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收敛级数的性质

## 14.4  收敛级数的性质
从 §2．1．6 开始引入的无穷级数是对于有限项求和的推广．本节的问题是：有限项求和所满足的基本性质，如结合律，交换律与乘法分配律等 ${ }^{(1)}$ ，是否可以推广到无限项求和中．将会看到这与级数的收敛以及是哪一种收敛有密切联系。

14．4．1 加法结合律
这里的结合就是加括号．对于有限项求和结合律总是成立的，这保证了任意有限项的和在不加括号时有确定的意义，同时加括号也为计算提供了方便．然而无限项求和却并非如此。

下面是历史上的著名例子．它表明在无限项求和中括号不是可以随意加的．
例题14．19 下面的等式成立：

$$
(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots=0
$$

其中的无穷级数每项为 0 ，它的和当然为 0 ．但若将左边去掉括号后，则为级数：

$$
1-1+1-1+1-1+\cdots
$$

它的通项为 $(-1)^{n-1}$ ，显然发散．
这个问题为下列定理解决．它表明对于收玫级数来说，结合律成立．
定理 14.6 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收玫，则任意加括号后的级数：

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1+a_2+\cdots+a_{n_1}\right)+\left(a_{n_1+1}+\cdots+a_{n_2}\right)+\cdots \\
& \quad+\left(a_{n_k+1}+a_{n_k+2}+\cdots+a_{n_{k+1}}\right)+\cdots
\end{aligned}
$$

$\left(1 \leqslant n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots\right)$ 也收玫，且其和不变．
证 先将加括号后得到的级数记为 $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ ，其中 $\left(n_0=0\right): b_k=a_{n_{k-1}+1}+$ $a_{n_{k-1}+2}+\cdots+a_{n_k} \forall k$ ．

记原级数的部分和数列为 $\left\{S_n\right\}$ ，又记加括号后的上述级数的部分和数列为 $\left\{\sigma_k\right\}$ ，则就有

$$
\sigma_k=b_1+\cdots+b_k=a_1+a_2+\cdots+a_{n_k}=S_{n_k}
$$

因此 $\left\{\sigma_k\right\}$ 是 $\left\{S_n\right\}$ 的子列，可见结论成立（参见定理 2．25）．
这个看似平凡的结论经常有用．下面的例子就是如此．

例题 14.20 证明下列级数发散：

$$
\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\cdots \frac{1}{\sqrt{n}-1}-\frac{1}{\sqrt{n}+1}+\cdots
$$

证 利用 $\frac{1}{\sqrt{n}-1}-\frac{1}{\sqrt{n}+1}=\frac{2}{n-1}$ 可见，若从头开始每两项加括号，则就得到发散级数．用定理 14.6 的逆否命题，可见原来的级数一定发散．

注 回顾第一册中关于调和级数发散的第一个证明（即例题 2．32），现在可以理解为定理 14.6 的一次应用．这就是将调和级数加括号如下：

$$
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^k}\right)+\cdots
$$
使每个括号内的和大于 $\frac{1}{2}$ ，因此级数发散，从而原来的调和级数也只能是发散的。

用加括号的方法有时也可用于证明某些级数收玫，其理由见下一个例题．
例题14．21 设对 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 加括号得到 $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ ，其中 $b_k=a_{n_{k-1}+1}+a_{n_{k-1}+2}+$ $\cdots+a_{n_k} \forall k$ ，下标 $n_0=0<n_1<\cdots<n_k<\cdots$ ，若级数 $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ 收敛，且每个 $b_k$中的项 $a_{n_{k-1}+1}, a_{n_{k-1}+2}, \cdots, a_{n_k}$ 同号，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收玫．

证 记级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的部分和数列为 $\left\{S_n\right\}$ ，则加括号后的级数 $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ 的部分和数列为 $\left\{S_{n_k}\right\}$ ．设 $\lim _{k \rightarrow \infty} S_{n_k}=S$ ，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists K, \forall k \geqslant K:\left|S_{n_k}-S\right|<\varepsilon$ 。令 $n_K=N$ ，则对 $\forall n>N$ ，存在 $k \geqslant K$ ，使得 $n_k+1 \leqslant n \leqslant n_{k+1}$ ．由于 $a_{n_k+1},

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