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勒贝格 Lebesgue 定理

## 10.2.4 Lebesgue 定理
Lebesgue 定理完全解决了什么样的函数才是 Riemann 可积函数的问题．在证明中的主要工具是第二章的有限覆盖定理（即 $\S 2.6$ 的定理 2.29 ）和连续性的第三定义（见第五章的定义5．1）。

有了 Lebesgue 定理之后，当然可立即推出有关可积函数类的前三个定理，而且还可以知道有无限多个间断点的非单调函数也可能 Riemann 可积．例如，Riemann函数（参见例题 3.9 和 5.9 ）就是如此．

定理 10.7 （Lebesgue 定理）$f \in R[a, b]$ 的充分必要条件是 $f$ 在 $[a, b]$ 上同时有界和几乎处处连续．

证 必要性 $(\Longrightarrow)$ ．设 $f \in R[a, b]$ ，则从定理 10.1 可知 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界．现在将 $f$ 在 $[a, b]$ 上的间断点全体所成集合记为 $D$ ，我们要证明 $D$ 为零测度集．

从定义 5.1 知道，每个间断点处 $f$ 的振幅大于 0 ．固定一个正数 $\delta>0$ ，考虑 $D$中振幅大于等于 $\delta$ 的间断点所成的子集，并记为

$$
D_\delta=\left\{x_0 \in D \mid \omega_f\left(x_0\right) \geqslant \delta\right\}
$$

对给定的 $\varepsilon>0$ ，从可积第二充要条件知道存在一个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，使得 $P$ 所对应的振幅面积

$$
\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\varepsilon \delta
$$

将 $n$ 个子区间按照 $f$ 的振幅大小分成 $\omega_i<\delta$ 和 $\omega_i \geqslant \delta$ 的两类，则有

$$
\delta \sum_{\omega_i \geqslant \delta} \Delta x_i \leqslant \sum_{\omega_i \geqslant \delta} \omega_i \Delta x_i<\varepsilon \delta
$$

由此可见 $\sum_{\omega_i \geqslant \delta} \Delta x_i<\varepsilon$ ，即振幅大于等于 $\delta$ 的子区间长度之和小于 $\varepsilon$ 。
对于每个点 $x_0 \in D_\delta$ ，在包含 $x_0$ 为内点的任何子区间上 $f$ 的振幅大于等于 $\delta$ 。因此 $D_\delta$ 中的点不可能是 $\omega_i<\delta$ 的子区间的内点，这样就只能有 ${ }^{(1)}$

$$
D_\delta \subset\left(\bigcup_{\omega_i \geqslant \delta}\left[x_{i-1}, x_i\right]\right) \bigcup\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}
$$

这样就得到对 $D_\delta$ 的覆盖（注意这里只用有限个闭区间就覆盖了 $D_\delta$ ），其中区间的长度之和小于 $\varepsilon$ 。由于 $\varepsilon>0$ 可任意小，因此 $D_\delta$ 为零测度集。

由于 $f$ 的每个间断点必定属于某个 $D_{\frac{1}{n}}$ ，只要 $n$ 充分大，因此有

$$
D=\bigcup_{n=1}^{\infty^n} D_{\frac{1}{n}}
$$

对 $\forall \varepsilon>0$ ，用长度小于 $\varepsilon / 2$ 的有限个区间覆盖 $D_1$ ，用长度小于 $\varepsilon / 4$ 的有限个区间覆盖 $D_{\frac{1}{2}}$ ，如此继续下去，就得到了覆盖 $D$ 的可列个区间，它们的长度总和小于 $\varepsilon$ ，因此 $D$ 为零测度集。

充分性 $(\Longleftarrow)$ ．从 $f$ 有界知道有 $M>0$ ，使得 $|f(x)|<M \forall x \in[a, b]$ ．
对于给定的 $\varepsilon>0$ ，由于 $f$ 的间断点集 $D$ 为零测度集，因此存在总长度不超过 $\varepsilon$ 的至多可列个开区间覆盖 $D$ 。将这样的开区间称为第一类开区间．

对于连续点 $x$ ，存在半径 $\delta_x>0$ 的邻域 $O_{\delta_x}(x)$ ，且振幅 $\omega_f\left(x, \delta_x\right)<\varepsilon$ 。对每个连续点如此做，就得到覆盖所有连续点的开区间族，将如此得到的开区间称为第二类开区间。

合并以上所有两类开区间，它们的并覆盖了 $[a, b]$ ．根据有限覆盖定理知道其中存在有限个开区间，它们的并仍然覆盖 $[a, b]$ ．

将这有限个开区间按以下方式从左向右加以编号 ${ }^{(2)}$ 。首先将覆盖左端点 $a$ 的某一个开区间记为 $\Delta_1$ ．它如不覆盖右端点 $b$ ，则一定存在覆盖它的右端点的一个开区间，记为 $\Delta_2$ ．如此继续下去直到覆盖 $b$ 为止．这时若还有多余的开区间则可以弃去，余下的仍然是 $[a, b]$ 的有限开覆盖，记为 $\Delta_1, \cdots, \Delta_n$ ．

