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几类重要的可积函数

## 10.2.2 几类重要的可积函数
对于有界闭区间 $[a, b]$ ，将在该区间上所有 Riemann 可积函数全体所成集合记为 $R[a, b]$ ．下面我们用积分第二充分必要条件给出数学分析中最常见的三类可积函数．

数学分析中最重要的可积函数类是连续函数类，即有 $C[a, b] \subset R[a, b]$ ．
定理 10.4 若 $f \in C[a, b]$ ，则 $f \in R[a, b]$ ．
证 设 $f$ 于 $[a, b]$ 上连续，则从 Cantor 定理知道 $f$ 于 $[a, b]$ 上一致连续．对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b]$ ，只要 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，就成立 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<$ $\frac{\varepsilon}{b-a}$ ．

现取满足 $\|P\|<\delta$ 的一个划分．根据有界闭区间上连续函数的值域定理（或最值定理），$f$ 在每个子区间上达到自己的上确界与下确界．设最大值点和最小值点分别为 $x_i^{\prime}$ 与 $x_i^{\prime \prime}$ ，则振幅满足估计

$$
\omega_i=M_i-m_i=f\left(x_i^{\prime}\right)-f\left(x_i^{\prime \prime}\right)<\frac{\varepsilon}{b-a} .
$$

因此分划 $P$ 的振幅面积可以估计为

$$
\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{i=1}^n \Delta x_i=\varepsilon
$$

根据定理 10.3 中的可积第二充要条件可见 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积．
下面是数学分析中第二个重要的可积函数类，即单调函数类．
定理10．5 设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的单调函数，则 $f \in R[a, b]$ ．
证 不妨只讨论单调增加情况．设 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调增加，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，取细度小于 $\varepsilon$ 的一个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，则对每个 $i=1, \cdots, n$ 就有

$$
0<\Delta x_i \leqslant\|P\|<\varepsilon, \quad \omega_i=f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)
$$

因此就可以估计出这个分划 $P$ 对应的振幅面积为

$$
\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\varepsilon \sum_{i=1}^n\left[f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)=\varepsilon[f(b)-f(a)],\right.
$$

可见 $f \in R[a, b]$ ．
第三个可积函数类是间断点个数有限的有界函数类．
定理10．6设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，在 $[a, b]$ 上除去有限个点外处处连续，则 $f \in R[a, b]$ ．

证 为简明起见，只对 $f$ 在 $[a, b]$ 上仅有一个间断点 $c \in(a, b)$ 的情况写出证明．对于 $c$ 为端点或 $f$ 在 $[a, b]$ 有多于一个的有限个间断点的情况的证明是类似的．

设 $|f(x)| \leqslant M \forall x \in[a, b]$ ．对给定的 $\varepsilon>0$ ，取 $\delta \leqslant \varepsilon$ ，且使得 $O_\delta(c) \subset(a, b)$ ．于是 $f$ 在这个邻域上的振幅不超过 $2 M$ ．

在区间 $[a, c-\delta]$ 和 $[c+\delta, b]$ 上 $f$ 处处连续，从定理 10.4 可见分别存在这两个区间的分划 $P_1$ 和 $P_2$ ，使得它们对应的振幅面积分别小于 $\varepsilon$ ．

由于 $P_1$ 的最大分点为 $c-\delta, P_2$ 的最小分点为 $c+\delta$ ，因此将它们合并就得到 $[a, b]$ 的一个分划，记为 $P$ ．可以看出 $P$ 对应的振幅面积小于

$$
2 \varepsilon+4 \delta M \leqslant(2+4 M) \varepsilon
$$

可见 $f \in R[a, b]$ ．
以下举出的几个例题，其中可以用可积第二充分必要条件或前面已经建立的定理来解决．

**例题10.8**  $ [a, b]$ 上的 $\operatorname{sgn} x,[x]$ 都只有有限个间断点，因此可积．

**例题10.9**［0，1］上定义 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$, 它只有一个间断点，但无界，因此从定理 10.1 知道它不可积．

**例题 10.10** 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x=0, \\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n+1}<x \leqslant \frac{1}{n}, n \in N ,\end{array}\right.$ 是 $[0,1]$ 上的单调增加函数，因此可积．

**例题10.11** 再回顾在例题 10.7 中的Dirichlet 函数．已知它处处不连续（参见例题 3.8 和例题 5．6）．容易证明它在任何区间 $[a, b]$ 上不可积．这可以从它在每个长度非零的区间上的振幅总是等于 1 看出，因为不论什么分划 $P$ ，对应的振幅面积总是等于区间 $[a, b]$ 的长度 $b-a$ 。

最后指出，本小节利用积分第二充分必要条件轻而易举地得到了三类可积函数。但可积函数并非只有这三类．那么什么是刻画可积函数的充分必要条件呢？为了完全解决这个问题，需要引入零测度集合和几乎处处连续函数的新概念．这就是下一小节的内容．

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