最后更新: 2025-03-16 10:34 查看: 30 次反馈刷题

等价量判别法

## 14.2.2 等价量判别法
证明不等式往往不如求极限更方便，这样就从比较判别法得出下列判别法．
等价量判别法 若 $b_n \geqslant 0, a_n>0 \forall n$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 同敛散．

证 从 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n}=1$ 可知存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时有 $\frac{1}{2}<\frac{b_n}{a_n}<2$ ．
从 $b_n<2 a_n$ 可知

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { 收玫 } \Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { 收玫, }
$$

而从 $b_n>\frac{1}{2} a_n$ 可知

$$
\sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { 收玫 } \Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { 收玫. }
$$

注 更广一点的是比较判别法的下列极限形式．其证明留作练习题．
比较判别法的极限形式 若 $b_n \geqslant 0, a_n>0 \forall n$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n}=l$ ，则
（1）在 $0<l<+\infty$ 时 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 同敛散；
（2）在 $l=0$ 时可从 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛推出 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 也收敛；
（3）在 $l=+\infty$ 时可从 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散推出 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 也发散．
例题 14.5 讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(n^2+3 n-2\right)^x}$ 的玫散性，其中参数 $x>0$ ．
解 从 $a_n \sim \frac{1}{n^{2 x}}$ 可知，当 $x>\frac{1}{2}$ 时，级数收玫．同时又知道，当 $x \leqslant \frac{1}{2}$ 时，级数发散。

例题14．6 讨论 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性．

解 这是负项级数，即每一项小于 0 ．利用 $\ln (1+x) \sim x(x \rightarrow 0)$ ，可见级数与 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)$ 同敛散，因此发散．

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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