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定积分的性质

## 10.3 定积分的性质
今后为简明起见，在不发生混淆的情况下，常将 $\int_a^b f(x) d x$ 简记为 $\int_a^b f$ ．由于定积分只是一个数值，在其记号中用什么符号为积分变量是无关紧要的，例如

$$
\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(t) d t=\int_a^b f(s) d s
$$

总是成立的．在这一点上定积分与不定积分完全不同．函数 $f(x)$ 的原函数必须是 $x$的函数，不定积分中的每一个原函数当然也是如此．

## 10.3.1 基本运算性质
首先介绍关于积分的两个最为基本的性质：关于被积函数的线性性质和关于积分区间的可加性。

性质 1 （**积分的线性性质**）设 $f, g \in R[a, b]$ ，则对常数 $\alpha, \beta$ 有

$$
\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha \int_a^b f+\beta \int_a^b g
$$

证 这个性质源自于 Riemann 和的线性性质，即对于分划 $P$ 和与之相容的介点集 $\xi$ ，总是成立有

$$
\sum_{i=1}^n(\alpha f+\beta g)\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\alpha \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i+\beta \sum_{i=1}^n g\left(\xi_i\right) \Delta x_i,
$$

然后令 $\|P\| \rightarrow 0$ 即得．
性质 2 （**对于积分区间的可加性**）若 $f \in R[a, b]$ ，且 $c \in(a, b)$ ，则成立

$$
\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f
$$

证 从可积第二充要条件或 Lebesgue 定理都可以证明

$$
f \in R[a, b] \Longrightarrow f \in R[a, c], f \in R[c, b],
$$

细节请读者补充（即上一节的练习题 9．）
写出 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 和，而且要求分划 $P$ 必须含有 $c$ 为其分点，则从 $P$ 就分别生成 $f$ 在区间 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上的两个分划，记为 $P^{\prime}$ 和 $P^{\prime \prime}$ ．相应地可以将 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 和分拆为两项：

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\sum^{\prime} f\left(\xi_i\right) \Delta x_i+\sum^{\prime \prime} f\left(\xi_i\right) \Delta x_i
$$

其中 $\sum^{\prime}$ 与 $\sum^{\prime \prime}$ 分别为 $f$ 在区间 $[a, c],[c, b]$ 上与分划 $P^{\prime}, P^{\prime \prime}$ 对应的 Riemann 和．令 $\|P\| \rightarrow 0$ ，注意到这时也有 $\left\|P^{\prime}\right\| \rightarrow 0$ 和 $\left\|P^{\prime \prime}\right\| \rightarrow 0$ ，因此就得到所求的等式．

注 到此为止，在定积分记号

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