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Riemann 可积的充分必要条件

## 10.2可积性与可积函数类
在第九章的基础上，有了 Newton－Leibniz 公式之后，就可以解决许多具体的定积分计算问题．然而该公式成立需要两个条件，即被积函数的可积性与原函数的存在性。前一个问题将在本节解决，后一个问题对于许多具体例子来说不成问题，但是其存在性的一般性讨论将在 $\S 10.3$ 解决．

10．2．1 Riemann 可积的充分必要条件
由于在定积分定义中既有任意分划，又有任意选取的介点集，因此从定义出发来检验函数是否可积是困难的。为此我们介绍 Darboux 的方法，它就是体现在图 10.1 中的夹逼思想．这使得我们可以摆脱介点集的任意性而只需要考虑分划。

给定分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，对于 $i=1, \cdots, n$ 用 $M_i$ 和 $m_i$ 记 $f$ 在第 $i$ 个子区间上的上确界和下确界：

$$
M_i=\sup \left\{f(x) \mid x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i\right\}, \quad m_i=\inf \left\{f(x) \mid x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i\right\}
$$

然后分别乘以 $\Delta x_i$ 对 $i$ 求和，得到两个新的和式，且将 Riemann 和夹在中间：

$$
\underline{S}_P=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i=\bar{S}_P
$$

称左边的 $\underline{S}_P$ 为 Darboux 下和，右边的 $\bar{S}_P$ 为 Darboux 上和．它们的值只与分划 $P$有关，在不发生混淆时可将下标省略．

不等式（10．2）使我们摆脱了对于介点集 $\xi$ 的依赖，而可以用上和与下和来进行估计．再回顾 $\S 10.1 .1$ 中的例子 $f(x)=x^2, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，其中的 $S_n$ 和 $S_n^{\prime}$ 就是等距分划时的 Darboux 下和与 Darboux 上和。

又对 $i=1, \cdots n$ 引入记号 $\omega_i(i=1, \cdots, n)$ 表示函数 $f$ 在子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的振幅，即

$$
\omega_i=M_i-m_i
$$

这里注意所有的 $\omega_i$ 和 $\Delta x_i$ 都是非负数．现在将和式

$$
\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i=\bar{S}_P-\underline{S}_P
$$

称为与分划 $P$ 对应的振幅面积．它有明显的几何意义．回顾图 10．1，可见与其中的函数和分划对应的振幅面积就是分图（c）上的许多小矩形面积之和。

注意：对于 $[a, b]$ 上的有界函数，所有 $M_i, m_i, \omega_i$ 和振幅面积都是有限数．反之，如果振幅面积为有限数，则函数也一定有界。（关于振幅概念可以回顾第一章的定义 1.8 ，例题 1.3 和第五章的定义 5.1 等内容．）

现在叙述本小节的主要定理如下。
定理 10.3 对于在 $[a, b]$ 上定义的函数 $f$ ，以下三个条件等价：
（1）函数 $f$ 于 $[a, b]$ 上 Riemann 可积；
（2）（可积第一充要条件） $\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i=0$ ；
（3）（可积第二充要条件）对 $\forall \varepsilon>0, \exists P$ ，使得成立 $\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\varepsilon$ ．
注 在定理的（2）中出现的极限与 Riemann 和的极限（见定义 10.3 及其注）属于同一类型的极限，用 $\varepsilon-\delta$ 语言写出就是

$$
\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i=0 \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall P(\|P\|<\delta): \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\varepsilon
$$

与定义 10.3 比较，上述极限中不出现介点集，因此更简单一些．
下面我们对定理 10.3 的证明步骤是

$$
(1) \Longrightarrow(2) \Longrightarrow(3) \Longrightarrow(1)
$$

**其中第一步不难，第二步很容易，第三步则相当难，但正是在这一步证明中充分反映了定积分的基本思想和技巧．**

定理 10.3 的前两步证明
$(1) \Longrightarrow(2)$ ．从 $f$ 为 $( R )$ 可积的定义知道，对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，对细度 $\|P\|<\delta$ 的每一个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ 和与 $P$ 相容的每一个介点集 $\xi$ ，成立

$$
\left|\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i-I\right|<\varepsilon
$$

也就是

$$
I-\varepsilon<\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i<I+\varepsilon
$$

其中 $I=\int_a^b f(x) d x$

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