最后更新: 2025-11-10 11:29 查看: 98 次纠错评论(0) 课件开VIP

正项级数

## 正项级数敛散性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同，则称它为**同号级数**．对于同号级数，只需研究各项都是由非负数组成的级数——称为**正项级数**．如果级数的各项都是非正数，则它乘以 -1 后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。

注 这样定义正项级数更一般，更便于讨论．实际上 $u_n=0$ 的项不影响级数的敛散性，在判别正项级数敛散性时可自然排除。

由于级数与其部分和数列具有相同的敛散性，所以首先得到如下定理．

**定理12.5** 正项级数 $\sum u_n$ 收敛的充要条件是：部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界，即存在某正数 $M$ ，对一切正整数 $n$ 有 $S_n<M$ ．

证 由于 $u_i \geqslant 0(i=1,2, \cdots)$ ，所以 $\left\{S_n\right\}$ 是递增数列．而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理））．这就证明了本定理的结论．

**定理12.6（比较原则）** 设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 是两个正项级数，如果存在某正数 $N$ ，对一切 $n>N$ 都有

$$
u_n \leqslant v_n ...(1)
$$

则
（i）若级数 $\sum v_n$ 收敛，则级数 $\sum u_n$ 也收敛；
（ii）若级数 $\sum u_n$ 发散，则级数 $\sum v_n$ 也发散．

证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等式（1）对一切正整数都成立。

现分别以 $S_n^{\prime}$ 和 $S_n^{\prime \prime}$ 记级数 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 的部分和。由（1）式推得，对一切正整数 $n$ ，都有

$$
S_n^{\prime} \leqslant S_n^{\prime \prime} ...(2)
$$

若 $\sum v_n$ 收敛，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime \prime}$ 存在，则由（2）式，对一切 $n$ 有 $S_n^{\prime} \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime \prime}$ ，即正项级数 $\sum u_n$ 的部分和数列 $\left\{S^{\prime}{ }_n\right\}$ 有界，由定理12．5知级数 $\sum u_n$ 收敛．这就证明了（i）；（ii）为（i）的逆否命题，自然成立。

`例` 考察 $\sum \frac{1}{n^2-n+1}$ 的敛散性．
解 由于当 $n \geqslant 2$ 时，有

$$
\frac{1}{n^2-n+1} \leqslant \frac{1}{n^2-n}=\frac{1}{n(n-1)} \leqslant \frac{1}{(n-1)^2}
$$

因为正项级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^2}$ 收敛   ，故由定理 12.6 ，级数 $\sum \frac{1}{n^2-n+1}$ 也收敛。

在实际使用上，比较原则的下述极限形式有时更为方便．
推论 设

$$
\begin{aligned}
& u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots ...(3) \\
& v_1+v_2+\cdots+v_n+\cdots  ...(4)
\end{aligned}
$$

是两个正项级数，若

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n}=l ...(5)
$$

则
（i）当 $0<l<+\infty$ 时，级数（3）、（4）同时收敛或同时发散；
（ii）当 $l=0$ 且级数（4）收敛时，级数（3）也收敛；
（iii）当 $l=+\infty$ 且级数（4）发散时，级数（3）也发散。
证 对于（i），当 $0<l<+\infty$ 时，对任意正数 $\varepsilon \quad(\varepsilon<l)$ ，存在某正数 $N$ ，当 $n>N$ 时，恒有

$$
\left|\frac{u_n}{v_n}-l\right|<\varepsilon
$$

或

$$
(l-\varepsilon) v_n<u_n<(l+\varepsilon) v_n ...(6)
$$

由定理12．6及（6）式可得级数（3）和（4）具有相同的敛散性。
对于（ii），当 $l=0$ 时，由（6）式右半部分及比较原则可得：若级数（4）收敛，则级数 （3）也收敛．
对于（iii），若 $l=+\infty$ ，即对任给的正数 $M$ ，存在相应的正数 $N$ ，当 $n>N$ 时，都有

$$
\frac{u_n}{v_n}>M
$$

或

$$
u_n>M v_n .
$$

于是由比较原则知道，若级数（4）发散，则级数（3）也发散．

`例`级数
$$
\sum \frac{1}{2^n-n}
$$

是收敛的．
因为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2^n-n}}{\frac{1}{2^n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{2^n-n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{n}{2^n}}=1
$$

以及等比级数 $\sum \frac{1}{2^n}$ 收敛，所以根据推论，级数 $\sum \frac{1}{2^n-n}$ 也收敛．

`例` 级数

$$
\sum \sin \frac{1}{n}=\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots+\sin \frac{1}{n}+\cdots
$$

是发散的．

因为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1
$$

根据推论以及调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，所以级数 $\sum \sin \frac{1}{n}$ 也发散．

`例` 判断正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{2 n^3-n}$ 的敛散性．
解 容易看出当 $n>3$ 时成立

$$
\frac{n+3}{2 n^3-n}<\frac{1}{n^2},
$$

于是由 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的收敛性，可知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{2 n^3-n}$ 收敛．

`例`判断正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{n}$ 的敛散性．
解 由于当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，成立不等式 $\sin x \geqslant \frac{2}{\pi} x$ ，所以当 $n \geqslant 2$ 时，

$$
\sin \frac{\pi}{n} \geqslant \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n}=\frac{2}{n},
$$

由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的，可知 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{n}$ 发散．

`例`判别非负项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\frac{3}{2}}}$ 的收敛性．

证 利用 $p$ 级数的敛散性结论，又利用 $\ln x=o\left(x^{\varepsilon}\right)(x \rightarrow$ $+\infty)$ 对每个 $\varepsilon>0$ 成立，取 $\varepsilon=1 / 4$ ，则存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时， $\ln n \leqslant n^{\frac{1}{4}}$ ，因此就有

$$
0 \leqslant \frac{\ln n}{n^{3 / 2}} \leqslant \frac{1}{n^{5 / 4}}
$$

从而可以用 $p=5 / 4$ 时的 $p$ 级数作为比较级数推出本题的非负项级数收敛．

`例`讨论 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ 的敛散性．
解 记 $a_n=\frac{n}{n^2+1}$ ，则有

$$
a_n \geqslant \frac{n}{n^2+n^2}=\frac{1}{2 n},
$$

因此从调和级数发散知道 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 发散．

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