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莱布尼兹 Leibniz 型级数

## 14.3.1 Leibniz 型级数
首先介绍在任意项级数中的一类具有特殊形状的收敛级数——Leibniz 型级数．它可以说是与保号级数相反的一类常见的无穷级数，例如以下两个有名的无穷级数都是 Leibniz 型级数：

$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots=\ln 2 \\
& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{2 n-1}+\cdots=\frac{\pi}{4}
\end{aligned}
$$

定义 14.2 称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为 Leibniz 型级数，如果满足以下 3 个条件：
（1）$u_n=(-1)^{n-1} b_n$ ，其中 $b_n>0$ ；
（2）$\left\{b_n\right\}$ 为单调减少数列；
（3） $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=0$ ．

注 满足条件（1）的级数称为交错级数．它是一种特殊类型的变号级数．为方便起见设第一项大于 0 。后两个条件可合并写为 $b_n \downarrow 0$ ，或者 $\left|u_n\right| \downarrow 0$ 。因此 Leibniz型级数就是通项绝对值单调趋于 0 的交错级数．

定理14．2 Leibniz 型级数一定收敛．
证 记级数的部分和数列为 $\left\{S_n\right\}$ ，并考察其中由偶数项 $S_{2 n}$ 组成的子列．从

$$
S_{2 n}=\left(b_1-b_2\right)+\left(b_3-b_4\right)+\cdots+\left(b_{2 n-1}-b_{2 n}\right),
$$

利用 $b_n \downarrow$ 可见有 $S_{2 n+2}=S_{2 n}+\left(b_{2 n+1}-b_{2 n+2}\right) \geqslant S_{2 n}$ ，因此数列 $\left\{S_{2 n}\right\}$ 是单调增加数列．

另一方面，从

$$
S_{2 n}=b_1-\left(b_2-b_3\right)-\cdots-\left(b_{2 n-2}-b_{2 n-1}\right)-b_{2 n} \leqslant b_1
$$

可见数列 $\left\{S_{2 n}\right\}$ 有上界．应用单调有界数列收敛定理，$\left\{S_{2 n}\right\}$ 收玫．记其极限为 $b$ ，就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=b$ ．

现在再考察数列 $\left\{S_n\right\}$ 中由奇数项构成的子列．这时有

$$
S_{2 n-1}=S_{2 n}-b_{2 n}
$$

从 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=0$ 可见也有 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{2 n}=0$ ，因此又得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=b$ ．合并以上就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=b$ ．

注 从上面的证明可见有 $b \leqslant b_1$ ．同理可知 Leibniz 型级数的余项的绝对值一定不超过余项的第一项的绝对值．这对于误差估计是非常方便有用的．

下面是几个常见的 Leibniz 型级数：

$$
\begin{aligned}
& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots \\
& 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots \\
& 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots
\end{aligned}
$$

然而它们之间实际上有本质差异，这是下一小节要讨论的内容．

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