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级数的基本性质

## 级数的性质
**定理9.1.1 （级数收敛的必要条件）** 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛，则其通项所构成的数列 $\left\{x_n\right\}$ 是无穷小量，即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0
$$

证 设 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n=S$ ，则对 $S_n=\sum_{k=1}^n x_k$ ，成立

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n-1}=S,
$$

于是得到

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_n-S_{n-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n-\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n-1}=0
$$

证毕
定理9．1．1可以用来判断某些级数发散。例如，当 $|q| \geqslant 1$ 时 $\left\{q^n\right\}$ 不是无穷小量，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} q^n$ 发散。例9．1．2中 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}$ 的一般项为 $\pm 1$ ，所以也发散。

要注意的是，定理 9．1．1 只是级数收敛的必要条件，而非充分条件．换言之，数列 $\left\{x_n\right\}$ 为无穷小量并不能保证级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛．例如，虽然数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 是无穷小量，但级数

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 却是发散的．

**定理9.1.2（线性性）** 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=A, \sum_{n=1}^{\infty} b_n=B, \alpha, \beta$ 是两个常数，则

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\alpha a_n+\beta b_n\right)=\alpha A+\beta B .
$$

证 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的部分和数列为 $\left\{S_n^{(1)}\right\}, \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 的部分和数列为 $\left\{S_n^{(2)}\right\}$ ，则对 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\alpha a_n+\beta b_n\right)$ 的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有

$$
S_n=\alpha S_n^{(1)}+\beta S_n^{(2)},
$$

于是成立

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\alpha \lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{(1)}+\beta \lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{(2)}=\alpha A+\beta B
$$

证毕

`例`求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}-3 \cdot 2^n}{5^n}$ 的值．
解 因为几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{4}{5}\right)^n$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^n$ 都收敛，所以有

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}-3 \cdot 2^n}{5^n}=\frac{16}{5} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{4}{5}\right)^n-\frac{6}{5} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^n=\frac{16}{5} \cdot \frac{1}{1-\frac{4}{5}}-\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{5}}=14 .
$$

**定理9.1.3** 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛，则在它的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛，且其和不变。

证 设 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 添加括号后表示为

$$
\left(x_1+x_2+\cdots+x_{n_1}\right)+\left(x_{n_1+1}+x_{n_1+2}+\cdots+x_{n_2}\right)+\cdots+\left(x_{n_{k-1}+1}+x_{n_{k-1}+2}+\cdots+x_{n_k}\right)+\cdots,
$$

令

$$
\begin{aligned}
& y_1=x_1+x_2+\cdots+x_{n_1}, \\
& y_2=x_{n_1+1}+x_{n_1+2}+\cdots+x_{n_2}, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& y_k=x_{n_{k-1}+1}+x_{n_{k-1}+2}+\cdots+x_{n_k}, \\
& \cdots \cdots \cdots
\end{aligned}
$$

则 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 按上面方式添加括号后所得的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} y_n$ ．令 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 的部分和数列为 $\left\{S_n\right\}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty} y_n$ 的部分和数列为 $\left\{U_n\right\}$ ，则

$$
\begin{aligned}
& U_1=S_{n_1}, \\
& U_2=S_{n_2}, \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& U_k=S_{n_k},
\end{aligned}
$$

显然 $\left\{U_n\right\}$ 是 $\left\{S_n\right\}$ 的一个子列，于是由 $\left\{S_n\right\}$ 的收敛性即得到 $\left\{U_n\right\}$ 的收敛性，且极限相同。

证毕
定理 9．1．3 可以理解为，收敛的级数满足加法结合律．

`例`我们已知下面 中的级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}=1-1+1-\cdots+(-1)^{n-1}+\cdots
$$

是发散的．但若在每两项之间加上括号，则有

$$
(1-1)+(1-1)+\cdots+(1-1)+\cdots=0+0+\cdots+0+\cdots=0
$$

即添加了括号后所得的级数是收敛的。
更有甚者，对一个发散的级数，若按不同的方式加括号，所得的级数可能收敛于不同的极限。仍以

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}=1-1+1-\cdots+(-1)^{n-1}+\cdots
$$

为例，除了上面的加括号方式外，还可以有

$$
1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots+(-1+1)+\cdots=1+0+0+\cdots+0+\cdots=1
$$

的不同结果。
这就是说，发散的级数不满足加法结合律．

`例`计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^n}$ ．
解 设级数的部分和数列为 $\left\{S_n\right\}$ ，则

$$
\begin{aligned}
& S_n=2 S_n-S_n=2 \sum_{k=1}^n \frac{2 k-1}{2^k}-\sum_{k=1}^n \frac{2 k-1}{2^k} \\
= & \sum_{k=0}^{n-1} \frac{2 k+1}{2^k}-\sum_{k=1}^n \frac{2 k-1}{2^k}=1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^{k-1}}-\frac{2 n-1}{2^n},
\end{aligned}
$$

于是

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=1+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}=3
$$

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