最后更新: 2025-09-03 09:18 查看: 143 次纠错评论(0) 课件开VIP

幂级数的收敛域-Abel第一定理与Cauchy-Hadamard 公式

## 15.4 幂级数
现在开始介绍两类最重要的函数项级数中的第一类—幂级数。它可以看成是多项式的直接推广,即
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n+\cdots,
$$

称函数项级数，记作

$$
\boxed{
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n ...(15.9)
}
$$

为以 $x_0$ 为中心的幂级数，简称幂级数．注意在（15．9）中的求和是从 $n=0$ 开始的．为方便起见总可以通过平移 $t=x-x_0$ ，再将 $t$ 记为 $x$ ，从而使得幂级数的形式为
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots,
$$
记作

$$
\boxed{
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n ...(15.10)
}
$$

即以 $x_0=0$ 为中心的幂级数。以下对幂级数的各种性质的讨论经常可以对（15．10）来进行，然后通过平移转移到一般形式的幂级数上去。

若从某个 $n$ 起系数 $a_n$ 全等于 0 ，则幂级数（15．9）就是多项式．若 $a_n=c \forall n$为常数，则就得到几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ，即第二章的例题 2.10 ．此外，例题 2.11 中的 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 也是幂级数．

## 15.4.1 幂级数的收敛域
在讨论收玫域时只需要点态收敛的概念．
显然，形式为（15．9）的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 一定在 $x=x_0$ 处收玫，和为 $a_0$ ，而形式为（15．10）的幂级数则一定在 $x=0$ 处收敛．

刻画幂级数收玫域特征的基本结论是下列定理．

> **定理 15.9 （Abel 第一定理）** （1）若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在点 $x_1 \neq 0$ 处收敛，则该幂级数在满足 $|x|<\left|x_1\right|$ 的点 $x$ 处绝对收玫；
（2）若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在点 $x_1 \neq 0$ 处发散，则该幂级数在满足 $|x|>\left|x_1\right|$ 的点 $x$ 处发散。

证 可以看出从（1）即推出（2），因此只需证明（1）。
从级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x_1^n$ 收玫可见 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n x_1^n=0$ ，从而存在 $M>0$ ，使成立 $\left|a_n x_1^n\right| \leqslant$ $M \forall n$ ．现在对于取绝对号后的级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_n x^n\right|$ 的通项可以写出不等式
$$
\left|a_n x^n\right|=\left|a_n x_1^n\right| \cdot\left|\frac{x}{x_1}\right|^n \leqslant M\left|\frac{x}{x_1}\right|^n
$$

于是当 $|x|<\left|x_1\right|$ 时就可以用收敛的几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} M\left|\frac{x}{x_1}\right|^n$ 作为比较级数而知道结论（1）成立．

注 对 Abel 第一定理的一个错误证明是企图利用不等式 $\left|a_n x^n\right| \leqslant\left|a_n x_1^n\right|$ ，而没有注意到定理的条件只是说幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x_1^n$ 收敛，但并不知道它是否绝对收敛。因此不可能简单地用上述不等式来作出证明．

由 Abel 第一定理可以确定幂级数收敛域的特征．我们也将它写成一个定理．
**定理 15.10 （幂级数收敛半径的存在定理）** 设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在某一点 $x_1 \neq 0$ 处收敛，又在另一点 $x_2$ 处发散，则存在一个正数 $r>0$ ，使得该幂级数在所有满足 $|x|<r$ 的点 $x$ 处收敛，而在所有满足 $|x|>r$ 的点 $x$ 处发散．

证 从关于 $x_1, x_2$ 的条件和 Abel 第一定理可知数集

$$
A=\left\{x>0 \mid \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \text { 收敛 }\right\}, \quad B=\left\{x>0 \mid \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \text { 发散 }\right\},
$$

都非空，且 $\forall x \in A, \forall y \in B$ ，成立 $x<y$ ．
用实数系连续性原理 ${ }^{(1)}$ ，存在 $r$ ，使得 $\forall x \in A, \forall y \in B: x \leqslant r \leqslant y$ ．于是 $r>0$ 。我们来证明它满足定理中的要求．

设 $x$ 满足 $|x|<r$ ．若幂级数于 $x$ 处发散，则从 $|x|<\frac{1}{2}(|x|+r)<r$ 和 Abel第一定理可见幂级数在点 $\frac{1}{2}(|x|+r)$ 处发散，从而这个点属于数集 $B$ ．但这与 $\forall y \in B: r \leqslant y$ 矛盾．因此满足 $|x|<r$ 的 $x$ 都属于幂级数的收玫域．

