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Abel 变换与积分第二中值定理

## 10.3.4 Abel 变换与积分第二中值定理
Abel 变换是用于有限和式 $\sum_{i=1}^n a_i b_i$ 的变换技巧．它在数学分析中的有关问题中起重要作用．

令 $S_0=0, S_k=\sum_{i=1}^k a_i, k=1, \cdots, n$ ，则就可以作 Abel 变换如下：

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n a_i b_i & =\sum_{i=1}^n b_i\left(S_i-S_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^n b_i S_i-\sum_{i=1}^{n-1} b_{i+1} S_i \\
& =b_n S_n+\sum_{i=1}^{n-1}\left(b_i-b_{i+1}\right) S_i
\end{aligned}
$$

在图 10.10 中对于 $n=4$ ，在 $a_i, b_i(i=1,2,3,4)$ 都是正数，且有 $b_1>b_2>b_3>$ $b_4>0$ 的附加条件下，作出了 Abel 变换的示意图．它表明 Abel 变换在这里相当于
 ![图片](/uploads/2025-02/41d2c6.jpg)
 将分图（a）中的 4 个矩形面积之和 $\sum_{i=1}^4 a_i b_i$ 变换为分图（b）中的新的 4 个矩形面积之和，即不同的求和方式．当然图中的附加条件对 Abel 变换本身是不必要的．

以 Abel 变换为工具可以如下证明积分学中的第二个中值定理．
定理 10.13 （积分第二中值定理）设 $a<b$ ，在 $[a, b]$ 上 $f$ 单调，$g$ 可积，则存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得成立

$$
\int_a^b f(x) g(x) d x=f(a) \int_a^{\xi} g(x) d x+f(b) \int_{\xi}^b g(x) d x
$$

证 先讨论一种较简单的情况．这就是 $f$ 在 $[a, b]$ 上为单调减少的非负函数．这时可以证明存在 $\xi \in[a, b]$ ，使成立

$$
\int_a^b f(x) g(x) d x=f(a) \int_a^{\xi} g(x) d x
$$

取分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，将上式左边的积分改写如下：

$$
I=\int_a^b f(x) g(x) d x=\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) g(x) d x
$$

$$
=\sum_{i=1}^n f\left(x_{i-1}\right) \int_{x_{i-1}}^{x_i} g(x) d x+\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i}\left[f(x)-f\left(x_{i-1}\right)\right] g(x) d x .
$$

为简明起见，将上式的两个和式分别记为 $\sum^{\prime}$ 和 $\sum^{\prime \prime}$ ，即有

$$
I=\sum^{\prime}+\sum^{\prime \prime}
$$

首先可以证明，第二个和式 $\sum^{\prime \prime}$ 当分划的细度趋于 0 时的极限为 0 。为此记 $M$是 $|g|$ 在 $[a, b]$ 上的一个上界，又记 $\omega_i$ 是 $f$ 在 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的振幅，则可以将第二个和式 $\sum^{\prime \prime}$ 的绝对值估计如下：

$$
\left|\sum^{\prime \prime}\right| \leqslant \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i}\left|f(x)-f\left(x_{i-1}\right)\right| \cdot|g(x)| d x \leqslant M \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i
$$

这样就得到 $\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum^{\prime \prime}=0$ 。
由此可见积分 $I=\sum^{\prime}+\sum^{\prime \prime}$ 的主要部分是第一个和式，且已经得到

$$
\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum^{\prime}=I
$$

为了对 $\sum^{\prime}$ 用 Abel 变换，引入函数 $G(x)=\int_a^x g(t) d t$ ，并将 $\sum^{\prime}$ 改写如下：

$$
\sum^{\prime}=\sum_{i=1}^n f\left(x_{i-1}\right)\left[G\left(x_i\right)-G\left(x_{i-1}\right)\right]
$$

