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柯西 Cauchy 根值判别法

##  Cauchy 柯西根值判别法

**定理 （柯西判别法，或称根式判别法）** 设 $\sum u_n$ 为正项级数，且存在某正数 $N_0$及正常数 $l$ ，
（i）若对一切 $n>N_0$ ，成立不等式

$$
\sqrt[n]{u_n} \leqslant l<1 ...(1)
$$

则级数 $\sum u_n$ 收敛；
（ii）若对一切 $n>N_0$ ，成立不等式

$$
\sqrt[n]{u_n} \geqslant 1 ...(2)
$$

则级数 $\sum u_n$ 发散．
证 由（1）式有

$$
u_n \leqslant l^n
$$

因为等比级数 $\sum l^n$ 当 $0<l<1$ 时收敛，故由比较原则，这时级数 $\sum u_n$ 也收敛，对于情形 （ii），由（2）式可推得

$$
u_n \geqslant 1^n=1
$$

当 $n \rightarrow \infty$ 时，显然 $u_n$ 不可能以零为极限，因而由级数收敛的必要条件可知，级数 $\sum u_n$ 是发散的．

### 推论1
**推论1（根式判别法的极限形式**）设 $\sum u_n$ 为正项级数，且

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l ...(13)
$$

则
（i）当 $l<1$ 时，级数 $\sum u_n$ 收敛；
（ii）当 $l>1$ 时，级数 $\sum u_n$ 发散．
证 由（3）式，当取 $\varepsilon<|1-l|$ 时，存在某正数 $N$ ，对一切 $n>N$ ，有

$$
l-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<l+\varepsilon .
$$

于是由柯西判别法就能得到这个推论所要证明的结论．

`例`  研究级数 $\sum \frac{2+(-1)^n}{2^n}$ 的敛散性．
解 由于

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n}}{2}=\frac{1}{2}
$$

所以级数是收敛的．

若在（3）式中 $l=1$ ，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断．例如，对 $\sum \frac{1}{n^2}$和 $\sum \frac{1}{n}$ ，都有

$$
\sqrt[n]{u_n} \rightarrow 1(n \rightarrow \infty) .
$$

但 $\sum \frac{1}{n^2}$ 是收敛的，而 $\sum \frac{1}{n}$ 却是发散的．
若（3）式的极限不存在，则可根据根式 $\sqrt[n]{u_n}$ 的上极限来判断．

**推论2** 设 $\sum u_n$ 为正项级数，且

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l,
$$

则当
（i）$l<1$ 时级数收敛；
（ii）$l>1$ 时级数发散．
证明：略

`例` 讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^{2 n}}$ 的敛散性，其中 $x>0$ ．
解 因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{2 n}}=\max \left\{1, x^2\right\}$ ，所以

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{x^n}{1+x^{2 n}}}=\frac{x}{\max \left\{1, x^2\right\}} \begin{cases}<1, & x \neq 1 \\ =1, & x=1\end{cases}
$$

于是，当 $x \neq 1$ 时，原级数收敛，当 $x=1$ 时，原级数发散．

`例`判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2 n) \text { ！}}$ 收敛性

解：因为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{[(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!} \cdot \frac{(2 n)!}{(n!)^2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{(2 n+1)(2 n+2)}=\frac{1}{4}<1,
$$

所以由比式判别法，该级数收敛．

`例` $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^n}$

解：因为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{\sqrt[n]{\left(2+\frac{1}{n}\right)^n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}<1
$$

所以由根式判别法，该级数收敛．

## 例题

这里需要上极限的概念，它保证了判别法中要计算的 $l$ 在任何情况下有意义．
Cauchy 根值判别法 设有非负项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ，且记

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=l
$$

则当 $l<1$ 时该级数收敛，而当 $l>1$ 时级数发散．

`例`讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$ 的敛散性，其中参数 $x>0$ ．
解 由于

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{1+\frac{1}{n}}=x
$$

可知 $x>1$ 时级数发散， $0<x<1$ 时级数收敛．当 $x=1$ 时，级数通项 $a_n \rightarrow \frac{1}{ e }$ ，因此级数发散。

`例`讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{n} \ln ^n x$ 的敛散性，其中参数 $x>0$ ．
解 记通项为 $a_n$ ，当 $n$ 为奇数时 $a_n=0$ ，而当 $n$ 为偶数时 $a_n>0$ ．因此可用根值判别法．由于

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=|\ln x|
$$

因此当 $|\ln x|<1$ 时，即 $\frac{1}{ e }<x< e$ 时级数收敛．当 $|\ln x|>1$ 时，即 $x> e$ 或 $0<x<\frac{1}{ e }$ 时级数发散．
当 $x= e$ 或 $x=\frac{1}{ e }$ ，则 $a_n=\frac{1+(-1)^n}{n}$ ，即 $a_{2 n-1}=0, a_{2 n}=\frac{1}{n}$ ．从调和级数发散知道级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散．

注 1 由于这个级数的奇数项总是 0 ，因此不能直接用 D＇Alembert 判别法．
注 2 一般来说比值的极限要比根值的极限容易求，特别遇到阶乘时是如此．但这时往往可以用 Stirling 公式．例如对于下列级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{3}{n}\right)^n
$$

比值极限计算如下：

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=3\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \rightarrow \frac{3}{e},
$$

而根值极限计算如下：

$$
\sqrt[n]{n!}\left(\frac{3}{n}\right) \sim\left(\frac{n}{e}\right) \sqrt[2 n]{2 \pi n}\left(\frac{3}{n}\right) \rightarrow \frac{3}{e}
$$

这里若用前面例题 的已知结果，即 $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \sim \frac{1}{ e }$ ，则更为方便．

`例`  判断正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3\left[\sqrt{2}+(-1)^n\right]^n}{3^n}$ 的敛散性．
解 由于

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^3\left[\sqrt{2}+(-1)^n\right]^n}{3^n}}=\frac{\sqrt{2}+1}{3}<1,
$$

由定理 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3\left[\sqrt{2}+(-1)^n\right]^n}{3^n}$ 收敛．

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