同样设 $x$ 满足 $|x|>r$ ，而幂级数于 $x$ 处收玫，则从 $r<\frac{1}{2}(|x|+r)<|x|$ 和 Abel 第一定理可见幂级数在点 $\frac{1}{2}(|x|+r)$ 处收玫，从而这个点属于数集 $A$ ．但这与 $\forall x \in A: x \leqslant r$ 矛盾．因此满足 $|x|>r$ 的 $x$ 都不属于级数的收玫域．

由此即可得到幂级数的收玫半径的概念．

**定义 15.4** （1）若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x \neq 0$ 时处处发散，则该幂级数的收玫半径为 0 ；
（2）若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 对所有 $x$ 收玫，则该幂级数的收玫半径为 $+\infty$ ；
（3）对于其他情况，称正数 $r>0$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收玫半径，若级数在满足 $|x|<r$ 的所有 $x$ 处收玫，在满足 $|x|>r$ 的所有 $x$ 处发散．
由此可知，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收玫域有三种可能：（1）该幂级数仅仅在点 $x=0$处收玫，收玫域为单元集 $\{0\}$ ；
（2）该幂级数处处收玫，收玫域就是 $(-\infty,+\infty)$ ；
（3）该幂级数有正收玫半径 $r$ ，由于在 $x= \pm r$ 处幂级数收敛或发散的各种可能性都会发生，因此收玫域有 4 种可能：$(-r, r),(-r, r],[-r, r)$ 和 $[-r, r]$ 。可以用一个特殊记号 $\langle-r, r\rangle$ 来表示其中的任何一种．在端点 $x= \pm r$ 处的幂级数玫散性一般需要直接讨论．

对幂级数的一个好结果是存在计算收玫半径的 Cauchy－Hadamard ${ }^{(1)}$ 公式．我们将它写为下面的定理。由它可以推出 Abel 第一定理的结论．

## 收敛半径的 Cauchy－Hadamard 公式
定理 15.11 （收敛半径的 Cauchy－Hadamard 公式）对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$的收玫半径 $r$ 有计算公式

$$
r=\frac{1}{\overline{l i m}_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}}
$$

且约定：若其中的分母为 $+\infty$ ，则 $r=0$ ；若其中的分母为 0 ，则 $r=+\infty$ ．

> **Cauchy-Hadamard 定理就是用来求一个 幂级数（比如 a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...）在哪个范围内“说了算”（收敛），超过这个范围它就“失效”了（发散）。这个“权力范围”的半径，就叫做 收敛半径（R）。**

证 记 $u_n=a_n x^n \forall n$ ，用 $\S 14.2 .4$ 的 Cauchy 根值判别法，计算

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|} \cdot|x|
$$

由此可见，若 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=+\infty$ ，则幂级数只对于 $x=0$ 收玫，即 $r=0$ ；若 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=0$ ，则幂级数对每个 $x$ 收玫，即 $r=+\infty$ ．因此定理中的约定成立．

对于余下的情况，即 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}$ 为有限正数，从 Cauchy 根值判别法可见，当 $|x|<r$ 时幂级数收玫，当 $|x|>r$ 时幂级数发散．因此这个 $r$ 就是定义 15.4 中的收玫半径。

从 Abel 第一定理或者 Cauchy 根值判别法都可以得到下列重要推论．

> 推论 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收玫半径为有限数 $r>0$ ，则当 $|x|<r$ 时幂级数绝对收敛，而当 $|x|>r$ 时幂级数的通项不是无穷小量．（从 Abel 第一定理的证明可推出这时的通项一定无界．）

`例15.20`求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^s}$ 的收敛半径 $r$ 和收玫域．
解 直接计算

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^s}}=\frac{1}{\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}\right)^s}=1
$$

其倒数仍然为 1 ，因此收玫半径 $r=1$ ．余下的是端点问题．这可以将 $x= \pm 1$ 代入级数后直接观察是否收玫．

在 $s \leqslant 0$ 时，$x= \pm 1$ 时级数发散．因此收敛域为 $(-1,1)$ ．
在 $0<s \leqslant 1$ 时，$x=1$ 时级数发散，而 $x=-1$ 时级数为 Leibniz 型，因此收玫，而且为条件收敛．于是收敛域为 $[-1,1)$ ．

在 $s>1$ 时，收玫域为 $[-1,1]$ ．在两个端点处级数都是绝对收玫的．
注 这个例子表明幂级数在端点处发散，条件收玫和绝对收敛的各种可能性都是存在的．

