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Taylor 展开式的积分型余项

## 15.5.2 Taylor 展开式的积分型余项
在第七章的 $\S 7.2$ 已经学过两种余项，即 Peano 型余项和 Lagrange 型余项，其中前者不可能用于研究这里的问题，而后者则含有未知的中值，在某些估计中能力不够，因此本小节要介绍更有力的积分型余项。在这个余项中不出现＂中值＂$\xi$ ．

定理 15.14 设 $f$ 在点 0 的某个邻域 $O(0)$ 上有 $n+1$ 阶连续导函数，则有关于 Taylor 展开式的余项 $r_n(x)$ 的积分表达式如下：

$$
r_n(x)=f(x)-\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(0)}{i!} x^i=\frac{1}{n!} \int_0^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n d t .
$$

证 用数学归纳法给出证明。
对于 $n=0$ ，则 $r_0(x)=f(x)-f(0)=\int_0^x f^{\prime}(t) d t$ ，就是 Newton－Leibniz 公式．
现设 $n=k$ 时（15．14）已经成立，讨论 $n=k+1$ ．这时的条件是 $f$ 在点 0 的某
个邻域内有 $k+2$ 阶连续导函数．用分部积分法即有

$$
\begin{aligned}
r_{k+1} & (x)=r_k(x)-\frac{f^{(k+1)}(0)}{(k+1)!} x^{k+1} \\
& =\frac{1}{k!} \int_0^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k d t-\frac{f^{(k+1)}(0)}{(k+1)!} x^{k+1} \\
& =-\left.\frac{(x-t)^{k+1}}{(k+1)!} f^{(k+1)}(t)\right|_{t=0} ^{t=x}+\int_0^x \frac{(x-t)^{k+1}}{(k+1)!} f^{(k+2)}(t) d t-\frac{f^{(k+1)}(0)}{(k+1)!} x^{k+1} \\
& =\frac{1}{(k+1)!} \int_0^x f^{(k+2)}(t)(x-t)^{k+1} d t .
\end{aligned}
$$

注 由于公式（15．14）右边的被积函数中因子 $(x-t)^n$ 在 $[0, x]$ 上保号，因此可以用积分第一中值定理（见定理 10．8），存在 $\xi \in[0, x]$ ，使得

$$
\begin{aligned}
r_n(x) & =\frac{1}{n!} f^{(n+1)}(\xi) \int_0^x(x-t)^n d t \\
& =\left.\frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi)\left(-(x-t)^{n+1}\right)\right|_{t=0} ^{t=x}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1}
\end{aligned}
$$

这样就从积分型余项导出了第七章中的 Lagrange 型余项（见 §7．2．4）．

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