最后更新: 2025-03-16 09:30 查看: 237 次纠错评论(0) 课件开VIP

定积分的性质

## 10.3 定积分的性质
今后为简明起见，在不发生混淆的情况下，常将 $\int_a^b f(x) d x$ 简记为 $\int_a^b f$ ．由于定积分只是一个数值，在其记号中用什么符号为积分变量是无关紧要的，例如

$$
\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(t) d t=\int_a^b f(s) d s
$$

总是成立的．在这一点上定积分与不定积分完全不同．函数 $f(x)$ 的原函数必须是 $x$的函数，不定积分中的每一个原函数当然也是如此．

## 10.3.1 基本运算性质
首先介绍关于积分的两个最为基本的性质：关于被积函数的线性性质和关于积分区间的可加性。

性质 1 （**积分的线性性质**）设 $f, g \in R[a, b]$ ，则对常数 $\alpha, \beta$ 有

$$
\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha \int_a^b f+\beta \int_a^b g
$$

证 这个性质源自于 Riemann 和的线性性质，即对于分划 $P$ 和与之相容的介点集 $\xi$ ，总是成立有

$$
\sum_{i=1}^n(\alpha f+\beta g)\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\alpha \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i+\beta \sum_{i=1}^n g\left(\xi_i\right) \Delta x_i,
$$

然后令 $\|P\| \rightarrow 0$ 即得．
性质 2 （**对于积分区间的可加性**）若 $f \in R[a, b]$ ，且 $c \in(a, b)$ ，则成立

$$
\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f
$$

证 从可积第二充要条件或 Lebesgue 定理都可以证明

$$
f \in R[a, b] \Longrightarrow f \in R[a, c], f \in R[c, b],
$$

细节请读者补充（即上一节的练习题 9．）
写出 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 和，而且要求分划 $P$ 必须含有 $c$ 为其分点，则从 $P$ 就分别生成 $f$ 在区间 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上的两个分划，记为 $P^{\prime}$ 和 $P^{\prime \prime}$ ．相应地可以将 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 和分拆为两项：

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\sum^{\prime} f\left(\xi_i\right) \Delta x_i+\sum^{\prime \prime} f\left(\xi_i\right) \Delta x_i
$$

其中 $\sum^{\prime}$ 与 $\sum^{\prime \prime}$ 分别为 $f$ 在区间 $[a, c],[c, b]$ 上与分划 $P^{\prime}, P^{\prime \prime}$ 对应的 Riemann 和．令 $\|P\| \rightarrow 0$ ，注意到这时也有 $\left\|P^{\prime}\right\| \rightarrow 0$ 和 $\left\|P^{\prime \prime}\right\| \rightarrow 0$ ，因此就得到所求的等式．

注 到此为止，在定积分记号 $\int_a^b f$ 中总假定 $a<b$ ．但今后会发现在许多场合中在 $a \geqslant b$ 的情况下使用记号 $\int_a^b f$ 是非常有用的，为此给出定义如下：

$$
\int_a^a f=0, \text { 在 } a>b \text { 时令 } \int_a^b f=-\int_b^a f \text {. }
$$

在有了这样的补充定义之后，性质 2 对于任何三点 $a, c, b$ 都成立，而不必一定要求 $a<c<b$ 。只是在性质2 中的条件应当修改为：$f$ 在最大可能的区间 $[\min \{a, b, c\}, \max \{a, b, c\}]$ 上可积．例如，若有 $a<b<c, f$ 在 $[a, c]$ 上可积，则根据性质2有

$$
\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f
$$

然后改写为与性质 2 的形式完全相似的等式：

$$
\int_a^b f=\int_a^c f-\int_b^c f=\int_a^c f+\int_c^b f
$$

以上两个简单性质在计算定积分时是常用的工具．
例题 10.17 求 $I=\int_0^1\left(x^2-\frac{1}{2} x+3\right) d x$ ．
解 此题也可以不用线性性质来做，但用了之后更为方便。因为我们不必去直接考虑被积多项式的原函数，而只需要分别三次求系数为 1 的单项式的原函数即可．这里的思维方式是不一样的：

$$
I=\int_0^1 x^2 d x-\frac{1}{2} \int_0^1 x d x+3 \int_0^1 d x=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+3=3 \frac{1}{12}
$$

例题 10.18 求由 $x= \pm 1, y=0$ 和 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x^2, & x \leqslant 0 \\ 1-x, & x>0\end{array}\right.$ 围成的曲边梯形的面积 $S$ ．

