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级数收敛的阿贝尔-狄利克雷 Abel－Dirichlet 判别法

## 14.3.3  级数收敛的 Abel－Dirichlet 判别法

### 一．Abel 不等式
回顾 §10．3．4 中的 Abel 变换，即有

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n a_i b_i & =\sum_{i=1}^n b_i\left(S_i-S_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^n b_i S_i-\sum_{i=1}^{n-1} b_{i+1} S_i \\
& =b_n S_n+\sum_{i=1}^{n-1}\left(b_i-b_{i+1}\right) S_i
\end{aligned}
$$

其中 $S_0=0, S_k=\sum_{i=1}^k a_i, k=1, \cdots, n$ ．
下面将利用 Abel 变换证明 Abel 不等式，然后用它推出两个新的判别法．
定理14．5（Abel 不等式）设给定 $\left\{a_k\right\}_{1 \leqslant k \leqslant n}$ 与 $\left\{b_k\right\}_{1 \leqslant k \leqslant n}$ ，其中 $\left\{b_k\right\}_{1 \leqslant k \leqslant n}$单调，则成立不等式

$$
\left|a_1 b_1+\cdots+a_n b_n\right| \leqslant\left(\left|b_1\right|+\left|b_n\right|\right) \max _{1 \leqslant l \leqslant m \leqslant n}\left|a_l+\cdots+a_m\right| .
$$

证 分几种情况．
（i）设 $\left\{b_k\right\}_{1 \leqslant k \leqslant n}$ 单调减少且非负，记 $S_k=a_1+\cdots+a_k, k=1, \cdots, n$ ， $M=\max _{1 \leqslant l \leqslant m \leqslant n}\left|a_l+\cdots+a_m\right|$ ，则有不等式

$$
-M \leqslant S_k \leqslant M \quad \forall k=1, \cdots, n
$$

对上述不等式分别乘以 $\left(b_1-b_2\right), \cdots,\left(b_{n-1}-b_n\right), b_n$ 并相加，由于这些数都是非负的，因此不等式的方向不会改变．这时从 Abel 变换知道不等式的中间部分就是 $a_1 b_1+\cdots+a_n b_n$ ，从而得到

$$
-M b_1 \leqslant a_1 b_1+\cdots+a_n b_n \leqslant M b_1
$$

即得到

$$
\left|a_1 b_1+\cdots+a_n b_n\right| \leqslant M b_1\left(=M\left|b_1\right|\right)
$$

（ii）设 $\left\{b_k\right\}_{1 \leqslant k \leqslant n}$ 单调减少，且 $b_1 \geqslant \cdots \geqslant b_k \geqslant 0 \geqslant b_{k+1} \geqslant \cdots \geqslant b_n$ ，则有

$$
\begin{aligned}
\left|a_1 b_1+\cdots+a_n b_n\right| & \leqslant\left|a_1 b_1+\cdots+a_k b_k\right|+\left|a_n\left(-b_n\right)+\cdots+a_{k+1}\left(-b_{k+1}\right)\right| \\
& \leqslant M\left(\left|b_1\right|+\left|b_n\right|\right) .
\end{aligned}
$$

（iii）$\left\{b_k\right\}_{1 \leqslant k \leqslant n}$ 单调增加，则将顺序颠倒即可．

### 二．Abel－Dirichlet 判别法
这是两个比较精细的判别法．它们依赖于将级数的通项作适当的分解．由于它们的条件相近，证明也类似，我们将它们放在一起来证明．但在具体使用时还是需要搞清楚每一个判别法的确切条件，以及到底是用哪一个判别法．

注 这里可以参见 §11．3．2，即广义积分的 Abel－Dirichlet 判别法．证明它们的工具是积分第二中值定理。而这个定理也是以 Abel 定理为基础的（见 §10．3．4

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