最后更新: 2025-03-16 10:34 查看: 84 次反馈刷题

达朗贝尔 D Alembert 比值判别法

## 14.2.3 D＇Alembert 比值判别法
为了讨论一个给定级数的敛散性，上两小节的比较判别法等都需要寻找另一个比较级数。这里要介绍的 D＇Alembert  判别法则无需如此。这无疑是一个优点。它也有非极限形式与极限形式，为简明起见只列出后一种。

D＇Alembert 比值判别法 对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ，若存在极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=l
$$

则当 $l<1$ 时，级数收玫，而当 $l>1$ 时，则级数发散．
证 若 $l<1$ ，则可取 $r$ 使得 $l<r<1$ ．从条件知存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，有

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} < r .
$$

于是当 $n \geqslant N+1$ 时成立

$$
0 < a_n<r a_{n-1}<r^2 a_{n-2}<\cdots<r^{n-N} a_N=\frac{a_N}{r^N} \cdot r^n
$$

这样就得到一个收玫的几何级数：

$$
\sum_{n=N+1}^{\infty} r^{n-N} a_N=\frac{a_N}{r^N} \sum_{n=N+1}^{\infty} r^n
$$

将它作为比较级数，由比较判别法可见级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收玫．
若 $l>1$ ，则存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时 $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ ，因此 $a_n>a_{n-1}>\cdots>a_N>$ $0 \forall n \geqslant N+1$ ．这表明通项数列 $\left\{a_n\right\}$ 不是无穷小量，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散．

注 1 若 $l=1$ ，则 D＇Alembert 判别法失效，不能得到任何结论．例如 $p$ 级数，用 $D ^{\prime}$ Alembert 判别法总是 $l=1$ ，无论 $p$ 是什么都是如此．

注 2 从证明可以看出 D＇Alembert 判别法实际上依赖于将几何级数作为比较级数．下一小节的根值判别法也是如此．

例题 14.7 讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ 的敛散性．
解 从 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}$ ，可见极限为 $l=0$ ．因此级数收玫．

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