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达朗贝尔 D Alembert 比值判别法

## 达朗贝尔 D'Alembert比式判别法
根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性．本段所介绍的是以等比级数作为比较对象而得到的．

定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设 $\sum u_n$ 为正项级数，且存在某正整数 $N_0$ 及常数 $q(0<q<1)$ ．
（i）若对一切 $n>N_0$ ，成立不等式

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant q, ...(7)
$$

则级数 $\sum u_n$ 收敛．
（ii）若对一切 $n>N_0$ ，成立不等式

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1 ...(8)
$$

则级数 $\sum u_n$ 发散．

证（i）不妨设不等式（7）对一切 $n \geqslant 1$ 成立，于是有

$$
\frac{u_2}{u_1} \leqslant q, \quad \frac{u_3}{u_2} \leqslant q, \cdots, \quad \frac{u_n}{u_{n-1}} \leqslant q, \cdots
$$

把前 $n-1$ 个不等式的左边及右边分别相乘后，得到

$$
\frac{u_2}{u_1} \cdot \frac{u_3}{u_2} \cdots \cdot \frac{u_n}{u_{n-1}} \leqslant q^{n-1}
$$

或者

$$
u_n \leqslant u_1 q^{n-1}
$$

由于当 $0<q<1$ 时，等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}$ 收敛，根据比较原则可推知级数 $\sum u_n$ 收敛．
（ii）由于 $n>N_0$ 时成立不等式（8），即有

$$
u_{n+1} \geqslant u_n \geqslant u_{N_0} .
$$

于是当 $n \rightarrow \infty$ 时，$u_n$ 的极限不可能为零．由定
推论知级数 $\sum u_n$ 是发散的．

### 推论
**推论1（比式判别法的极限形式）** 若 $\sum u_n$ 为正项级数，且

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=q,
$$

则
（i）当 $q<1$ 时，级数 $\sum u_n$ 收敛；
（ii）当 $q>1$ 或 $q=+\infty$ 时，级数 $\sum u_n$ 发散．

证明：略。

注1 若 $q=1$ ，则 D＇Alembert 判别法失效，不能得到任何结论．例如 $p$ 级数，用 $D ^{\prime}$ Alembert 判别法总是 $q=1$ ，无论 $p$ 是什么都是如此．

注2 从证明可以看出 D＇Alembert 判别法实际上依赖于将几何级数作为比较级数．下一小节的根值判别法也是如此．

`例`讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ 的敛散性．
解 从 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}$ ，可见极限为 $l=0$ ．因此级数收敛．

`例`设级数

$$
\frac{2}{1}+\frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 5}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{1 \cdot 5 \cdot 9}+\cdots+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot[2+3(n-1)]}{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \cdots \cdot[1+4(n-1)]}+\cdots
$$

由于

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2+3 n}{1+4 n}=\frac{3}{4}<1,
$$

根据推论，上述级数是收敛的．

`例`讨论级数 $\sum n x^{n-1}(x>0)$ 的敛散性．
解 因为

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1) x^n}{n x^{n-1}}=x \cdot \frac{n+1}{n} \rightarrow x \quad(n \rightarrow \infty),
$$

根据推论  ，当 $0<x<1$ 时级数收敛；当 $x>1$ 时级数发散；而当 $x=1$ 时，所考察的级数是 $\sum n$ ，它显然也是发散的．

`例`判断正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{3^n \cdot n!}$ 的敛散性．
解 令 $x_n=\frac{n^n}{3^n \cdot n!}$ ，则

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1} \cdot(n+1)!} \cdot \frac{3^n \cdot n!}{n^n}\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\frac{\mathrm{e}}{3}<1,
$$

由 d＇Alembert 判别法可知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{3^n \cdot n!}$ 收敛．

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