取 $x_0=a, x_1 \in \Delta_1 \cap \Delta_2, \cdots, x_{n-1} \in \Delta_{n-1} \cap \Delta_n, x_n=b$ ，从而得到一个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ．注意这时从 $x_{i-1} \in \Delta_{i-1} \cap \Delta_i$ 和 $x_i \in \Delta_i \cap \Delta_{i+1}$ 可见 $\left[x_{i-1}, x_i\right] \subset \Delta_i$ 对每个 $i=1, \cdots, n$ 成立．

按照 $\omega_i \geqslant \varepsilon$ 和 $\omega_i<\varepsilon$ 将 $n$ 个子区间分成两类．

对于 $\omega_i \geqslant \varepsilon$ 的第一类子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ ，由于它只能为第一类开区间所覆盖，因此它们的长度总和小于 $\varepsilon$ 。同时总有 $\omega_i \leqslant 2 M$ ．

对于 $\omega_i<\varepsilon$ 的第二类子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ ，则它们的长度总和不会超过区间 $[a, b]$的长度 $b-a$ 。

于是就可以对于分划 $P$ 的振幅面积作出估计：

$$
\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i=\left(\sum_{\omega_i \geqslant \varepsilon}+\sum_{\omega_i<\varepsilon}\right) \omega_i \Delta x_i \leqslant 2 M \varepsilon+(b-a) \varepsilon=(2 M+b-a) \varepsilon
$$

因此根据 Riemann 可积第二充要条件知道 $f \in R[a, b]$ ．
将 Lebesgue 定理与定理 10.3 的可积第二充要条件相比，在解决具体问题时，前者依赖于对 $f$ 的间断点集的直接分析，后者则依赖于构造特殊的分划因此是比较间接的手段。例如，下面推论中的各个结论，用 Lebesgue 定理来证明就容易得多．当然也可用积分第二充分必要条件或其他方法来证明．

推论 设 $f, g \in R[a, b], \alpha$ 是数，则 $f \pm g, \alpha g, f g, f / g$（设 $|g(x)| \geqslant \delta$ 在 $[a, b]$ 上处处成立，$\delta$ 是个正数）和 $|f|$ 都在 $[a, b]$ 上可积．

又如对于下面两个例题中的问题，用 Lebesgue 定理也要方便得多．
例题 10．15 Riemann 函数在任何 $[a, b]$ 上可积．

证 从例题 5.9 知道 Riemann 函数的不连续点集就是有理点全体所成集合 $Q$ ．由于 $Q$ 可列，在任何 $[a, b]$ 内的有理点集也可列，从而一定是零测度集，因此 Riemann 函数几乎处处连续，从而可积．

例题10．16（1）设函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上除有限点外都有 $g(x)=0$ ，证明 $g \in R[a, b]$ ，且其积分为 0 ．
（2）设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有定义，现在改变 $f$ 在 $[a, b]$ 中的有限多个点上的函数值，问：这样是否会改变 $f$ 的 $( R )$ 可积性？又若可积性不变的话，则 $f$ 的积分值 $\int_a^b f(x) d x$是否会发生改变？

解（1）可见 $g$ 的间断点至多有限，因此可积．对分划 $P$ 来说，只要介点避开上述有限个例外点，则 Riemann 和总是 0 ．令 $\|P\| \rightarrow 0$ ，可见 $\int_a^b g(x) d x=0$ ．
（2）用 Lebesgue 定理可见，若原来的 $f$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处连续，则作了上述改变后仍然几乎处处连续，因此可积性不会改变。

设 $f$ 可积，并将作上述改变后得到的函数记为 $g$ ，则由于 $g$ 可积，对分划 $P$ ，只要介点避开上述有限点，两者的 Riemann 和就相同，因此可知 $\int_a^b f(x) d x=$ $\int_a^b g(x) d x$.

注 从例题 10.16 再发展一步，就可以考虑在区间的有限个点上没有定义的函数的可积性．从该例题可见，在这有限点处按照任何方式补充定义得到的函数要么均可积，要么均不可积．因此即使不补充定义也可以说该函数可积或不可积．

这种情况在今后是常见的．例如可以对于在 $(a, b),(a, b],[a, b)$ 上定义的函数讨论它是否可积．从 Lebesgue 定理来看，这很显然，因为函数的有界性和几乎处处连续性都与有限个点上是否有定义以及如何定义无关。

但是以上关于在有限个点上改变函数定义不影响可积性，以及在可积情况不影响积分值的事实不能推广到可列个点上去．例如，区间 $[0,1]$ 上的 Riemann 函数和 Dirichlet 函数，它们在端点和所有无理点上取相同值，而在 $(0,1)$ 内的所有有理点上取不同值，但前者可积，而后者不可积．

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