最后更新: 2025-03-16 10:33 查看: 67 次反馈刷题

比较判别法

## 14.2.1 比较判别法
从非负项级数收玫的充要条件（见定理 2．18）出发，最基本的判别法就是比较判别法．它的应用依赖于寻找另一个合适的级数作比较．今后称它为比较级数．

比较判别法 若 $0 \leqslant a_n \leqslant b_n \forall n$ ，则有
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收玫 $\Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散 $\Longleftarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散．
证 由于两个级数都是非负项级数，因此只要从部分和是否有界就可以判定玫散性．从级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收玫，可见 $\exists M>0, \forall n: \sum_{k=1}^n b_k \leqslant M$ ．利用条件 $a_n \leqslant b_n \forall n$可见也有 $\forall n: \sum_{k=1}^n a_k \leqslant M$ ，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收玫．这就是（1）．而（2）只是（1）的逆否命题．

例题 14.3 判别非负项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\frac{3}{2}}}$ 的收玫性．

证 利用例题14．2 中关于 $p$ 级数的玫散性结论，又利用 $\ln x=o\left(x^{\varepsilon}\right)(x \rightarrow$ $+\infty)$ 对每个 $\varepsilon>0$ 成立，取 $\varepsilon=1 / 4$ ，则存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时， $\ln n \leqslant n^{\frac{1}{4}}$ ，因此就有

$$
0 \leqslant \frac{\ln n}{n^{3 / 2}} \leqslant \frac{1}{n^{5 / 4}}
$$

从而可以用 $p=5 / 4$ 时的 $p$ 级数作为比较级数推出本题的非负项级数收玫．
例题14．4 讨论 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ 的敛散性．
解 记 $a_n=\frac{n}{n^2+1}$ ，则有

$$
a_n \geqslant \frac{n}{n^2+n^2}=\frac{1}{2 n},
$$

因此从调和级数发散知道 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 发散．

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做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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