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勒贝格 Lebesgue 定理

## 10.2.4 Lebesgue 定理
Lebesgue 定理完全解决了什么样的函数才是 Riemann 可积函数的问题．在证明中的主要工具是第二章的有限覆盖定理（即 $\S 2.6$ 的定理 2.29 ）和连续性的第三定义（见第五章的定义5．1）。

有了 Lebesgue 定理之后，当然可立即推出有关可积函数类的前三个定理，而且还可以知道有无限多个间断点的非单调函数也可能 Riemann 可积．例如，Riemann函数（参见例题 3.9 和 5.9 ）就是如此．

定理 10.7 （Lebesgue 定理）$f \in R[a, b]$ 的充分必要条件是 $f$ 在 $[a, b]$ 上同时有界和几乎处处连续．

证 必要性 $(\Longrightarrow)$ ．设 $f \in R[a, b]$ ，则从定理 10.1 可知 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界．现在将 $f$ 在 $[a, b]$ 上的间断点全体所成集合记为 $D$ ，我们要证明 $D$ 为零测度集．

从定义 5.1 知道，每个间断点处 $f$ 的振幅大于 0 ．固定一个正数 $\delta>0$ ，考虑 $D$中振幅大于等于 $\delta$ 的间断点所成的子集，并记为

$$
D_\delta=\left\{x_0 \in D \mid \omega_f\left(x_0\right) \geqslant \delta\right\}
$$

对给定的 $\varepsilon>0$ ，从可积第二充要条件知道存在一个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，使得 $P$ 所对应的振幅面积

$$
\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\varepsilon \delta
$$

将 $n$ 个子区间按照 $f$ 的振幅大小分成 $\omega_i<\delta$ 和 $\omega_i \geqslant \delta$ 的两类，则有

$$
\delta \sum_{\omega_i \geqslant \delta} \Delta x_i \leqslant \sum_{\omega_i \geqslant \delta} \omega_i \Delta x_i<\varepsilon \delta
$$

由此可见 $\sum_{\omega_i \geqslant \delta} \Delta x_i<\varepsilon$ ，即振幅大于等于 $\delta$ 的子区间长度之和小于 $\varepsilon$ 。
对于每个点 $x_0 \in D_\delta$ ，在包含 $x_0$ 为内点的任何子区间上 $f$ 的振幅大于等于 $\delta$ 。因此 $D_\delta$ 中的点不可能是 $\omega_i<\delta$ 的子区间的内点，这样就只能有 ${ }^{(1)}$

$$
D_\delta \subset\left(\bigcup_{\omega_i \geqslant \delta}\left[x_{i-1}, x_i\right]\right) \bigcup\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}
$$

这样就得到对 $D_\delta$ 的覆盖（注意这里只用有限

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