最后更新: 2025-09-03 08:50 查看: 123 次纠错评论(0) 课件开VIP

逐项积分定理

## 15.3.3 积分极限定理
先给出区间 $[a, b]$ 上的积分与极限或求和的交换定理．

**定理 15.7 （1）（积分极限定理）** 若函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $[a, b]$ 上连续，且一致收敛于 $S(x)$ ，则成立

$$
\boxed{
\int_a^b S(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_a^b S_n(x) d x
}
$$

**（2）（逐项积分定理）** 设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的每一项都在区间 $[a, b]$ 上连续，且级数在 $[a, b]$ 上一致收玫，则成立等式

$$
\boxed{
\int_a^b\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\right) d x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(x) d x .
}
$$

证 只给出（1）的证明．这时从定理 15.5 知道 $S(x) \in C[a, b]$ ．直接估计

$$
\begin{aligned}
\left|\int_a^b S_n(x) d x-\int_a^b S(x) d x\right| & \leqslant\left|\int_a^b\right| S_n(x)-S(x)|d x| \\
& \leqslant \max _{x \in[a, b]}\left|S_n(x)-S(x)\right| \cdot|b-a| \\
& =\left\|S_n-S\right\| \cdot|b-a|
\end{aligned}
$$

利用 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $[a, b]$ 上一致收敛于 $S(x)$ ，因此上式右边当 $n \rightarrow \infty$ 时收玫于 0 ．
现在考虑将上述定理进一步推广到任意的区间 $I$ 上，同时积分限改为 $x_0, x \in$ $I$ ，其中 $x_0$ 固定，$x$ 作为自变量，这样就可以从原来的函数列（或级数）通过积分生成新的函数列（或级数）．

**推论（1）** 若函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $I$ 上连续，内闭一致收敛于 $S(x)$ ，点 $x_0, x \in I$ ，则成立
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_0}^x S_n(t) d t=\int_{x_0}^x S(t) d t
$$

且函数列 $\left\{\int_{x_0}^x S_n(t) d t\right\}$ 在 $I$ 上内闭一致收敛．
**推论（2）** 设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的每一项都在区间 $I$ 上连续，级数在 $I$ 上内闭一致收敛，点 $x_0, x \in I$ ，则成立

$$
\int_{x_0}^x\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(t)\right) d t=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_0}^x u_n(t) d t
$$

且上式右边的函数项级数在 $I$ 上内闭一致收敛．
证 只给出（1）的证明．在区间 $\left[x_0, x\right]$ 上用定理 15．7，就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_0} S_n(t) d t=$ $\int_{x_0}^x S(t) d t$ ．将 $\left\{\int_{x_0}^x S_n(t) d t\right\}$ 看成在 $I$ 上有定义的新函数列，则已经证明它在 $I$

上点态收玫于 $\int_{x_0}^x S(t) d t$ ．
现在取 $[c, d] \subset I$ ，要证明新得到的函数列 $\left\{\int_{x_0}^x S_n(t) d t\right\}$ 在 $[c, d] \subset I$ 上一致收玫．不妨设 $[c, d]$ 足够大，使得有 $x_0 \in[c, d]$ ，于是当 $x \in[c, d]$ 时就有

$$
\left|\int_{x_0}^x S_n(t) d t-\int_{x_0}^x S(t) d t\right| \leqslant \max _{t \in[c, d]}\left|S_n(t)-S(t)\right| \cdot|d-c|
$$

其中利用了 $\left[x_0, x\right] \subset[c, d]$ ．从 $\left\{S_n(x)\right\}$ 于 $[c, d]$ 上一致收玫，可见上式右边当 $n \rightarrow \infty$ 时收敛于 0 ．

`例15.19` 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tan \frac{x}{2^n}$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上的和函数．

