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逐项求导定理

## 15.3.4 求导极限定理
这里直接对一般区间 $I$ 来叙述定理。
**定理 15.8 （1）（求导极限定理）** 设函数列 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上存在连续的导函数，至少在某一点 $x_0 \in I$ 处收玫，又求导后的函数列 $\left\{S_n^{\prime}(x)\right\}$ 在 $I$ 上内闭一致收玫，则极限函数 $S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)$ 在 $I$ 上存在连续的导函数，且成立
$$
S^{\prime}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime}(x)
$$

**（2）（逐项求导定理）** 设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 中每个 $u_n(x)$ 于区间 $I$ 上存在连续的导函数，至少在某一点 $x_0 \in I$ 处收玫，又逐项求导后得到的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^{\prime}(x)$ 在 $I$ 上内闭一致收玫，则和函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上存在连续的导函数，且成立

$$
\frac{d S(x)}{d x}=\frac{d}{d x} \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{d u_n(x)}{d x}
$$

证 只写出（1）的证明。
利用极限函数 $S(x)$ 在点 $x_0$ 已经有定义，再利用 Newton－Leibniz 公式，得到

$$
S_n(x)=S_n\left(x_0\right)+\int_{x_0}^x S_n^{\prime}(t) d t
$$

利用 $\left\{S_n^{\prime}(t)\right\}$ 在 $\left[x_0, x\right]$ 上一致收玫的条件，将其极限函数记为 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime}(t)=T(t)$ ，并令 $n \rightarrow \infty$ ，应用定理 15.7 就从（15．6）得到

$$
S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)=S\left(x_0\right)+\int_{x_0}^x T(t) d t .
$$

这样就证明了极限函数 $S(x)$ 在 $I$ 上处处有定义．由于 $T(t)$ 连续，因此从（15．7）就得到
$$
S^{\prime}(x)=T(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime}(x)
$$

注 要注意与前两个定理有不同之处。定理 15.8 中的主要条件是加在导函数组成的函数列（或逐项求导后得到的函数项级数）上，即要求它内闭一致收玫，而对于原来的函数列（或函数项级数）则只要求在一个点上收玫就够了．例如，前面见过多次的函数项级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}
$$

我们已知它处处收玫，在 $(0,2 \pi)$ 上内闭一致收玫．但逐项求导后的级数是

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \cos n x
$$

可以证明无论 $x$ 取什么值，这个级数的通项都不会是无穷小量，因此处处发散．这就证明了对（15．8）中的无穷级数逐项求导是不可能的。当然这并不表示（15．8）的和函数不可导。将来会知道 $S^{\prime}(x)=-\frac{1}{2}$ 在 $(0,2 \pi)$ 上处处成立，只是不可能用定理 15.8 来计算 $S^{\prime}(x)$ ．

`例` 证明：对一切 $x \in(-1,1)$ ，成立

$$
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n=x+2 x^2+3 x^3+\cdots=\frac{x}{(1-x)^2} .
$$

证 我们知道函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 在 $(-1,1)$ 上点态收敛于 $S(x)

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