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作为积分限函数的定积分

## 10.3.3 作为积分限函数的定积分
现在引入变动积分限，从而使得定积分成为积分限的函数。
设 $f \in R[a, b]$ ，则对于 $x \in[a, b]$ ，积分 $\int_a^x f(t) d t$ 总是有意义的。这样就得到以变动上限 $x$ 为自变量的一个新型的函数。同样可以引入以变动下限为自变量的函数 $\int_x^b f(t) d t$ 。这里要注意，当积分限为变量 $x$ 时，积分变量不能再用符号 $x$ ，而应当立即改用其他符号。

实际上这种做法在第九章一开始已经见到（参见图 9．1），即引入变量 $x$ 的面积函数 $S(x)$ ．

关于这类函数有两个基本结果．首先介绍下面的定理．

定理 10.10 若 $f \in R[a, b]$ ，则以下两个函数

$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t, \quad G(x)=\int_x^b f(t) d t
$$

都是 $[a, b]$ 上的连续函数．
证 从 $f \in R[a, b]$ 知道 $f$ 有界，即 $\exists M>0, \forall x \in[a, b]:|f(t)| \leqslant M$ ．于是当 $x, x+\Delta x \in[a, b]$ 时，就有

$$
\begin{aligned}
|F(x+\Delta x)-F(x)| & =\left|\int_a^{x+\Delta x} f(t) d t-\int_a^x f(t) d t\right|=\left|\int_x^{x+\Delta x} f(t) d t\right| \\
& \leqslant\left|\int_x^{x+\Delta x}\right| f(t)|d t| \leqslant M|\Delta x|
\end{aligned}
$$

可见 $F$ 在 $[a, b]$ 上处处连续．对函数 $G$ 可作同样推导，或者将它写为

$$
G(x)=\int_x^b f(t) d t=-\int_b^x f(t) d t
$$

从而可以不必再讨论。
注 从 $|F(x+\Delta x)-F(x)| \leqslant M|\Delta x|$ 可见，定积分作为变动积分限的函数，$F$和 $G$ 不仅是连续函数，而且具有更好的性质，即是满足 Lipschitz 条件的函数。（参见 $\S 5.2$ 的习题 19 与例题 7．12．）

下面是定积分作为变动积分限的函数的第二个基本结果。它与前面的微积分基本定理（即定理10．2）一样，揭示出求导运算和积分运算之间的互逆关系，因此也称为微分形式的微积分基本定理。为了区分起见，可以将前面的定理 10.2 称为积分形式的微积分基本定理．

定理 10.11 （**微分形式的微积分基本定理**）设 $f \in R[a, b], F(x)=\int_a^x f(t) d t$ ， $a \leqslant x \leqslant b$ ，且 $f$ 于点 $x_0 \in[a, b]$ 处连续，则有

$$
F^{\prime}\left(x_0\right)=\left.\left(\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d t\right)\right|_{x=x_0}=f\left(x_0\right)
$$

证 由于 $f$ 于点 $x_0$ 连续，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in O_\delta\left(x_0\right) \cap[a, b]$ ，成立

$$
\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon
$$

于是就有

$$
\begin{aligned}
\left|\frac{F(x)-F\left(x_0\right)}{x-x_0}-f\left(x_0\right)\right| & =\left|\frac{1}{\Delta x}\left(\int_a^x f(t) d t-\int_a^{x_0} f(t) d t\right)-f\left(x_0\right)\right| \\
& =\left|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^x\left(f(t)-f\left(x_0\right)\right) d t\right| \\
& \leqslant\left|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^x\right| f(t)-f\left(x_0\right)|d t|<\varepsilon
\end{aligned}
$$

这就证明了 $F^{\prime}\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$ ．
注 若 $f \in C[a, b]$ ，则 $F$ 在 $[a, b]$ 上可导，且有

$$
\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d t=f(x)
$$

这里的求导法则非常简单，就是只要将上限的 $x$ 代入被积函数即可．
上述结果容易推广到对变动的下限求导，得到以下求导法则：

$$
\frac{d}{d x} \int_x^b f(t) d t=-\frac{d}{d x} \int_b^x f(t) d t=-f(x)
$$

这里假定 $f$ 在点 $x$ 连续。
进一步可以将以上求导公式推广到积分上下限是 $x$ 的可微函数的情况．
设 $f \in C[a, b], \alpha(x), \beta(x)$ 都是可微函数，它们的值域不越出 $[a, b]$ ，则可以取定点 $c \in[a, b]$ ，并用复合函数求导公式（即链式法则）就有

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t) d t & =\frac{d}{d x}\left(\int_{\alpha(x)}^c f(t) d t+\int_c^{\beta(x)} f(t) d t\right) \\
& =-f(\alpha(x)) \alpha^{\prime}(x)+f(\beta(x)) \beta^{\prime}(x)
\end{aligned}
$$

现在我们可以叙述并证明最主要的一个原函数存在定理，这是第九章一开始遗留下来的问题。

定理 10.12 （**连续函数的原函数存在定理**）设 $I$ 是区间，$f \in C(I)$ ，则 $f$ 在区间 $I$ 上存在原函数，也就是存在不定积分 $\int f(x) d x$ ．

证 任取一点 $x_0 \in I$ ，定义

$$
F(x)=\int_{x_0}^x f(t) d t \forall x \in I
$$

从前两个定理可知 $F \in C(I)$ ，且有 $F^{\prime}(x)=f(x) \forall x \in I$ ，因此 $F$ 就是 $f$ 在区间 $I$上的一个原函数，从而不定积分 $\int f(x) d x$ 存在，且可以写出

$$
\int f(x) d x=\int_{x_0}^x f(t) d t+C .
$$

例题 10.21 设 $F(x)=\int_0^x \sin \frac{1}{t} d t$ ，在 $x \neq 0$ 时求 $F^{\prime}(x)$ ．
解 由于 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x \neq 0$ 时连续，因此可用定理 10.11 提供的求导法则得到

$$
F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_0^x \sin \frac{1}{t} d t=\sin \frac{1}{x} .
$$

注 由于 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 时有第二类间断，因此不能用本小节的定理来求 $F^{\prime}(0)$ 。但这并不是说 $F$ 在 $x=0$ 一定不存在导数。实际上本题的函数 $F$ 在 $x=0$处可导，它的计算将在后面的例题 10.30 中解决．

例题 10.22 计算下列变积分限函数的导数：

$$
\begin{aligned}
\left(\int_{e^x}^{x^2} \frac{d t}{\left(1+t^2\right)^2}\right)_x^{\prime} & =\left.\frac{1}{\left(1+t^2\right)^2}\right|_{t=x^2} \cdot\left(x^2\right)^{\prime}-\left.\frac{1}{\left(1+t^2\right)^2}\right|_{t=e^x} \cdot\left(e^x\right)^{\prime} \\
& =\frac{2 x}{\left(1+x^4\right)^2}-\frac{e^x}{\left(1+e^{2 x}\right)^2}
\end{aligned}
$$
例题 10.23 计算极限

$$
I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{1 / x}^1 \frac{\cos 2 t}{4 t^2} d t
$$

解 这是 $\frac{*}{\infty}$ 型的极限问题，用 L＇Hospital 法则可计算如下：

$$
I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\int_{1 / x}^1 \frac{\cos 2 t}{4 t^2} d t\right)_x^{\prime}=-\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2}{4} \cdot \cos \frac{2}{x} \cdot\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\frac{1}{4}
$$

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