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一致收敛级数的性质

## 15.3 一致收敛级数的性质
### 15.3.1 问题的提出
设在 $x \in I$ 时有收敛的函数项级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=S(x)
$$

则就产生了和函数 $S(x)$ 。若它是初等函数，则就提供了新的表达式，即所谓 $S(x)$的无穷级数展开式。这在很多情况非常有用。但是更多的情况却是，这样得到的 $S(x)$ 不是初等函数，于是上述无穷级数就是定义 $S(x)$ 的表达式。

可以理解，对于这样得到的函数 $S(x)$ ，若要研究它的种种性质，就需要通过无穷级数来进行。点态收敛只能确定和函数的定义域问题，对于和函数的性质讨论则需要新的工具。

以下讨论最基本的三个问题，即和函数 $S(x)$ 的连续性，可微性和可积性，可以提出以下问题。
（1）若级数的每一项 $u_n(x)$ 都是 $I$ 上的连续函数，则级数的和函数 $S(x)$ 是否也是 $I$ 上的连续函数？这就是说，级数通项的连续性是否能够传递到和函数上？

对于级数，如在 $I$ 上有和函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，则和函数在点 $x_0$ 是否连续的
问题可以表达为

$$
S\left(x_0\right)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow x_0} u_n(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) ?
$$

这就是 $x \rightarrow x_0$ 的极限过程与级数求和是否可交换顺序的问题．
对于函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 也是如此。设其在 $I$ 上的极限函数为 $S(x)$ ，则它在点 $x_0$是否连续的问题可以表达为

$$
S\left(x_0\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow x_0} S_n(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x) ?
$$

这里同样是两种极限的交换顺序问题。
从本章的第一个例子，即例题

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