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幂级数的收敛域-Abel第一定理与Cauchy-Hadamard 公式

## 15.4 幂级数
现在开始介绍两类最重要的函数项级数中的第一类—幂级数。它可以看成是多项式的直接推广,即
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n+\cdots,
$$

称函数项级数，记作

$$
\boxed{
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n ...(15.9)
}
$$

为以 $x_0$ 为中心的幂级数，简称幂级数．注意在（15．9）中的求和是从 $n=0$ 开始的．为方便起见总可以通过平移 $t=x-x_0$ ，再将 $t$ 记为 $x$ ，从而使得幂级数的形式为
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots,
$$
记作

$$
\boxed{
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n ...(15.10)
}
$$

即以 $x_0=0$ 为中心的幂级数。以下对幂级数的各种性质的讨论经常可以对（15．10）来进行，然后通过平移转移到一般形式的幂级数上去。

若从某个 $n$ 起系数 $a_n$ 全等于 0 ，则幂级数（15．9）就是多项式．若 $a_n=c \forall n$为常数，则就得到几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ，即第二章的例题 2.10 ．此外，例题 2.11 中的 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 也是幂级数．

## 15.4.1 幂级数的收敛域
在讨论收玫域时只需要点态收敛的概念．
显然，形式为（15．9）的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 一定在 $x=x_0$ 处收玫，和为 $a_0$ ，而形式为（15．10）的幂级数则一定在 $x=0$ 处收敛．

刻画幂级数收玫域特征的基本结论是下列定理．

> **定理 15.9 （Abel 第一定理）** （1）若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在点 $x_1 \neq 0$ 处收敛，则该幂级数在满足 $|x|<\left|x_1\right|$ 的点 $x$ 处绝对收玫；
（2）若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在点 $x_1 \neq 0$ 处发散，则该幂级数在满足 $|x|>\left|x_1\right|$ 的点 $x$ 处发散。

证 可以看出从（1）即推出（2），因此只需证明（1）。
从级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x_1^n$ 收玫可见 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n x_1^n=0$ ，从而存在 $M>0$ ，使成立 $\left|a_n x_1^n\right| \leqslant$ $M \forall n$ ．现在对于取绝对号后的级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_n x^n\right|$ 的通项可以写出不等式
$$
\left|a_n x^n\right|=\left|a_n x_1^n\right| \cdot\left|\frac{x}{x_1}\right|^n \leqslant M\left|\frac{x}{x_1}\right|^n
$$

于是当 $|x|<\left|x_1\right|$ 时就可以用收敛的几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} M\left|\frac{x}{x_1}\right|^n$ 作为比较级数而知道结论（1）成立．

注 对 Abel 第一定理的一个错误证明是企图利用不等式 $\left|a_n x^n\right| \leqslant\left|a_n x_1^n\right|$ ，而没有注意到定理的条件只是说幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x_1^n$ 收敛，但并不知道它是否绝对收敛。因此不可能简单地用上述不等式来作出证明．

由 Abel 第一定理可以确定幂级数收敛域的特征．我们也将它写成一个定理．
**定理 15.10 （幂级数收敛半径的存在定理）** 设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在某一点 $x_1 \neq 0$ 处收敛，又在另一点 $x_2$ 处发散，则存在一个正数 $r>0$ ，使得该幂级数在所有满足 $|x|<r$ 的点 $x$ 处收敛，而在所有满足 $|x|>r$ 的点 $x$ 处发散．

证 从关于 $x_1, x_2$ 的条件和 Abel 第一定理可知数集

$$
A=\left\{x>0 \mid \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \text { 收敛 }\right\}, \quad B=\left\{x>0 \mid \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \text { 发散 }\right\},
$$

都非空，且 $\forall x \in A, \forall y \in B$ ，成立 $x<y$ ．
用实数系连续性原理 ${ }^{(1)}$ ，存在 $r$ ，使得 $\forall x \in A, \forall y \in B: x \leqslant r \leqslant y$ ．于是 $r>0$ 。我们来证明它满足定理中的要求．

设 $x$ 满足 $|x|<r$ ．若幂级数于 $x$ 处发散，则从 $|x|<\frac{1}{2}(|x|+r)<r$ 和 Abel第一定理可见幂级数在点 $\frac{1}{2}(|x|+r)$ 处发散，从而这个点属于数集 $B$ ．但这与 $\forall y \in B: r \leqslant y$ 矛盾．因此满足 $|x|<r$ 的 $x$ 都属于幂级数的收玫域．

同样设 $x$ 满足 $|x|>r$ ，而幂级数于 $x$ 处收玫，则从 $r<\frac{1}{2}(|x|+r)<|x|$ 和 Abel 第一定理可见幂级数在点 $\frac{1}{2}(|x|+r)$ 处收玫，从而这个点属于数集 $A$ ．但这与 $\forall x \in A: x \leqslant r$ 矛盾．因此满足 $|x|>r$ 的 $x$ 都不属于级数的收玫域．

由此即可得到幂级数的收玫半径的概念．

**定义 15.4** （1）若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty

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