证 从 $n \geqslant 2$ 起，当 $|x|<\pi$ 时，$\left|x / 2^n\right|<\pi / 4$ ，因此级数以 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 为强级数，从而在 $(-\pi, \pi)$ 上一致收玫．记和函数为 $f(x)$ ，对 $x \in(-\pi, \pi)$ 用逐项积分定理，有

$$
\begin{aligned}
\int_0^x f(t) d t & =\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x \frac{1}{2^n} \tan \frac{t}{2^n} d t=-\sum_{n=1}^{\infty} \ln \cos \frac{x}{2^n} \\
& =-\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \ln \cos \frac{x}{2^k}=-\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left(\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^n}\right) \\
& =-\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n}}=-\ln \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n}}\right) \\
& =-\ln \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\frac{x}{2^n}}{\sin \frac{x}{2^n}}\right)=-\ln \frac{\sin x}{x} .
\end{aligned}
$$

最后一式当 $x=0$ 时理解为其极限值 0 ．然后在 $0 \neq|x|<\pi$ 时对 $x$ 求导，就得到

$$
f(x)=\left(-\ln \frac{\sin x}{x}\right)^{\prime}=\frac{x}{\sin x}\left(\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}\right)=\cot x-\frac{1}{x}
$$

由于 $f$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上连续，因此在上述表达式中取 $x \rightarrow 0$ 就得到 $f(0)=0$（或从原来的级数中令 $x \rightarrow 0$ 得到）．

注 上述例题体现了级数求和的新方法，即用逐项求积定理，然后再求导．

`例`  证明：当 $x \in(-1,1)$ 时，成立

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n-1}=x-\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{5} x^5-\cdots=\arctan x .
$$

证 对任 意 $x \in(-1,1)$ ，可以取到 $\delta>0$ ，使 $x \in[-1+\delta, 1-\delta]$ ．函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{2 n-2}$ 的部分和序列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 的通项为

$$
S_n(x)=\frac{1}{1+x^2}\left[1-\left(-x^2\right)^n\right],
$$

由于 $\left(-x^2\right)^n$ 在 $[-1+\delta, 1-\delta]$ 上一致收敛于 0 ，易知 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{2 n-2}$ 在 $[-1+\delta, 1-\delta]$ 上一致收敛于 $S(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ．

应用逐项求积分

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x(-1)^{n-1} t^{2 n-2} d t=\int_0^x \frac{d t}{1+t^2},
$$

即得到

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n-1}=x-\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{5} x^5-\cdots=\arctan x, \quad x \in(-1,1) .
$$

证毕

`例`证明：当 $x \in(-1,1)$ 时，成立
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n=x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3-\cdots=\ln (1+x) .
$$

证 对任意 $x \in(-1,1)$ ，取 $\delta>0$ ，使 $x \in[-1+\delta, 1-\delta]$ ． 可知函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{n-1}$ 在 $[-1+\delta, 1-\delta]$ 上一致收敛于 $S(x)=\frac{1}{1+x}$ ．

应用逐项求积分

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x(-1)^{n-1} t^{n-1} d t=\int_0^x \frac{d t}{1+t},
$$

即得到

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n=x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3-\cdots=\ln (1+x), \quad x \in(-1,1) .
$$

证毕

## 理解：逐项积分定理

**就像算总账：如果一个复杂的函数是由一堆简单的“收入项”（函数项）相加组成的，那么要计算它的总收入（积分），你可以先分别计算每一项的收入，然后再把这些收入加起来。**

### 一个生动的比喻

想象你是一个老板，你的公司有多个不同的部门（比如销售部、市场部、研发部...）。

*   **“函数项求和”**：公司年度总利润 = 销售部利润 + 市场部利润 + 研发部利润 + ...
*   **“积分”**：你想计算公司**在一整年时间里的总利润**（积分就像是“求总和”）。

**逐项积分定理告诉你：**
你不用等所有部门的账本混在一起了再去算总利润。你可以**让每个部门先自己算出他们这一年的总利润**，然后你**只需要把各个部门的报表上的总利润数字加起来**，就能得到整个公司的正确总利润。

1.  **∫ [公司总利润] dt** = **∫ [销售部利润] dt** + **∫ [市场部利润] dt** + **∫ [研发部利润] dt** + ...

