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函数项级数一致收敛的比较判别法

## 15.2.2 函数项级数一致收敛的比较判别法
这是最常用的一致收敛判别法．其基本思想与 $\S 11.3 .1$ 中广义积分的比较判别法以及 $\S 14.2$ ． 1 中非负项级数的比较判别法相同，即对于给定的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x), x \in I$ 的每一项取绝对值，然后寻找一个正项级数来控制它．它也称为 Weierstrass（比较）判别法，优级数判别法，强级数判别法等等．

**函数项级数一致收敛的比较判别法** 设对于函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x), x \in I$ 的每一项有 $\left|u_n(x)\right| \leqslant a_n \forall x \in I$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收玫，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收玫．
（称 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为优级数或强级数．）
证 对正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 用 Cauchy 收玫准则，即对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N$ ， $\forall p \in N$ ：

$$
0 \leqslant a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}<\varepsilon .
$$

然后根据条件有不等式

$$
\begin{aligned}
\left|u_{n+1}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)\right| & \leqslant\left|u_{n+1}(x)\right|+\cdots+\left|u_{n+p}(x)\right| \\
& \leqslant a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}<\varepsilon
\end{aligned}
$$

可见函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛．
注 1 从证明过程可见，这时每一项取绝对值后的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|$ 在 $I$上也收敛．因此我们称原来的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上一致绝对收敛．
由此可见，若一个函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上不（处处）绝对收玫，则它在 $I$上是否一致收敛的问题不可能用比较判别法解决．

注 2 用比较判别法时，如果可能的话只需要直接计算 $a_n=\sup _{x \in I}\left|u_n(x)\right|$ ，然后看级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是否收玫．若它收玫，则原来的函数项级数就在 $I$ 上一致收玫；若该级数发散，则比较判别法失效，需要用其他方法再做．

注 3 不易想到的是，即使一个函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上一致绝对收玫，也不一定可以用比较判别法来得到这个结论．实际上从比较判别法可见，对于给定的函数项级数来说，比较判别法中的正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 必须对每个 $n$ 满足下列不等式： $a_n \geqslant \sup _{x \in I}\left|u_n(x)\right|$ ，
而上式右边的数作为通项的级数可能发散，即使原来的函数项级数一致绝对收玫．例如，令 $I=[0,1]$ ，并定义级数的通项为

$$
u_n(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{n}, & x=\frac{1}{n}, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$

则有 $a_n \geqslant \frac{1}{n}$ ，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 一定发散．然而这时 $u_{n+1}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)$ 只在 $p$ 个不同点 $x=\frac{1}{n+1}, \cdots, \frac{1}{n+p}$ 上不等于 0 ，而且在其中的每一个点上这 $p$ 项中只有一项不是 0 ，因此成立不等式：

$$
0 \leqslant u_{n+1}(x)+\cdots+u_{n+p}(x) \leqslant \frac{1}{n+1}
$$

可见级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 于 $[0,1]$ 上一致绝对收敛．
利用比较判别法就可以得到在今后的 Fourier 级数理论中有用的结论：

`例15.11` 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收玫，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin n x$ 都在 $R$ 上一致收玫。

证 对这两个函数项级数取 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 为强级数即可．

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