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一致收敛级数的性质

## 15.3 一致收敛级数的性质
### 15.3.1 问题的提出
设在 $x \in I$ 时有收敛的函数项级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=S(x)
$$

则就产生了和函数 $S(x)$ 。若它是初等函数，则就提供了新的表达式，即所谓 $S(x)$的无穷级数展开式。这在很多情况非常有用。但是更多的情况却是，这样得到的 $S(x)$ 不是初等函数，于是上述无穷级数就是定义 $S(x)$ 的表达式。

可以理解，对于这样得到的函数 $S(x)$ ，若要研究它的种种性质，就需要通过无穷级数来进行。点态收敛只能确定和函数的定义域问题，对于和函数的性质讨论则需要新的工具。

以下讨论最基本的三个问题，即和函数 $S(x)$ 的连续性，可微性和可积性，可以提出以下问题。
（1）若级数的每一项 $u_n(x)$ 都是 $I$ 上的连续函数，则级数的和函数 $S(x)$ 是否也是 $I$ 上的连续函数？这就是说，级数通项的连续性是否能够传递到和函数上？

对于级数，如在 $I$ 上有和函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，则和函数在点 $x_0$ 是否连续的
问题可以表达为

$$
S\left(x_0\right)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow x_0} u_n(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) ?
$$

这就是 $x \rightarrow x_0$ 的极限过程与级数求和是否可交换顺序的问题．
对于函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 也是如此。设其在 $I$ 上的极限函数为 $S(x)$ ，则它在点 $x_0$是否连续的问题可以表达为

$$
S\left(x_0\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow x_0} S_n(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x) ?
$$

这里同样是两种极限的交换顺序问题。
从本章的第一个例子，即例题 15.1 中的函数列 $\left\{x^n\right\}(x \in[0,1])$ 及其注，可见仅仅点态收敛是不够的。可以证明，若上述级数不仅点态收敛，而且是在 $I$ 上一致收玫或至少内闭一致收敛，则这种＂传递性＂确实成立。
（2）进一步设级数通项 $u_n(x)$ 在 $I$ 上可微，问这样的可微性能否传递到和函数上？下面我们会知道，在一定的条件下这也是成立的。此外，这里还涉及到如何求和函数的导数这样的计算问题。当上述级数收敛于 $S(x)$ 时，是否能够用逐项求导的方法来计算和函数的导数，即

$$
S^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{d u_n(x)}{d x} ?
$$

这就是求导数运算是否可以与级数求和交换顺序的问题。
对于函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 也是如此．设其在 $I$ 上的极限函数为 $S(x)$ ，则它是否可导的问题可以表达为

$$
\frac{d S}{d x}=\frac{d}{d x} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{d S_n}{d x} ?
$$

这里同样是两种极限的交换顺序问题。
（3）在可积性问题上，什么条件能够保证级数的和函数可积？在可积的情况下又是否可以通过级数逐项求积来计算和函数的积分？这同样是重要的问题。具体写出即是对于在 $[a, b]$ 上的无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，设其在 $[a, b]$ 上的和函数为 $S(x)$ ，是否有

$$
\int_a^b S(x) d x=\int_a^b \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) d x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(x) d x ?
$$

对于函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 也是如此．设其在 $[a, b]$ 上的极限函数为 $S(x)$ ，则它是否可积的问题可以表达为
$$
\int_a^b S(x) d x=\int_a^b \lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_a^b S_n(x) d x ?
$$

这里同样是两种极限的交换顺序问题。
可以如同关于连续性的例子那样，对于可微和可积问题，举出例子说明仅仅级数的点态收敛是不能解决这些问题的。这就是我们要学习比点态收敛更强的一致收敛概念的由来。

`例 15.14` （从可微角度回顾例题 15．1）函数列 $\left\{x^n\right\}$ 的每一项在 $[0,1]$ 上连续可微，然而它的极限函数是

$$
S(x)= \begin{cases}0, & 0 \leqslant x<1 \\ 1, & x=1\end{cases}
$$

在点 1 处不连续，当然更谈不上可导了．

`例 15.15`设在 $[0,1]$ 上对每个 $n$ 令 $S_n(x)=\left\{\begin{array}{ll}n, & 0<x \leqslant \frac{1}{n}, \\ 0, & \frac{1}{n}<x \leqslant 1, x=0,\end{array}\right.$ 则可以求出其极限函数 $S(x) \equiv 0 \forall x \in[0,1]$ ．实际上，对于 $x=0$ ，每一个 $S_n(0)=0$ ，
因此极限 $S(0)=0$ ．对于 $x_0 \in(0,1]$ ，存在 $N$ ，使得 $\frac{1}{N}<x_0$ ．则当 $n \geqslant N$ 时， $S_n\left(x_0\right)=0$ ，因此极限 $S\left(x_0\right)=0$ 。

下面我们来观察这个函数列在 $[0,1]$ 上的定积分和 $n \rightarrow \infty$ 是否可交换．

这时对每个正整数 $n$ 有 $\int_0^1 S_n(x) d x=n \cdot \frac{1}{n}=1$ ，但是 $\int_0^1 S(x) d x=0$ ，因此

$$
1=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 S_n(x) d x \neq \int_0^1 S(x) d x=0
$$

`例`当 $\left\{a_n\right\}$ 单调收敛于 0 时，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin n x$ 在 $(0,2 \pi)$ 上都是内闭一致收敛的．由于每项 $a_n \sin n x$ 与 $a_n \cos n x$ 关于 $x$ 都是连续的，由定理 10．2．4，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin n x$ 在 $(0,2 \pi)$ 上都是连续的．比如 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cos n x}{n^2+1}$ 等，都是 $(0,2 \pi)$ 上的连续函数

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