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柯西 Cauchy 积分判别法

##  Cauchy 积分判别法

积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性．

**定理12.9** 设 $f$ 为 $[1,+\infty)$ 上的减函数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 收敛的充分必要条件是反常积分 $\int_1^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．

这种方法自于用定积分表示的曲边梯形面积与作为级数部分和的矩形面积之和的比较，见图 14．1．

![图片](/uploads/2025-02/501a0c.jpg) 
Cauchy 积分判别法 若函数 $f$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上非负单调减少，则无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与广义积分 $\int_1^{+\infty} f(x) d x$ 同敛散．

证 从 $f$ 单调减少可知对于每个正整数 $k \geqslant 1$ 有下列不等式

$$
f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) d x \leqslant f(k)
$$

取 $k=1$ 到 $n-1$ 并相加，就得到（参见图 14．1）：

$$
\sum_{k=2}^n f(k) \leqslant \int_1^n f(x) d x \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} f(k)
$$

若广义积分 $\int_1^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，则（14．2）式中间的积分有上界，而左边的不等式表明非负项级数 $\sum_{k=1}^{\infty} f(k)$ 的部分和数列有上界，因此级数收敛．若非负项级数 $\sum_{k=1}^{\infty} f(k)$ 收敛，则其部分和数列有上界，而（14．2）的右边的不等式表明变动上限 $A(\geqslant 1)$ 的积分

$$
\int_1^A f(x) d x \leqslant \int_1^{[A]+1} f(x) d x
$$

是 $A$ 的单调增加有上界函数，因此广义积分 $\int_1^{+\infty} f(x) d x$ 收敛．
注 由于无穷级数的敛散性在去掉级数的有限项后保持不变，因此与前面的各种判别法一样，Cauchy 积分判别法中的条件可以放宽．这就是只要对某一个正整数 $N$ ，函数 $f$ 在区间 $[N,+\infty)$ 上非负单调减少，就足以保证：

$$
\text { 无穷级数

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