最后更新: 2025-03-16 10:35 查看: 61 次反馈刷题

柯西 Cauchy 根值判别法

## 14.2.4 Cauchy 根值判别法
这里需要上极限的概念，它保证了判别法中要计算的 $l$ 在任何情况下有意义．
Cauchy 根值判别法 设有非负项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ，且记

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=l
$$

则当 $l<1$ 时该级数收敛，而当 $l>1$ 时级数发散．
证 若 $l<1$ ，取 $r$ 满足 $l<r<1$ ，则从上极限的性质可知，大于等于 $r$ 的 $\sqrt[n]{\left|a_n\right|}$ 至多只有有限多项（见定理13．2（I）（1）），因此存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，$\sqrt[n]{a_n}<r$ ．这导致 $0 \leqslant a_n<r^n$ ，从比较判别法可知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛．

若 $l>1$ ，则同样由上极限的性质可知（见定理 $13.2( I )(2)$ ），存在无限多个 $n$ ，满足 $\sqrt[n]{a_n}>1$ ，这就是 $a_n>1$ ，因此 $\left\{a_n\right\}$ 不是无穷小量，从而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散．

注 1 同样从 $p$ 级数可知，在 Cauchy 根值判别法中的 $l=1$ 时判别法失效．
注 2 在 $\S 2.2$ 的练习题 19（5）中已经证明，若 $x_n>0 \forall n$ ，则

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=l \Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_n}=l
$$

因此若一个正项级数的收玫性能用 D＇Alembert 比值判别法解决，则也一定可用 Cauchy 根值判别法解决．另一方面，可以举出例子说明反之不能成立．
例题 14.8 讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$ 的敛散性，其中参数 $x>0$ ．
解 由于

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{1+\frac{1}{n}}=x
$$

可知 $x>1$ 时级数发散， $0<x<1$ 时级数收玫．当 $x=1$ 时，级数通项 $a_n \rightarrow \frac{1}{ e }$ ，因此级数发散。

例题 14.9 讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{n} \ln ^n x$ 的敛散性，其中参数 $x>0$ ．
解 记通项为 $a_n$ ，当 $n$ 为奇数时 $a_n=0$ ，而当 $n$ 为偶数时 $a_n>0$ ．因此可用根值判别法．由于

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=|\ln x|
$$

因此当 $|\ln x|<1$ 时，即 $\frac{1}{ e }<x< e$ 时级数收玫．当 $|\ln x|>1$ 时，即 $x> e$ 或 $0<x<\frac{1}{ e }$ 时级数发散．
当 $x= e$ 或 $x=\frac{1}{ e }$ ，则 $a_n=\frac{1+(-1)^n}{n}$ ，即 $a_{2 n-1}=0, a_{2 n}=\frac{1}{n}$ ．从调和级数发散知道级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散．

注 1 由于这个级数的奇数项总是 0 ，因此不能直接用 D＇Alembert 判别法．
注 2 一般来说比值的极限要比根值的极限容易求，特别遇到阶乘时是如此．但这时往往可以用 Stirling 公式．例如对于下列级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{3}{n}\right)^n
$$

比值极限计算如下：

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=3\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \rightarrow \frac{3}{e},
$$

而根值极限计算如下：

$$
\sqrt[n]{n!}\left(\frac{3}{n}\right) \sim\left(\frac{n}{e}\right) \sqrt[2 n]{2 \pi n}\left(\frac{3}{n}\right) \rightarrow \frac{3}{e}
$$

这里若用例题 2.31 的已知结果，即 $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \sim \frac{1}{ e }$ ，则更为方便．

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