对此和式用 Abel 变换（10．7），注意到 $G(a)=0$ ，就得到

$$
\begin{aligned}
\sum^{\prime} & =\sum_{i=1}^n f\left(x_{i-1}\right)\left[G\left(x_i\right)-G\left(x_{i-1}\right)\right]=\sum_{i=1}^n f\left(x_{i-1}\right) G\left(x_i\right)-\sum_{i=1}^{n-1} f\left(x_i\right) G\left(x_i\right) \\
& =f\left(x_{n-1}\right) G(b)+\sum_{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i-1}\right)-f\left(x_i\right)\right] G\left(x_i\right) .
\end{aligned}
$$

由定理 10.10 知道 $G \in C[a, b]$ ．记 $G$ 在 $[a, b]$ 上的最小数和最大数为 $m, M$ ，又利用 $f$ 非负单调减少，于是就有

$$
f\left(x_{n-1}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i-1}\right)-f\left(x_i\right)\right]=f(a),
$$

并得到下列估计：
$$
m f(a) \leqslant \sum^{\prime} \leqslant M f(a)
$$

最后令 $\|P\| \rightarrow 0$ 就得到

$$
m f(a) \leqslant I \leqslant M f(a)
$$

由此可见存在 $\mu \in[m, M]$ ，使得 $I=\mu f(a)$ ．由连续函数 $G$ 的介值性质，存在 $\xi \in[a, b]$ 使得 $\mu=G(\xi)$ ，最后得到所求证的（10．9）：

$$
I=f(a) G(\xi)=f(a) \int_a^{\xi} g(x) d x
$$

用类似的方法可以证明当 $f$ 为非负单调增加时，存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得代替 （10．9）成立

$$
\int_a^b f(x) g(x) d x=f(b) \int_{\xi}^b g(x) d x .
$$

最后回到一般情况，则当 $f$ 单调减少时，只要对 $f(x)-f(b)$ 用（10．9）即可得到所要求证的等式（10．8）：

$$
\begin{aligned}
\int_a^b f(x) g(x) d x & =\int_a^b[f(x)-f(b)] g(x) d x+f(b) \int_a^b g(x) d x \\
& =[f(a)-f(b)] \int_a^{\xi} g(x) d x+f(b) \int_a^b g(x) d x \\
& =f(a) \int_a^{\xi} g(x) d x+f(b) \int_{\xi}^b g(x) d x .
\end{aligned}
$$

对于 $f$ 单调增加，则可以对 $f(x)-f(a)$ 用（10．11）导出（10．8），从略．

注 从一般公式（10．8）出发，对于 $f$ 单调非负情况可以直接导出（10．9）或 （10．11）．例如对于 $f$ 单调减少且非负，则在 $f(b)>0$ 时可以重新定义 $f(b)=0$ ，这不影响积分值和 $f$ 非负单调减少的条件，因此就从（10．8）导出（10．9）。

由此可见，积分第二中值定理的一般形式（10．8）和加非负条件后的特殊形式 （10．9）或（10．11）都是等价的．

注意积分第二中值定理的一个特殊情况，设 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调减少非负，$g(x) \equiv 1$ ，这时（10．8）变为

$$
\int_a^b f(x) d=f(a) \int_a^{\xi} d x=f(a)(\xi-a)
$$

与积分第一中值定理的图 10.9 类似地可以作出右边的图 10．11，它表明存在一个 $\xi \in[a, b]$ ，使得以 $[a, \xi]$ 为底和以 $f(a)$ 为高的矩形面积恰好等于由 $[a, b]$ 上 $y=f(x)$ 生成的曲边梯形的面积．

![图片](/uploads/2025-02/ad7174.jpg)
  例题 10.24 证明不等式 $\frac{1}{ e } \leqslant \int_0^1 e ^{-x^2} \leqslant 1$ ．
证 在区间 $[0,1]$ 上成立 $e ^{-1} \leqslant e ^{-x^2} \leqslant 1$ ，对 $x$ 从 0 积分到 1 即得．
前面已知当 $a<b$ 时，非负可积函数 $f$ 的定积分 $\int_a^b f \geqslant 0$ ．下面给出该积分严格大于 0 的一个常用的充分条件．

