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数学分析
极限
日期:
2023-10-05 18:52
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极限
极限 (limit) 是在数学中广泛应用，用以定义许多其它数学中的概念的基本概念。 极限可用于定义函数的连续、微分和定积分等。 ## 定义 $\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$ ，若这个 $L$ 存在且为有限值，则说“当 $x$ 趋近于 $c$ 时， $f(x)$ 趋近于 $L ” ，$ 不然就说“当 $x$ 趋近于 $c$ 时， $f(x)$ 不趋近于 $L "$ 。 我们可将上述函数的极限定义如下: 对于任意的 $\varepsilon>0$ 而言，存在一个 $\delta>0$ ，使得当 $0<|x-c|<\delta$ 时， $|f(x)-L|<\varepsilon$. 以上的这种定义法可推广至任意度量空间上，度量空间的版本如下: 设 $f(x)$ 为一个从度量空间 $S$ 映至度量空间 $T$ 的函数，其中 $d_S$ 为 $S$ 的度量； $d_T$ 为 $T$ 的度量，那 $\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$ ， 意即对于任意的 $\varepsilon>0$ 而言，存在一个 $\delta>0$ ，使得每当 $0<d_S(x, c)<\delta$ 时， $d_T(f(x), L)<\varepsilon$.
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