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基本初等函数的 Taylor 级数展开式

## 15.5.3 基本初等函数的 Taylor 级数展开式
本小节给出基本初等函数在 $x=0$ 的 Taylor 级数展开式，也就是 Maclaurin 级数展开式。

**基本展开式1** 指数函数 $e ^x$ 在 $x=0$ 的 Maclaurin 级数展开式：

$$
\boxed{
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots,-\infty<x<+\infty .
}
$$

这只要用第七章例题 7.8 的结果即可，这就是带 Lagrange 型余项的 Maclaurin展开式

$$
{
r_n(x)=e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)=\frac{e^{\theta x} x^{n+1}}{(n+1)!}
}
$$

其中 $0<\theta<1$ ．固定 $x$ ，从 $\left|r_n(x)\right| \leqslant \frac{ e ^{|x|}|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ 可见当 $n \rightarrow \infty$ 时极限为 0 ，即得到上述展开式。

**基本展开式2** 正弦函数 $\sin x$ 在 $x=0$ 的 Maclaurin 级数展开式：

$$
\boxed{
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty .
}
$$

这里需要正弦函数 $f(x)=\sin x$ 在 $x=0$ 的所有高阶导数值．为了写出余项，则还需要高阶导函数的表达式。由于 $(\sin x)^{(n)}$ 是在 $\pm \sin x, \pm \cos x$ 之间作周期 4循环，因此其绝对值总不超过 1．这里可以用 Lagrange 型余项，也可以用积分型余

项．用后者可估计如下：

$$
\left.\left|r_n(x)\right| \leqslant \frac{1}{n!}\left|\int_0^x\right| x-\left.t\right|^n d t \right\rvert\, \leqslant \frac{|x|^{n+1}}{n!} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)
$$

即处处收玫 ${ }^{(1)}$ 。

**基本展开式3** 余弦函数 $\cos x$ 在 $x=0$ 的 Maclaurin 级数展开式：

$$
\boxed{
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty .
}
$$

证明与 $\sin x$ 的情况类似，它的 Lagrange 型余项见例题 7．8．

**基本展开式4** 二项式函数 $(1+x)^\alpha$ 在 $x=0$ 的 Maclaurin 级数展开式（其中设 $\alpha$ 不是非负整数 ${ }^{(2)}$ ）：

$$
\boxed{
(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n+\cdots
}
$$

展开式在右边的幂级数的收敛域上成立。
求 $(1+x)^\alpha$ 的高阶导数是容易的，这样就可以写出右边的 Maclaurin 级数．对它的收敛域也已经在例题 15.23 中做过讨论。但如前面所说，我们不能根据级数的收敛域来判断函数的 Taylor 级数展开式在什么范围上成立，为此还是要研究余项。以下先证明当 $|x|<1$ 时，余项当 $n \rightarrow \infty$ 收敛于 0 。

若写出 Lagrange 型余项

$$
r_n(x)=\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)}{(n+1)!}(1+\theta x)^{\alpha-n-1} x^{n+1}
$$

其中 $0<\theta<1$ ，则当 $x \in(-1,0)$ 时，由于 $n$ 充分大时 $\alpha-n-1<0$ ，因子 $(1+\theta x)^{\alpha-n-1}$ 无法估计．因此需要用积分型余项．

写出积分型余项

$$
r_n(x)=\frac{1}{n!} \int_0^x \alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)(1+t)^{\alpha-n-1}(x-t)^n d t
$$

然后作如下估计：

$$
\left.\left|r_n(x)\right| \leqslant\left.\frac{|\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)|}{n!}\left|\int_0^x(1+t)^{\alpha-1}\right| \frac{x-t}{1+t}\right|^n d t \right\rvert\,
$$

观察上式右边积分号下的第二个因子 $\left|\frac{x-t}{1+t}\right|^n$ ，它是这里的主要困难．在 $x \in(-1,1)$ 且 $t \in[0, x]$ 时，$\frac{x-t}{1+t}$ 保号．又从

$$
\left(\frac{x-t}{1+t}\right)^{\prime}=\frac{-(1+t)-(x-t)}{(1+t)^2}=\frac{-1-x}{(1+t)^2}<0
$$

可知它是 $t \in[0, x]$ 上的单调函数，因此就可以对于一切 $t \in[0, x]$ 得到如下估计：

$$
\left|\frac{x-t}{1+t}\right| \leqslant \max \left\{\left|\frac{x-0}{1+0}\right|,\left|\frac{x-x}{1+x}\right|\right\}=|x| .
$$

由于（15．15）右边积分号下的第一个因子 $(1+t)^{\alpha-1}$ 在 $x \in(-1,1)$ 和 $t \in[0, x]$时有界，与 $n$ 无关（且可以积出），因此就得到对余项的进一步估计式

$$
\left|r_n(x)\right| \leqslant \frac{|\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)|}{n!} \cdot|x|^n \cdot\left|\frac{(1+x)^\alpha-1}{\alpha}\right| .
$$

为简明起见将上式右边与 $n$ 有关的因子记为

$$
c_n=\frac{|\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)|}{n!} \cdot|x|^n .
$$

写出

$$
\frac{c_{n+1}

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