例题10．25 设 $f$ 是 $[a, b]$ 上的非负可积函数，且至少在某一个连续点 $c$ 处有 $f(c)>0$ ，则 $\int_a^b f>0$ ．

证 先给出 $c$ 为 $[a, b]$ 的内点情况的证明．
从连续函数的局部保号性（定理 5．1），存在 $\delta>0$ ，使得 $O_\delta(c) \subset[a, b]$ ，且在此邻域上 $f(x) \geqslant \frac{f(c)}{2}$ ．然后就有

$$
\int_a^b f=\int_a^{c-\delta} f+\int_{c-\delta}^{c+\delta} f+\int_{c+\delta}^b f \geqslant \int_{c-\delta}^{c+\delta} \frac{f(c)}{2} d x=f(c) \delta>0
$$

其中用到积分对积分区间的可加性，将原来的积分拆成三个积分，然后分别用比较性质。

对于 $c=a$ 或 $c=b$ 的证明是类似的，从略．
下一个例题需要用到几乎处处连续函数和 Lebesgue 定理．

例题 10.26 设 $f$ 是 $[a, b]$ 上的非负可积函数，则积分 $\int_a^b f=0$ 的充要条件是 $f$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处等于零．

证 必要性 $(\Longrightarrow)$ 。由于 $f$ 处处非负，从积分 $\int_a^b f=0$ 和例题 10.25 可见 $f$ 在每个连续点处必须为 0 ．用 Lebesgue 定理知道 $f$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处连续，因此 $f(x)=0$ 几乎处处成立．

充分性 $(\Longleftarrow)$ 。对于每个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ 只取 $f$ 的连续点为介点，则 Riemann 和 $\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i=0$ ．由于 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积，因此令 $\|P\| \rightarrow 0$ 时这样的 Riemann 和的极限等于积分值 $\int_a^b f$ ，可见该积分等于 0 ．

注 在命题中 $f$ 的可积性是前提．注意：在一个区间上几乎处处等于零的函数可以是不可积的，例如 Dirichlet 函数；也可以是可积的，例如 Riemann 函数．它恰好就是满足例题中的全部条件而又在无限个点上不等于 0 的一个具体例子。

例题 10.27 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x=0$ ．
分析 这是数列极限问题，只不过数列的每一项都是积分。这个积分是可以计算出来的，但求出积分后再求极限也不见得方便。何况许多同类型问题中的积分根本积不出来。因此这里介绍求这类极限的新方法。

如右边的图 10.12 所示，当 $n$ 充分大时，在曲线 $\sin ^n x$ 下的曲边梯形面积趋于 0 。由于不论取多大的 $n$时该曲线总是经过点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ ，因此采取分而治之的方法．这就是用底边长度为一个小量 $\delta$ 和高为 1 的矩形覆盖 $\left[\frac{\pi}{2}-\delta, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的曲边梯形，这样的矩形面积只是 $\delta$ ．至于在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}-\delta\right]$ 上的余下部分是容易处理的。这样就可以对于 $n$ 充分大时的 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的曲边梯形面积作出有效的估计．
 ![图片](/uploads/2025-02/231bd1.jpg)
 
 证 对于给定的 $\varepsilon>0$ ，不妨取 $\delta=\min \left\{\frac{\varepsilon}{2}, \frac{\pi}{4}\right\}$ ，然后对积分作如下估计：

$$
\begin{aligned}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x & =\int_0^{\frac{\pi}{2}-\delta} \sin ^n x d x+\int_{\frac{\pi}{2}-\delta}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x \\
& \leqslant \frac{\pi}{2} \sin ^n\left(\frac{\pi}{2}-\delta\right)+\delta \leqslant \frac{\pi}{2} \cos ^n \delta+\frac{\varepsilon}{2}
\end{aligned}
$$