`例15.21` 求 $\sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{x^2}{n}\right)^n$ 的收玫半径 $r$ 和收玫域．
解 1 记 $u_n=n!\left(\frac{x^2}{n}\right)^n$ ，直接用数项级数的 D＇Alembert 比值判别法（见 $\S 14.2 .3)$ ，则有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) x^2 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{x^2}{e}
$$

由此可见当 $|x|<\sqrt{ e }$ 时级数收玫，而当 $|x|>\sqrt{ e }$ 时级数发散．收玫半径 $r=\sqrt{ e }$ ．
对于端点，设 $x=\sqrt{ e }$ ，则从 Stirling 公式知道 $u_n \sim \sqrt{2 \pi n}$ ，即通项不趋于 0 ，因此级数发散．对于 $x=-\sqrt{ e }$ 情况也一样。最后收玫域为 $(-\sqrt{ e }, \sqrt{ e })$ ．

解 2 用数项级数的 Cauchy 根值判别法（见 $\S 14.2 .4$ ），这时 $\sqrt[n]{u_n}=x^2 \cdot \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ ，可见极限为 $\frac{x^2}{ e }$ 。以下与解 1 同。

注 上面两个解法完全是用第十四章的工具于一般的级数，并没有考虑幂级数的特殊性。

解 3 作为幂级数可以用 Cauchy－Hadamard 公式．首先按照幂级数定义写出系数的通式

$$
a_n=\left\{\begin{aligned}
\frac{k!}{k^k}, & n=2 k \\
0, & n=2 k-1
\end{aligned}\right.
$$

则可以计算

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\lim _{k \rightarrow \infty} \sqrt[2 k]{\left|a_{2 k}\right|}=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[k]{k!}}{k}\right)^{1 / 2}=\frac{1}{\sqrt{e}}
$$

可见收玫半径为 $\sqrt{ e }$ ．其余与解 1 同．
注 这个例题表明可以用各种不同方法来计算收敛半径，而不一定用 Cauchy－ Hadamard 公式。

`例15.22` 求 $\sum_{n=1}^{\infty} n^n x^n$ 的收玫半径和收玫域．
此题用上一个例题中的三种方法都可以得到收玫半径 $r=0$ 的结论，即收玫域是单元集 $\{0\}$ ．细节从略．

`例15.23` 求 $\sum_{n=0}^{\infty} C _\alpha^n x^n$ 的收敛半径和收玫域，其中 $\alpha$ 不是非负整数，即 $\alpha \neq 0,1,2, \cdots$ ，记号 $C _\alpha^n=\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ ．

解 这里直接用 D＇Alembert 判别法最方便：记级数通项为 $u_n$ ，则有

$$
\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\left|\frac{\alpha-n}{n+1}\right| \cdot|x| \rightarrow|x|
$$

可见 $r=1$ ．关于端点 $\pm 1$ 处的玫散性讨论很不容易。一个比较方便的方法是直接利用例题 14.27 的结论．即当 $s \neq 0,-1,-2, \cdots$ 时，存在非零常数 $C \neq 0$ ，使得成立

$$
s(s+1) \cdots(s+n) \sim C n^s n!(n \rightarrow \infty)
$$

现在考虑 $x=1$ 处的级数 $\sum_{n=0} C _\alpha^n$ 的玫散性．将其通项改写后并利用（15．12），就得到：

$$
C_\alpha^n=(-1)^n \cdot \frac{(-\alpha)(-\alpha+1) \cdots(-\alpha+n)}{n!(-\alpha+n)} \sim(-1)^n \cdot \frac{C}{n^{\alpha+1}}
$$

这样就得到了级数在 $x=1$ 处的敛散性结论：
（1）当 $\alpha \leqslant-1$ 时级数通项不趋于 0 ，因此级数发散；
（2）若 $\alpha>0$ ，则级数绝对收玫；
（3）当 $-1<\alpha<0$ 时为交错级数，通项趋于 0 ，且

$$
\left|C_\alpha^{n+1}\right|=\left|C_\alpha^n\right| \cdot \frac{|\alpha-n|}{n+1}<\left|C_\alpha^n\right|
$$

因此是 Leibniz 型级数．再考虑到 $0<1+\alpha<1$ ，可知为条件收玫．
最后考虑 $x=-1$ 处的级数 $\sum_{n=0}^{\infty} C _\alpha^n(-1)^n$ 的敛散性．可看出对 $x=1$ 的结论 （1），（2）现在仍然成立．但情况（3）则不同．这时级数项当 $n$ 充分大时保号，且等价于 $\frac{C}{n^{\alpha+1}}$ ，而 $0<\alpha+1<1$ ，因此发散。

