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正项级数

## 正项级数敛散性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同，则称它为**同号级数**．对于同号级数，只需研究各项都是由非负数组成的级数——称为**正项级数**．如果级数的各项都是非正数，则它乘以 -1 后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。

注 这样定义正项级数更一般，更便于讨论．实际上 $u_n=0$ 的项不影响级数的敛散性，在判别正项级数敛散性时可自然排除。

由于级数与其部分和数列具有相同的敛散性，所以首先得到如下定理．

**定理12.5** 正项级数 $\sum u_n$ 收敛的充要条件是：部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界，即存在某正数 $M$ ，对一切正整数 $n$ 有 $S_n<M$ ．

证 由于 $u_i \geqslant 0(i=1,2, \cdots)$ ，所以 $\left\{S_n\right\}$ 是递增数列．而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理））．这就证明了本定理的结论．

**定理12.6（比较原则）** 设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 是两个正项级数，如果存在某正数 $N$ ，对一切 $n>N$ 都有

$$
u_n \leqslant v_n ...(1)
$$

则
（i）若级数 $\sum v_n$ 收敛，则级数 $\sum u_n$ 也收敛；
（ii）若级数 $\sum u_n$ 发散，则级数 $\sum v_n$ 也发散．

证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等式（1）对一切正整数都成立。

现分别以 $S_n^{\prime}$ 和 $S_n^{\prime \prime}$ 记级数 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 的部分和。由（1）式推得，对一切正整数 $n$ ，都有

$$
S_n^{\prime} \leqslant S_n^{\prime \prime} ...(2)
$$

若 $\sum v_n$ 收敛，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime \prime}$ 存在，则由（2）式，对一切 $n$ 有 $S_n^{\prime} \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime \prime}$ ，即正项级数 $\sum u_n$ 的部分和数列 $\left\{S^{\prime}{ }_n\right\}$ 有界，由定理12．5知级数 $\sum u_n$ 收敛．这就证明了（i）；（ii）为（i）的逆否命题，自然成立。

`例` 考察 $\sum \frac{1}{n^2

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