---

### 稍微正式一点（但依然通俗）的解释

在数学上，我们有一个由许多函数项相加得到的函数：
**S(x) = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) + ...**

我们想对 S(x) 进行积分，比如计算 ∫[a, b] S(x) dx。

**直觉上，你可能会想：** “和的积分等于积分的和”，所以直接写成：
∫[a, b] S(x) dx = ∫[a, b] f₁(x) dx + ∫[a, b] f₂(x) dx + ∫[a, b] f₃(x) dx + ...

**同样地，这里也有一个陷阱：** 因为这是**无穷多项**，直接这样操作有时会出错。

**逐项积分定理的核心就是告诉你：在什么条件下，你可以安全地、合法地这样做。**

这个条件比逐项**求导**的条件要宽松一些：只要函数项级数 **f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) + ... 在你要积分的区间 [a, b] 上“一致收敛”** 就可以了。

*   **“一致收敛”** （再次通俗化）：意味着所有部门（函数项）在计算全年（区间 [a, b]）的利润时，他们的记账规则是统一、协调的，不会出现某个部门在某个时间点突然报出一个天文数字捣乱整个计算。

**所以，定理的完整意思是：**
**只要你的这个“无限求和”过程在积分区间上表现得足够好（一致收敛），那么你想求总函数的积分，就可以大胆地先把每一项积分了，然后再把积分结果加起来。** 这个操作是合法的、正确的。

---

### 和逐项求导定理的对比（为什么它更重要？）

1.  **条件更宽松**：逐项积分只要求原级数“一致收敛”；而逐项求导要求更高，不仅要求原级数收敛，还要求**求导后形成的新级数**也一致收敛。所以，**积分比求导更“容易”进行**。
2.  **操作更直观**：积分本身就是一种“求和”操作，所以“先求和再积分”与“先积分再求和”在直觉上感觉更应该相等。这个定理从数学上证实了这种直觉（在条件满足时）。

---

### 为什么要关心这个定理？（它的重要性）

这个定理是计算复杂级数积分的利器，尤其在幂级数中。

**例子：计算反正切函数 arctan(x) 的展开式**
我们知道：
**1 / (1 + x²) = 1 - x² + x⁴ - x⁶ + x⁸ - ...** （这是一个等比级数，在 |x| < 1 时成立）

现在我们想求 **arctan(x)**。因为我们知道 arctan(x) 的导数正好是 1/(1+x²)，所以 arctan(x) 应该是 1/(1+x²) 的积分。

**证明方法：**
1.  利用逐项积分定理（可以证明这个级数在区间内满足条件）。
2.  对等式两边同时从 0 到 x 进行积分：
    ∫[0, x] [1 / (1 + t²)] dt = ∫[0, x] [**1 - t² + t⁴ - t⁶ + t⁸ - ...**] dt
3.  左边的结果就是 **arctan(x) - arctan(0) = arctan(x)**。
4.  对右边**逐项积分**：
    = ∫[0, x] 1 dt - ∫[0, x] t² dt + ∫[0, x] t⁴ dt - ∫[0, x] t⁶ dt + ...
    = [t] - [t³/3] + [t⁵/5] - [t⁷/7] + ... （从 0 到 x 代入计算）
    = **x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...**
5.  所以我们得到了著名的 **arctan(x) 的幂级数展开**：
    **arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...** (对于 |x| < 1)

这个优雅的结果就是逐项积分定理的直接应用！取 x = 1，我们甚至可以用这个级数来近似计算圆周率 π。

### 总结

*   **是什么**：一个允许我们将“无限项求和”的函数的积分，转化为“先对每一项积分再求和”的定理。
*   **关键条件**：原级数在积分区间上“表现良好”（一致收敛）。
*   **核心思想**：**交换了两个数学操作（积分 ∫ 和求和 ∑）的顺序**。定理保证了在满足条件时，**∫(∑) = ∑(∫)** 这个交换是成立的。
*   **常用场景**：处理幂级数，为我们提供了一种积分和寻找函数级数展开式的强大技巧。它在数值计算中也极其有用。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：连续性定理与Dini 定理

下一篇：逐项求导定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)