为参考方便起见，将上述例题的两个端点的玫散性列表如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/baefdc.jpg)
 
 
 ##  理解：阿贝尔第一定理
阿贝尔第一定理的核心思想是：**如果一个幂级数在某个“边界点”上还能收敛，那么它的求和函数在这个点附近是“连续”的。** 换句话说，它保证了幂级数在收敛域的边界上，如果收敛，就会有良好的行为。

---

### 一个生动的比喻：扔石子

想象一下，你站在一个圆形池塘的中心。

1.  **幂级数**：就像你向池塘里扔石子。石子入水的地方（圆心）就是幂级数的中心点 `x = a`（通常我们取 `a=0`）。
2.  **收敛半径**：石子激起的水波会一圈圈地向外扩散。**能产生水波的区域**就是一个圆形的区域，这个圆的半径就是幂级数的**收敛半径 (R)**。
    *   在这个圆**内部** (`|x-a| < R`)，水波（级数）的形态非常清晰、稳定（**绝对收敛**）。
    *   在这个圆**外部** (`|x-a| > R`)，水波已经消失，水面平静（级数**发散**）。
3.  **边界点**：现在，我们关心的是这个圆的**边缘** (`|x-a| = R`)。这里的水面情况很复杂，水波可能刚好到达这里就消失了（发散），也可能还能激起一点点涟漪（收敛）。阿贝尔定理处理的就是**还能激起涟漪**的那种情况。
4.  **阿贝尔第一定理**：现在定理说，假设在圆形区域的**最东边**的边界上有一个点，比如 `x = a + R`，你发现那里居然还有一丝涟漪（即级数在 `x = a + R` 处**收敛**）。
    *   那么，**从池塘内部（比如正东方向）逐渐接近这个边界点时**，你看到的水波（级数的和）会**平滑地、连续地**变成边界上那丝涟漪的值。
    *   它不会在最后关头突然跳变或消失。内部的和与边界上的和是“连”在一起的。

**反过来也成立**：如果你从西边 (`x = a - R`)  approaching，结论同样适用。

---

### 更正式（但依然通俗）的解释

一个幂级数通常长这样：
`f(x) = a₀ + a₁(x-c) + a₂(x-c)² + a₃(x-c)³ + ...`

它在一个以 `c` 点为中心的区间 `(c-R, c+R)` 内收敛。`R` 就是收敛半径。

现在，我们看看这个区间的**右端点** `x = c + R`：

*   **情况一**：如果级数在 `x = c + R` 处**发散**。那没什么好说的，级数在那里没有意义。
*   **情况二**：如果级数在 `x = c + R` 处**神奇地收敛了**（比如收敛到某个数 `S`）。那么阿贝尔第一定理告诉我们：

> 当 `x` 从**左侧**（即从区间内部）无限接近 `c + R` 时，幂级数的和 `f(x)` 会无限接近 `S`。

用数学语言说就是：`lim(x→(c+R)⁻) f(x) = S`

这意味着，即使幂级数原本只定义在开区间 `(c-R, c+R)` 内，但如果它在端点收敛，我们就可以**“连续地”** 将这个幂级数的定义**拓展**到端点处，并且拓展后的函数在端点处是连续的。

### 为什么这个定理重要？

1.  **拓展定义域**：它允许我们将幂级数的有效范围稍微扩大一点到边界上。
2.  **求和**：它提供了求一些特殊级数和的方法。例如，我们知道 `ln(1+x)` 的级数展开是 `x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...`，其收敛域是 `(-1, 1]`（在 `x=1` 处收敛，在 `x=-1` 处发散）。
    *   根据阿贝尔定理，既然它在 `x=1` 处收敛，那么当 `x` 从左侧趋近于 1 时，级数的和就应该趋近于 `ln(1+1) = ln2`。
    *   因此，我们可以直接令 `x=1`，得到：`1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln2`。这是一个非常著名的结果。

### 总结

**阿贝尔第一定理**通俗讲就是：**对于一个幂级数，如果在收敛区域的边界上某点它还能“撑住”（收敛），那么从内部逼近这个边界点时，级数的和会平稳地、连续地过渡到边界点的值上去。**

它建立了幂级数内部和边界点行为之间的联系，是分析学中一个非常深刻和优美的结果。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：逐项求导定理

下一篇：幂级数的分析性质-Abel 第二定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)