最后更新: 2025-09-03 07:58 查看: 36 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

连续性定理与Dini 定理

## 15.3.2 连续性定理
**定理15．5（连续性定理）**（1）设函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $S(x)$ ，则 $S(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
（2）设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的每一项在区间 $[a, b]$ 上连续，在 $[a, b]$ 上一致收敛，则其和函数 $S(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．

证 只证明（1）就够了。
设 $x, x_0 \in[a, b]$ ，将 $\left|S(x)-S\left(x_0\right)\right|$ 分拆如下（俗称为 $3 \varepsilon$ 方法或 $\frac{\varepsilon}{3}$ 方法）：

对于给定的 $\varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall x \in[a, b]:\left|S_n(x)-S(x)\right|<\varepsilon$ 。于是只要 $n \geqslant N,(15.4)$ 右边的第一项和第三项已分别小于 $\varepsilon$ ．
为了使得其右边的第二项也足够小，其中的 $n$ 仅仅大于等于 $N$ 还是不行的，因为有无限多个这样的 $n$ 。取定 $n=N$ ，这样就得到

$$
\left|S(x)-S\left(x_0\right)\right| \leqslant 2 \varepsilon+\left|S_N(x)-S_N\left(x_0\right)\right|
$$

利用 $S_N(x) \in C[a, b]$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $x \in O_\delta\left(x_0\right) \cap[a, b]$ 时，成立 $\left|S_N(x)-S_N\left(x_0\right)\right|<$ $\varepsilon$ 。这时从（15．5）可见，当 $x \in O_\delta\left(x_0\right) \cap[a, b]$ 时也就有 $\left|S(x)-S\left(x_0\right)\right|<3 \varepsilon$ 。这样就证明了 $S(x)$ 在点 $x_0$ 连续．由于 $x_0$ 可以取到 $I=[a, b]$ 的每一个点，因此已经证明 $S(x)$ 在 $I=[a, b]$ 上连续。

定理 15.5 中的一致收敛条件只是充分条件，但不是必要条件．对于区间 $I$ 不是有界闭区间的其他情况，则内闭一致收敛条件已经足够。这就是下面的推论。

> 推论（1）设函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上连续，且该函数列在 $I$ 上内闭一致收敛于 $S(x)$ ，则 $S(x)$ 在 $I$ 上连续。
（2）设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的每一项在区间 $I$ 上连续，且级数在 $I$ 上内闭一致收玫，则其和函数 $S(x)$ 在 $I$ 上连续．

证 只对于（1）作出证明。
对 $x_0 \in I$ ，存在有界闭区间 $[c, d]$ ，使得 $x_0 \in[c, d] \subset I$ ．若 $x_0$ 是 $I$ 的内点，则还可以做到 $c<x_0<d$ 。由于函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $I$ 中内闭一致收敛，因此在 $[c, d]$ 上一致收敛．从定理 15.5 的证明可见 $S(x)$ 在点 $x_0$ 连续．

注 1 这里要注意连续性是局部性质，因此实际上是逐点证明的．具体来说就是对一个点用一个有界闭区间将它包住，然后在这个区间上用定理 15．5．这也就是内闭一致收敛概念的由来。

注 2 连续性定理的逆否命题也经常有用，即连续函数列的极限函数不连续，或连续函数项级数的和函数不连续时，则一定不会是内闭一致收敛的．例如在 $[0,1]$上的 $\left\{x^n\right\}$ 就是如此．于是从例题 15.1 的计算就可以得到例题 15.4 的结论．

例题 15.16 从例题 15.12 已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 在 $(0,2 \pi)$ 上内闭一致收敛，因此其和函数 $S(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 上连续．

注 由于上述级数于 $x=0,2 \pi$ 处显然收玫于 0 ，而且每一项都是周期 $2 \pi$ 的函数，因此 $S(x)

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：一致收敛级数的性质

下一篇：逐项积分定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)