解 对分段定义函数用性质2是非常合适的：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{-1}^0\left(2-x^2\right) d x+\int_0^1(1-x) d x \\
& =\left.\left(2 x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{-1} ^0+\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|_0 ^1 \\
& =0-\left(-2+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2} \\
& =\frac{5}{3}+\frac{1}{2}=2 \frac{1}{6} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-03/10f881.jpg)
 
 例题 10.19 求 $I={ }_0^{\wedge 2 \pi}|\sin x| d x$ ．
解 将区间分拆为 $[0, \pi]$ 和 $[\pi, 2 \pi]$ 就可以克服绝

$$
I=\int_0^\pi \sin x d x+\int_\pi^{2 \pi}(-\sin x) d x=\left.(-\cos x)\right|_0 ^\pi+\left.(\cos x)\right|_\pi ^{2 \pi}=4
$$
 ![图片](/uploads/2025-03/3cd17f.jpg)
 
 注 利用对称性，从图 10.3 和图 10.8 就可见答案是 4 ．
性质3（**积分的比较性质**）设 $f, g \in R[a, b], a \leqslant b$ ，且在 $[a, b]$ 上处处成立 $g(x) \leqslant f(x)$ ，则成立 $\int_a^b g \leqslant \int_a^b f$ ．

证 写出 $f, g$ 的 Riemann 和，就有不等式 $\sum_{i=1}^n g\left(\xi_i\right) \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ ，注意其中两边是由相同的分划和介点集确定的 Riemann 和，再令 $\|P\| \rightarrow 0$ 即可．

注 这里 $a \leqslant b$ 是必须的．若 $a>b$ ，则不等式反向．为避免混淆起见，我们约定，今后在不附加说明时一般总认为定积分记号 $\int_a^b f$ 中成立 $a \leqslant b$ ．

推论 1 设 $f \in R[a, b]$ ，则成立

（若 $a<b$ ，则右边的外层绝对号是不必要的．）
证 利用不等式 $-|f(x)| \leqslant f(x) \leqslant|f(x)| \forall x \in[a, b]$ ，再用比较性质即可。
注 注意这里还用到一个基本事实，即在上一节的 Lebesgue 定理后的推论中的部分内容：

$$
f \in R[a, b] \Longrightarrow|f| \in R[a, b]
$$

此外，从 $|f| \in R[a, b]$ 一般不能推出 $f \in R[a, b]$ ．（这些都是上一节中的练习题．）

比较性质还广泛应用于积分估计．其中最为基本的估计如下：设 $a<b$ ，在 $[a, b]$上处处成立 $m \leqslant f(x) \leqslant M$ ，其中 $m, M$ 是两个常数，则就有

$$
m(b-a) \leqslant \int_a^b f \leqslant M(b-a) .
$$

特别当 $f$ 在 $[a, b]$ 上处处有 $f(x) \geqslant 0$ 时，即有 $\int_a^b f \geqslant 0$ ．
不难证明两个可积函数的乘积仍然可积．（这也是上面提到的推论中的内容，同时也已经列为上节的练习题．）此外，与此联系还有以下有用的结果。它表明在某些情况下可以使用比 Riemann 和更为一般的和式来求极限。

定理 10.8 若 $f, g \in R[a, b]$ ，且介点集 $\xi$ 和 $\xi^{\prime}$ 均与分划 $P$ 相容，则成立

$$
\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) g\left(\xi_k^{\prime}\right) \Delta x_k=\int_a^b f(x) g(x) d x
$$

证 由于 $f g \in R[a, b]$ ，为此只要证明上述和式与 $f g$ 的 Riemann 和的差当分划的细度趋于 0 时的极限为 0 即可．记 $M$ 是 $|f|$ 在 $[a, b]$ 上的上界，又记 $\omega_k$ 是 $g$ 在分划 $P$ 确定的子区间 $\left[x_{k-1}, x_k\right]$ 上的振幅，$k=1, \cdots, n$ ，则就有
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
\left|\sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) g\left(\xi_k^{\prime}\right) \Delta x_k-\sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) g\left(\xi_k\right) \Delta x_k\right| & \leqslant \sum_{k=1}^n\left|f\left(\xi_k\right)\right| \cdot\left|g\left(\xi_k^{\prime}\right)-g\left(\xi_k\right)\right| \Delta x_k \\
& \leqslant M \sum_{k=1}^n \omega_k \Delta x_k,
\end{aligned}\\
&\text { 由于 } g \in R[a, b] \text { ，令 }\|P\| \rightarrow 0 \text { 即可．}
\end{aligned}
$$

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