由于 $0<\cos \delta<1$ ，因此存在 $N$ ，只要 $n \geqslant N$ ，上式右边第一项就小于 $\varepsilon / 2$ ，因此也就使得 $0 \leqslant \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x<\varepsilon$ 。这就表明数列 $\left\{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x\right\}$ 的极限为 0 ．

下面是一个最常见的积分不等式，即 Cauchy－Schwarz－Buniankowski 不等式，今后称为 Schwarz 不等式。它在理论和应用方面都是重要的．它的离散情况就是 §1．5．2 中的 Cauchy 不等式。

对这个不等式我们举出几种证明方法。
例题 10.28 设 $f, g \in R[a, b], a \leqslant b$ ，证明：

$$
\left(\int_a^b f(x) g(x) d x\right)^2 \leqslant \int_a^b f^2(x) d x \cdot \int_a^b g^2(x) d x
$$

证 1 从 $f, g$ 可积知道 $f g, f^2, g^2$ 都可积．引入实参数 $\lambda$ ，则从 $a \leqslant b$ 和 $(\lambda f(x)-$ $g(x))^2 \geqslant 0 \forall x \in[a, b]$ 得到

$$
\int_a^b(\lambda f-g)^2=\lambda^2 \int_a^b f^2-2 \lambda \int_a^b f g+\int_a^b g^2 \geqslant 0
$$

若 $\int_a^b f^2=0$ ，则从例题 10.26 可见 $f$ 于 $[a, b]$ 上几乎处处为 0 ，从而 $f g$ 也是如此，且
也有 $\int_a^b f g=0$ ，因此所要求证的不等式已经成立．

若 $\int_a^b f^2 \neq 0$ ，则从关于 $\lambda$ 的二次三项式非负知道其判别式 $\Delta \leqslant 0$ ，这样就得到

$$
\left(\int_a^b f \cdot g\right)^2-\int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 \leqslant 0
$$

整理后就得到所要证的不等式。
证2（模仿定理1．8的证法）先写出对所有 $x, y \in[a, b]$ 都成立的不等式

$$
(f(x) g(y)-f(y) g(x))^2 \geqslant 0
$$

将 $x$ 看成自变量，$y$ 看成参数，将上式对于 $x$ 从 $a$ 积分到 $b$ ，得到

$$
g^2(y) \int_a^b f^2-2 f(y) g(y) \int_a^b f g+f^2(y) \int_a^b g^2 \geqslant 0
$$

再将上式对于 $y$ 从 $a$ 积分到 $b$ ，得到

$$
2 \int_a^b g^2 \int_a^b f^2-2\left(\int_a^b f g\right)^2 \geqslant 0
$$

整理即得．

注 下面来解决－Schwarz 不等式成立等号的充要条件．
设 $\int_a^b f^2>0$ ，若不等式成立等号，也就是证 1 中关于 $\lambda$ 的二次三项式的判别式等于 0 ，因此存在相等的实根，记为 $\lambda_0$ ，从而得到

$$
\int_a^b\left(\lambda_0 f-g\right)^2=0 .
$$

由于被积函数非负，而积分等于 0 ，因此由例题 10.26 知道 $\lambda_0 f-g$ 几乎处处等于 0 ．反之，这个条件对于 $\int_a^b\left(\lambda_0 f-g\right)^2=0$ 也是充分的．

以上是在 $\int_a^b f^2>0$ 时得到的条件．若 $\int_a^b g^2>0$ ，讨论是类似的。对于这两个积分都等于 0 的情况，就导致 $f, g$ 都是几乎处处为零的情况．总结起来就可见 Cauchy－Schwarz 积分不等式成立等号的必要条件是存在不同时等于 0 的两个常数 $\lambda, \mu$ ，使得 $\lambda f+\mu g$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处等于 0 ．反之可以看出这也是充分条件．

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