最后更新: 2025-03-17 08:05 查看: 12 次反馈刷题

函数的幂级数展开

## 15.5 函数的幂级数展开

15．5．1 问题的提出
由于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 的通项为单项式，且其次数就是该项在级数中的位置，级数的部分和函数列 $S_n(x)=\sum_{k=0}^n a_k\left(x-x_0\right)^k$ 就是 $n$ 次多项式，对于计算特别方便．因此如何将函数展开为幂级数就成为一个重要问题．

这里要指出，将初等函数展开为幂级数也是一个重要问题．回顾 $\S 3.2 .5$ 中的基本初等函数，除了包括常值函数在内的多项式函数之外，它们的计算都是有困难的．例如 $a^x, \ln x, \sin x, \arcsin x$ 等等都只不过是函数的记号．记号本身不能告诉我们如何去计算它们 ${ }^{(1)}$ 。过去为这些函数准备了许多数学用表，就是因为不容易计算。今天我们可以在计算器和计算机上非常简单地计算它们，其背后与无穷级数有密切的联系。

首先观察，什么样的函数才可能展开为幂级数，或者说，什么样的函数才可能是幂级数的和函数．注意当前的问题是将函数展开为无穷级数，这与第七章的 Taylor 展开式是有限项的情况不一样．它们之间的联系在下面就会看到．

首先，函数 $f$ 在 $x_0=0$ 附近能够展开为幂级数的意思是：在点 0 的某一个邻域上成立下列等式：

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
$$

当然等式（15．13）成立的范围应当在右边的幂级数的收玫域内．由于幂级数的和函数在 $(-r, r)$ 上无限次可导，从而可知函数 $f$ 在 0 点附近也必须无限次可导。这当然是很高的要求．于是，如 $f(x)=|x|$ 那样的函数，在 $x=0$ 附近不可能展开为幂级数．

从逐项求导定理，连用 $k$ 次逐项求导后得到下列等式：

$$
f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) a_n x^{n-k} .
$$

令 $x=0$ 代入，就得到 $f^{(k)}(0)=k!a_k$ ．因此就已经将幂级数的系数算出来了：

$$
a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \forall k=0,1, \cdots .
$$

前面的 $a_0=f(0)$ 只是它的特例而已．

于是我们在不知道是否可以将 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近展开为幂级数时，已经得到两个结论：
（1）若能展开，则 $f$ 必须至少在 $x=0$ 的一个邻域内无限次可微；
（2）若能展开，则这个幂级数一定惟一，而且只能是

$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n .
$$

称右边为 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处的 Taylor 级数，类似地可以写出函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 Taylor 级数如下：

$$
f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n+\cdots
$$

在 $x_0=0$ 时也将上述级数称为 Maclaurin 级数．
反之，只要 $f$ 在点 $x_0$ 无限次可微，就可以写出它的 Taylor 级数，接下来的两个自然的问题就是：
（1）它是否有正收玫半径？
（2）若它有收玫半径 $r>0$ ，则是否在其收玫域上恰好以 $f(x)$ 为和函数？
可惜对于这两个重要问题的回答都是＂不一定＂。
对问题（1）的答案是 ${ }^{(1)}$ ：对于每一个幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ ，一定存在于点 $x_0$处无限次可微的函数 $f(x)$ ，使得这个幂级数恰好是 $f$ 在点 $x_0$ 的 Taylor 级数．于是，每一个收玫半径为 0 的幂级数，都一定是某个函数 $f$ 的 Taylor 级数．

对问题（2），只要回顾第六章的例题 6.19 （以及图 6．9），其中的函数为

$$
f(x)=\left\{\begin{aligned}
e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{aligned}\right.
$$

在该例题中已经证明 $f$ 于 $x=0$ 处的所有阶导数等于 0 ．这样一来，这个函数在点 $x=0$ 的 Taylor 级数就是每一项都等于 0 的幂级数，它当然处处收玫，即 $r=+\infty$ ．但是除了点 $x=0$ 之外，$f$ 处处大于 0 ，因此 $f(x)$ 与它的 Taylor 级数都不相等．

于是对于函数的幂级数展开问题需要作专门的研究。这里的方法就是第七章中关于 Taylor 展开式的余项．如 $\S 7.2 .2$ 与 $\S 7.2 .4$ 中那样定义余项为

$$
r_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
$$

于是
$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
$$

是否成立的问题就简单地归结为是否有 $\lim _{n \rightarrow \infty} r_n(x)=0$ ？使此极限为 0 的 $x$ 的范围，就是函数 $f$ 能够展开为幂级数的范围．

这里还可以看出，若 $f$ 在点 $x$ 能够展开为幂级数，则上述余项概念与第十四章的 $\S 14.1 .1$ 中引进的无穷级数的余项概念是一致的。

小结 用第七章中关于 Taylor 展开式的余项可以同时解决 Taylor 级数收敛且其和函数等于 $f(x)$ 的问题．

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