有困难．第一步就是当 $x \neq 1$时，有

$$
x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x\left(x^n-1\right)}{x-1}
$$

以下从略。
然而这样顺利的例子实际上是百中难得其一．一般来说第一步，即求 $S_n(x)$ 的

然而这样顺利的例子实际上是百中难得其一．一般来说第一步，即求 $S_n(x)$ 的有限表达式就做不到，遑论其他．普遍的情况是，在解决了点态收玫问题，即解决了函数项级数的和函数的定义域之后，无穷级数就可能是和函数 $S(x)$ 的惟一已知表达式。这时 $S(x)-S_n(x)$ 就是余项 $r_n(x)$ 。而每一个 $r_n(x)$ 仍然是一个无穷级数。于是我们还是要从级数本身出发来讨论它的一致收玫性．

## 15.2.1 Cauchy 一致收敛准则
首先还是叙述并证明关于函数列的 Cauchy 一致收玫准则．

> 定理 15.3 （函数列的 Cauchy 一致收敛准则）函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收玫的充分必要条件是对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n, m \geqslant N, \forall x \in I:\left|S_n(x)-S_m(x)\right|<\varepsilon$ ．
（用范数则为：对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n, m \geqslant N:\left\|S_n(x)-S_m(x)\right\|<\varepsilon$ ．）

证 必要性 函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收玫已经保证了它在 $I$ 上点态收玫，记其极限函数为 $S(x)$ ，则根据 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收玫于 $S(x)$ ，因此对 $\forall \varepsilon>0$ ， $\exists N, \forall n \geqslant N, \forall x \in I:\left|S_n(x)-S(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．于是当 $n, m \geqslant N$ 时就对所有 $x \in I$成立
$$
\left|S_n(x)-S_m(x)\right| \leqslant\left|S_n(x)-S(x)\right|+\left|S(x)-S_m(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$

充分性 根据条件，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n, m \geqslant N, \forall x \in I:\left|S_n(x)-S_m(x)\right|<\varepsilon$ 。固定 $x \in I$ ，则从 Cauchy 收玫准则可见数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 收玫。记其极限为 $S(x)$ ，并对每一个 $x \in I$ 这样做，就知道 $\left\{S_n(x)\right\}$ 点态收玫于极限函数 $S(x), x \in I$ ．

利用 $n, m \geqslant N$ 中的 $N$ 对 $x \in I$ 同时适用，在不等式 $\left|S_n(x)-S_m(x)\right|<\varepsilon$ 中令 $m \rightarrow \infty$ ，就得到 $\left|S_n(x)-S(x)\right| \leqslant \varepsilon$ 。这就已经证明了 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $I$ 上一致收玫于 $S(x)$ ．

由此可以直接推出函数项级数的 Cauchy 一致收敛准则．

**定理15.4** （函数项级数的 Cauchy 一致收敛准则）函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛的充分必要条件是对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall p \in N , \forall x \in I$ ：

$$
\left|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)\right|<\varepsilon
$$

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