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级数的相乘

## 14.4.3 级数的相乘
所谓两个收玫级数相乘，当然不是说将它们的和相乘，而是说能否将两个有限和相乘的规则（也就是分配律）推广到无限项求和的情况．具体来说，就是如何将有限项之和的乘积推广到两个无穷级数相乘的问题。对于有限项之和的乘积来说，例如 $\left(a_1+\cdots+a_m\right)\left(b_1+\cdots+b_n\right)$ ，利用算术运算的结合律，交换律和分配律，这 $m n$项 $a_i b_j$ 的求和顺序怎么做都可以．但对于无穷级数相乘来说，问题就要复杂得多．

设有两个收玫级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=A$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n=B$ ，则问题就是要考虑如何将所有 $a_i b_j$ 形式的项相加．这当然是一个无穷级数，其中涉及到求和的顺序问题，级数的收玫问题，以及收玫时的和是否等于 $A \cdot B$ 的问题．为清楚起见下面将所讨论的上述级数称为乘积级数．
如图 14.2 所示，将所有 $a_i b_j$ 按照无限阶矩阵（矩阵就是表）的方式列出，然后问题就是按照什么样的顺序将它们求和。

在图14．2中列出了最常用的两种求和方式．分图（a）中的方式可以称为正方形方式，即乘积级数的每一个部分和恰好是表中的一个正方形内的所有项，即 $\left(a_1+\cdots+a_n\right)\left(b_1+\cdots+b_n\right)$ 。分图（b）中的方式可以称为对角线方式，这时的乘积级数中的每一个部分和恰好是表中由对角线组成的一个三角形内的所有项，即 $\sum_{i+j \leqslant n} a_i b_j=\sum_{k=1}^n \sum_{i+j=k} a_i b_j$.
 ![图片](/uploads/2025-02/c3cf66.jpg)
 
 当两个级数都是绝对收玫时，它们的乘积是最容易处理的．这就是下面的定理．
定理 14.9 （级数乘积的 Cauchy 定理）设两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均为绝对收玫，它们的和分别为 $A$ 与 $B$ ，则按任何方式将所有 $a_i b_j$ 相加得到的乘积级数也是绝对收敛的，且以 $A \cdot B$ 为其和。

证 设以某种方式将所有 $a_i b_j$ 的项相加的无穷级数记为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{i(n)} b_{j(n)}$ ，其中下标 $i(n)$ 与 $j(n)$ 用以标记这个级数中的第 $n$ 项的两个因子在级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$中的位置．

从绝对收玫条件可知存在 $M>0$ ，使得 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right| \leqslant M, \sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right| \leqslant M$ 成立．任取正整数 $N$ ，记 $a_{i(n)} b_{j(n)}, n=1, \cdots, N$ 中所有下标的最大值为 $N^{\prime}$ ，就有

$$
\sum_{n=1}^N\left|a_{i(n)} b_{j(n)}\right| \leqslant\left(\sum_{n=1}^{N^{\prime}}\left|a_n\right|\right)\left(\sum_{n

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