最后更新: 2025-03-16 10:37 查看: 97 次反馈刷题

绝对收敛与条件收敛

## 14.3.2 绝对收敛与条件收敛
研究发现，收玫级数可以分为两类，它们具有完全不同的性质．为此需要先建立一个基本结论。

定理 14.3 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 收玫，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 一定收敛．
证 从条件知，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N, \forall p \in N :\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_{n+p}\right|<\varepsilon$ ．因此也有

$$
\left|u_{n+1}+\cdots+u_{n+p}\right| \leqslant\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_{n+p}\right|<\varepsilon,
$$

从而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收玫．
在上述定理的基础上给出两类收玫级数的定义．
定义 14.3 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 收玫，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为绝对收敛级数；若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收玫，但 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 发散，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为条件收玫级数．

显然，对于保号或至少从某一项开始后保号的级数来说，收玫和绝对收玫是等价的．因此条件收玫的级数只能到变号级数中去找．

例如，从 $p$ 级数的知识可知，上一小节最后的 3 个 Leibniz 级数中，前两个就是条件收玫级数，但第三个则是绝对收玫级数．

下面列表说明在 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 之间，从收玫和发散来看，只有三种可能：
  ![图片](/uploads/2025-02/d7bf44.jpg)

下面的定理指出了两种收玫级数的本质差异．

定理 14.4 对于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 定义两个非负项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{+}$和 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-}$，其通项为：

$$
a_n^{+}=\max \left\{a_n, 0\right\}=\left\{\begin{array}{rl}
a_n, & a_n \geqslant 0, \\
0, & a_n<0 ;
\end{array} \quad a_n^{-}=-\min \left\{a_n, 0\right\}=\left\{\begin{aligned}
0, & a_n \geqslant 0, \\
-a_n, & a_n<0 .
\end{aligned}\right.\right.
$$

则有：
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛的充分必要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{+}$和 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-}$都收敛；
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收玫，则同时有 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{+}=+\infty$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-}=+\infty$ ．
证 除了级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 之外，再引进 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|, \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{+}$和 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-}$三个非负项级数的部分和数列，即对 $\forall n$ 令

$$
S_n^{\prime}=\sum_{k=1}^n\left|a_k\right|, \quad S_n^{+}=\sum_{k=1}^n a_k^{+}, \quad S_n^{-}=\sum_{k=1}^n a_k^{-},
$$

则有以下关系：

$$
S_n=S_n^{+}-S_n^{-}, \quad S_n^{\prime}=S_n^{+}+S_n^{-} .
$$

此外还有不等式关系 $0 \leqslant S_n^{+} \leqslant S_n^{\prime}, 0 \leqslant S_n^{-} \leqslant S_n^{\prime}$ 成立．

由此可见，当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收玫时，两个新的非负项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{+}$和 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-}$都收玫，反之也成立．

当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收玫时，即是 $\left\{S_n\right\}$ 收玫，$S_n^{\prime} \uparrow+\infty$ ，于是可以从

$$
S_n^{+}=\frac{1}{2}\left(S_n^{\prime}+S_n\right), \quad S_n^{-}=\frac{1}{2}\left(S_n^{\prime}-S_n\right)
$$

直接看出 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{+}=+\infty$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{-}=+\infty$ ．
注 写出

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_n^{+}-S_n^{-}\right)
$$

可以看到，对于条件收玫级数，右边出现 $\infty-\infty$ 型的不定式，而极限为有限数．
下面的问题是如何判定任意项级数的玫散性．若给定的级数绝对收玫，则可以对每一项取绝对值后用上一节中的非负项级数的玫散性判别法去讨论．反之，若给定的级数为条件收玫，则 $\S 14.2$ ． 1 的比较判别法和 $\S 14.2 .5$ 的 Cauchy 积分判别法当然无法应用．下面一个例子则指出，对于任意项级数，$\S 14.2 .2$ 中的等价量判别法也是不能用的。

例题 14.13 讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)$ 的玫散性．
解 将上述级数的通项记为 $a_n$ ，则有等价关系 $a_n \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 成立．由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 与 Leibniz 型级数只差一个符号，因此收玫．但可以证明本题的级数实际上发散．因此等价量判别法在这里是不能应用的．

由于通项 $a_n$ 明显为两项之和，因此只要分别讨论两个级数即可。
第一个级数就是 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ ，已知收敛．
第二个级数就是 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ，当然发散．合并以上可知本题的级数发散．
再回顾 $\S 14.2 .3$ 和 $\S 14.2 .4$ 中的比值判别法和根值判别法，由于要取绝对值来做，因此不可能用于判定一个条件收玫级数的收玫性．但这里有一个例外，即当这两个判别法中的 $l>1$ 时，却可以判定一个任意项级数发散．这是因为从 $l>1$ 可以推出级数的通项不趋于 0 ，这对于任意项级数也是成立的．

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