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无穷乘积

## 14.5 无穷乘积
无穷乘积与无穷级数都可以看成是数列极限理论的进一步发展．另一方面，无穷级数可看成是有限项求和的推广，而无穷乘积则可看成是有限项相乘的推广，因此有许多相似之处，而且可以利用级数已有的成果。

14．5．1 无穷乘积
回顾数列与无穷级数的关系，将数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项写成为

$$
x_n=\left(x_n-x_{n-1}\right)+\left(x_{n-1}-x_{n-2}\right)+\cdots+\left(x_2-x_1\right)+x_1,
$$

令 $u_1=x_1, u_k=x_{k-1}-x_k \forall k \geqslant 2$ ，这样就有 $x_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$ ．于是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的收玫问题就归之于无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ 的收玫问题了．当然在研究数列时我们也经常关心数列的后项与前项之差，特别由此可以判定数列是否单调．只是将数列问题转化为无穷级数之后则带来了极其丰富的成果，远远超出了第二章的范围。

类似地，在数列的每一项都不是 0 的前提下，可以将 $\left\{x_n\right\}$ 的通项如下改写：

$$
x_n=\left(\frac{x_n}{x_{n-1}}\right) \cdot\left(\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}}\right) \cdots\left(\frac{x_2}{x_1}\right) \cdot x_1
$$

然后令 $p_1=x_1, p_k=\frac{x_k}{x_{k-1}} \forall k \geqslant 2$ ，这样就可以将数列收玫问题转化为无穷乘积 $\prod_{n=1}^{\infty} p_n$ 的收玫问题．当然在第二章中我们有时也研究数列的后项与前项之比，这有助于判定数列是否单调，此外还可能得出其他结果．但无穷乘积则是这种方法的系
统化．
这里需要指出两点：（1）若乘积中有一个因子为 0 ，则乘积为 $0 ;(2)$ 若乘积中的每一个因子都大于 0 ，则可以取对数而将问题归之于无穷级数去研究．

于是称

$$
p_1 \cdot p_2 \cdots p_n \cdots=\prod_{n=1}^{\infty} p_n
$$

为无穷乘积．实际上这样的例子在本书前面已多次出现．
最早的数列例题中就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} r^n$（例题 2．3），它就是 $p_n=r \forall n$ 的无穷乘积．又如 $\S 2.2$ 的练习题 15 的（1），（7），（8）小题都是无穷乘积问题．其中之（1）就是

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)
$$

即是 $p_n=1-\frac{1}{n^2} \forall n$ 的无穷乘积 $\prod_{n=2}^{\infty} p_n$ ．
再回顾 Wallis 公式（见 §12．6．1 中的（12．18）及其几个等价形式），这就是

$$
\lim _{n \rightarrow \

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