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莱布尼兹 Leibniz 交错型级数

##  Leibniz 型交错级数
首先介绍在任意项级数中的一类具有特殊形状的收敛级数——Leibniz 型级数．它可以说是与保号级数相反的一类常见的无穷级数，例如以下两个有名的无穷级数都是 Leibniz 型级数：

$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots=\ln 2 \\
& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{2 n-1}+\cdots=\frac{\pi}{4}
\end{aligned}
$$

**定义** 称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为 Leibniz 型级数，如果满足以下 3 个条件：
（1）$u_n=(-1)^{n-1} b_n$ ，其中 $b_n>0$ ；
（2）$\left\{b_n\right\}$ 为单调减少数列；
（3） $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=0$ ．

注 满足条件（1）的级数称为**交错级数**．它是一种特殊类型的变号级数．为方便起见设第一项大于 0 。后两个条件可合并写为 $b_n \downarrow 0$ ，或者 $\left|u_n\right| \downarrow 0$ 。因此 Leibniz型级数就是通项绝对值单调趋于 0 的交错级数．

**定理** Leibniz 型级数一定收敛．
证 记级数的部分和数列为 $\left\{S_n\right\}$ ，并考察其中由偶数项 $S_{2 n}$ 组成的子列．从

$$
S_{2 n}=\left(b_1-b_2\right)+\left(b_3-b_4\right)+\cdots+\left(b_{2 n-1}-b_{2 n}\right),
$$

利用 $b_n \downarrow$ 可见有 $S_{2 n+2}=S_{2 n}+\left(b_{2 n+1}-b_{2 n+2}\right) \geqslant S_{2 n}$ ，因此数列 $\left\{S_{2 n}\right\}$ 是单调增加数列．

另一方面，从

$$
S_{2 n}=b_1-\left(b_2-b_3\right)-\cdots-\left(b_{2 n-2}-b_{2 n-1}\right)-b_{2 n} \leqslant b_1
$$

可见数列 $\left\{S_{2 n}\right\}$ 有上界．应用单调有界数列收敛定理，$\left\{S_{2 n}\right\}$ 收敛．记其极限为 $b$ ，就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=b$ ．

现在再考察数列 $\left\{S_n\right\}$ 中由奇数项构成的子列．这时有

$$
S_{2 n-1}=S_{2 n}-b_{2 n}
$$

从 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=0$ 可见也有 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{2 n}=0$ ，因此又得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=b$ ．合并以上就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=b$ ．

注 从上面的证明可见有 $b \leqslant b_1$ ．同理可知 Leibniz 型级数的余项的绝对值一定不超过余项的第一项的绝对值．这对于误差估计是非常方便有用的．

下面是几个常见的 Leibniz 型级数：

$$
\begin{aligned}
& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots \\
& 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots \\
& 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots
\end{aligned}
$$

然而它们之间实际上有本质差异，这是下一小节要讨论的内容．

## 例题

`例`证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\sqrt{n^2+1} \pi\right)$ 收敛。
证 易知

$$
\sin \left(\sqrt{n^2+1} \pi\right)=(-1)^n \sin \left(\sqrt{n^2+1}-n\right) \pi=(-1)^n \sin \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n} .
$$

显然 $\left\{\sin \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\right\}$ 是单调减少数列，且

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}=0,
$$

所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\sqrt{n^2+1} \pi\right)$ 是 Leibniz 级数．由定理 可知它是收敛的．

`例`交错级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}-\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}+\cdots \quad(p>0)
$$

是收敛的．
事实上，$u_n=\frac{1}{n^p}>\frac{1}{(n+1)^p}=u_{n+1}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^p}=0$ 。满足定理1中的两个条件，所以它是收敛的．

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