最后更新: 2025-03-16 09:32 查看: 241 次纠错评论(0) 课件开VIP

积分第一中值定理

## 10.3.2 积分第一中值定理
在积分学中有两个中值定理．先介绍第一个中值定理．
定理 10.9 （积分第一中值定理）设 $f, g \in R[a, b], g$ 在 $[a, b]$ 上不变号，$m \leqslant$ $f(x) \leqslant M \forall x \in[a, b]$ ，则存在 $\mu \in[m, M]$ ，成立

$$
\int_a^b f g=\mu \int_a^b g
$$

特别当 $f \in C[a, b]$ 时，则存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得（10．5）成为

$$
\int_a^b f g=f(\xi) \int_a^b g
$$

证 只对于 $g(x) \geqslant 0 \forall x \in[a, b]$ 和 $a<b$ 的情况写出证明．这时从不等式 $m \leqslant f(x) \leqslant M \forall x \in[a, b]$ 出发就得到

$$
m g(x) \leqslant f(x) g(x) \leqslant M g(x) \forall x \in[a, b] .
$$

由于 $a<b$ ，对这个不等式从 $a$ 到 $b$ 积分，就得到

$$
m \int_a^b g \leqslant \int_a^b f g \leqslant M \int_a^b g
$$

若 $\int_a^b g=0$ ，则由上式可见也有 $\int_a^b f g=0$ ，于是（10．5）对任意 $\mu$ 成立．否则，令
$$
\mu=\frac{\int_a^b f g}{\int_a^b g}
$$

就可见 $m \leqslant \mu \leqslant M$ ，且使得（10．5）成立．
若 $f \in C[a, b]$ ，则可取 $m, M$ 为 $f$ 的最小值和最大值，且有 $f([a, b])=[m, M]$ ．因此从 $\mu \in[m, M]$ 可知存在 $\xi \in[a, b]$ ，使 $f(\xi)=\mu$ ，从而使（10．6）成立．

注1 由第七章知道在微分中值定理中有 $\xi \in(a, b)$ ，而上述积分中值定理在 $f$连续时在（10．6）中的 $\xi \in[a, b]$ 。实际上这里也可以改进为 $\xi \in(a, b)$ ，且不需要再增加条件．这个证明可参见［25］的例题10．2．2．

注2 对于积分第一中值定理需要强调指出，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上的保号条件是不能缺少的，否则公式（10．5）和（10．6）都可能不成立。为此举一个例子。在区间 $[-1,1]$ 上令 $f(x)=g(x)=x$ ，则 $(10.5)$（或 $(10.6))$ 的左边是

$$
\int_{-1}^1 x \cdot x d x=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-1} ^1=\frac{2}{3}
$$

但右边的积分却是 $\int_{-1}^1 x d x=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{-1} ^1=0$ ，因此等式不可能成立。问题就出在 $g(x)=x$ 在区间 $[-1,1]$ 上不是保号函数．

注意积分第一中值定理的一个特殊情况，即当 $g(x) \equiv 1$ 时，则 $(10.5)$ 成为

$$
\int_a^b f(x) d x=\mu(b-a)
$$

其中 $\mu \in[m, M]$ ；而当 $f \in C[a, b]$ 时则存在 $\xi \in[a, b],(10.6)$ 成为

$$
\int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a)
$$

我们称其中的 $f(\xi)$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的积分平均值．注意到积分就是一种求和，因此积分平均值的名称是合理的。它有明显的几何意义．如图 10.9 所示，由 $[a, b]$ 上的连续函数 $f$ 生成的曲边梯形的面积恰好等于以某点 $\xi$ 的函数值 $f(\xi)$ 为高的同底矩形的面积。

![图片](/uploads/2025-02/e272d2.jpg)

下面是利用积分第一中值定理估计积分的一个例子．
例题 $1 0 . 2 0$ 从积分第一中值定理知道存在 $\xi \in[0,2 \pi]$ ，使得成立

$$
I=\int_0^{2 \pi} \frac{\sin t}{t^2+4 \pi^2} d t=\sin \xi \int_0^{2 \pi} \frac{d t}{t^2+4 \pi^2}=\frac{1}{8} \sin \xi
$$

因此可知

$$
|I|=\left|\int_0^{2 \pi} \frac{\sin t}{t^2+4 \pi^2} d t\right| \leqslant \frac{1}{8}
$$

或者又可以如下给出更好一点的估计：

$$
|I| \leqslant \int_0^{2 \pi} \frac{|\sin x|}{t^2+4 \pi^2} d t \leqslant \frac{1}{4 \pi^2} \int_0^{2 \pi}|\sin t| d t=\frac{1}{\pi^2}
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：定积分的性质

下一篇：作为积分限函数的定积分

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)