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零测度集与几乎处处连续函数

## 10.2.3 零测度集与几乎处处连续函数
测度，即 measure，就是度量．对于 $R$ 上的数集，测度就是有界区间长度的推广。它的一般性发展就成为＂测度论＂。这是实变函数论课程中的内容．下面只讲给出测度为 0 的集合的定义。这对于目前已经足够。

> 以下对于有界区间 $I$ ，用记号 $|I|$ 表示它的长度．

定义10．5 设数集 $A \subset R$ ．若对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在至多可列个开区间 $\left\{I_n\right\}$ (如果使用闭区间也可以) ，使得 $A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i$（即 $A$ 为 $\left\{I_n\right\}$ 覆盖），同时 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i\right|<\varepsilon$ ，则称 $A$ 为零测度集，或说 $A$ 的测度为零。

> 详见《实变函数》 [康托尔三分集](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=807)

**例题 10.12**  有限点集是零测度集．
证 设 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ ，对给定的 $\varepsilon>0$ ，令

$$
I_i=\left(a_i-\frac{\varepsilon}{3 n}, a_i+\frac{\varepsilon}{3 n}\right), \quad i=1, \cdots, n
$$

则 $\sum_{i=1}^n\left|I_i\right|=\frac{2}{3} \varepsilon<\varepsilon$ ．
当然有限点集为零测度集似乎太平凡了，但是下一个例题就很不平凡．

**例题10.13** 可列点集是零测度集．

证（这里要用到第一章的可列集和第二章中的无穷级数等概念．）
设有可列点集 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\right\}$ ．对给定的 $\varepsilon>0$ ，构造区间

$$
I_i=\left(a_i-\frac{\varepsilon}{2^{i+2}}, a_i+\frac{\varepsilon}{2^{i+2}}\right) \forall i \in N ,
$$

则 $\left|I_1\right|=\frac{\varepsilon}{4},\left|I_2\right|=\frac{\varepsilon}{8}, \cdots,\left|I_i\right|=\frac{\varepsilon}{2^{i+1}}, \cdots$ ，可见无穷级数 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i\right|$ 收敛，且其和为

$$
\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n\left|I_i\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots\right)=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
$$

注 于是可知 $R$ 中的有理点全体所成集合为零测度集，当然任何有界区间中的有理点全体也是零测度集。这与有理点的稠密性似乎矛盾，但确实两者都是对
（1）若在定义中将开区间换为闭区间，或混合使用开区间和闭区间，甚至退化为一点的闭区间，所定义的零测度集仍然相同．因此有时就只说区间了．
的．由此可见，分析的有些内容不是都可以通过几何直观来理解的．此外，还存在不可列的零测度集，从略。

**例题10.14** 设 $A_1, A_2$ 都是零测度集，则并集 $A_1 \cup A_2$ 也是零测度集．
证 这时 $A_1$ 为至多可列个开区间（或族）$\left\{I_n\right\}$ 覆盖，$\sum_i\left|I_i\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ，同时 $A_2$ 为至多可列个开区间 $\left\{J_n\right\}$ 覆盖，$\sum_i\left|J_i\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ，于是 $A_1 \cup A_2$ 为至多可列个开区间 $\left\{I_n, J_n\right\}$ 所覆盖，而且它们的长度之和小于 $\varepsilon$ ．

定义10．6 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上定义，其间断点集为零测度集，则称 $f$ 为几乎处处连续的函数。（几乎处处连续也写为 a．e．连续，其中 a．e．为 almost everywhere 的缩写．）

注 以上语言还可以推广其使用范围．例如，若某个函数在除去一个零测度集外处处为 0 ，我们就说该函数几乎处处等于 0 。

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