最后更新: 2025-03-17 08:02 查看: 17 次反馈刷题

积分极限定理

## 15.3.3 积分极限定理
先给出区间 $[a, b]$ 上的积分与极限或求和的交换定理．
定理 15.7 （1）（积分极限定理）若函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $[a, b]$ 上连续，且一致收敛于 $S(x)$ ，则成立

$$
\int_a^b S(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_a^b S_n(x) d x
$$

（2）（逐项积分定理）设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的每一项都在区间 $[a, b]$ 上连续，且级数在 $[a, b]$ 上一致收玫，则成立等式

$$
\int_a^b\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\right) d x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(x) d x .
$$

证 只给出（1）的证明．这时从定理 15.5 知道 $S(x) \in C[a, b]$ ．直接估计

$$
\begin{aligned}
\left|\int_a^b S_n(x) d x-\int_a^b S(x) d x\right| & \leqslant\left|\int_a^b\right| S_n(x)-S(x)|d x| \\
& \leqslant \max _{x \in[a, b]}\left|S_n(x)-S(x)\right| \cdot|b-a| \\
& =\left\|S_n-S\right\| \cdot|b-a|
\end{aligned}
$$

利用 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $[a, b]$ 上一致收敛于 $S(x)$ ，因此上式右边当 $n \rightarrow \infty$ 时收玫于 0 ．
现在考虑将上述定理进一步推广到任意的区间 $I$ 上，同时积分限改为 $x_0, x \in$ $I$ ，其中 $x_0$ 固定，$x$ 作为自变量，这样就可以从原来的函数列（或级数）通过积分生成新的函数列（或级数）．

推论（1）若函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $I$ 上连续，内闭一致收敛于 $S(x)$ ，点 $x_0, x \in I$ ，则成立

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_0}^x S_n(t) d t=\int_{x_0}^x S(t) d t
$$

且函数列 $\left\{\int_{x_0}^x S_n(t) d t\right\}$ 在 $I$ 上内闭一致收敛．
（2）设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的每一项都在区间 $I$ 上连续，级数在 $I$ 上内闭一致收敛，点 $x_0, x \in I$ ，则成立

$$
\int_{x_0}^x\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(t)\right) d t=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_0}^x u_n(t) d t
$$

且上式右边的函数项级数在 $I$ 上内闭一致收敛．
证 只给出（1）的证明．在区间 $\left[x_0, x\right]$ 上用定理 15．7，就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_0} S_n(t) d t=$ $\int_{x_0}^x S(t) d t$ ．将 $\left\{\int_{x_0}^x S_n(t) d t\right\}$ 看成在 $I$ 上有定义的新函数列，则已经证明它在 $I$

上点态收玫于 $\int_{x_0}^x S(t) d t$ ．
现在取 $[c, d] \subset I$ ，要证明新得到的函数列 $\left\{\int_{x_0}^x S_n(t) d t\right\}$ 在 $[c, d] \subset I$ 上一致收玫．不妨设 $[c, d]$ 足够大，使得有 $x_0 \in[c, d]$ ，于是当 $x \in[c, d]$ 时就有

$$
\left|\int_{x_0}^x S_n(t) d t-\int_{x_0}^x S(t) d t\right| \leqslant \max _{t \in[c, d]}\left|S_n(t)-S(t)\right| \cdot|d-c|
$$

其中利用了 $\left[x_0, x\right] \subset[c, d]$ ．从 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $[c, d]$ 上一致收玫，可见上式右边当 $n \rightarrow \infty$ 时收敛于 0 ．

例题 15.19 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tan \frac{x}{2^n}$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上的和函数．

证 从 $n \geqslant 2$ 起，当 $|x|<\pi$ 时，$\left|x / 2^n\right|<\pi / 4$ ，因此级数以 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 为强级数，从而在 $(-\pi, \pi)$ 上一致收玫．记和函数为 $f(x)$ ，对 $x \in(-\pi, \pi)$ 用逐项积分定理，有

$$
\begin{aligned}
\int_0^x f(t) d t & =\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x \frac{1}{2^n} \tan \frac{t}{2^n} d t=-\sum_{n=1}^{\infty} \ln \cos \frac{x}{2^n} \\
& =-\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \ln \cos \frac{x}{2^k}=-\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left(\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^n}\right) \\
& =-\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n}}=-\ln \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n}}\right) \\
& =-\ln \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\frac{x}{2^n}}{\sin \frac{x}{2^n}}\right)=-\ln \frac{\sin x}{x} .
\end{aligned}
$$

最后一式当 $x=0$ 时理解为其极限值 0 ．然后在 $0 \neq|x|<\pi$ 时对 $x$ 求导，就得到

$$
f(x)=\left(-\ln \frac{\sin x}{x}\right)^{\prime}=\frac{x}{\sin x}\left(\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}\right)=\cot x-\frac{1}{x}
$$

由于 $f$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上连续，因此在上述表达式中取 $x \rightarrow 0$ 就得到 $f(0)=0$（或从原来的级数中令 $x \rightarrow 0$ 得到）．

注 上述例题体现了级数求和的新方法，即用逐项求积定理，然后再求导．

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