最后更新: 2025-03-16 09:16 查看: 378 次纠错评论(0) 课件开VIP

Riemann 可积的充分必要条件

## 10.2可积性与可积函数类
在第九章的基础上，有了 Newton－Leibniz 公式之后，就可以解决许多具体的定积分计算问题．然而该公式成立需要两个条件，即被积函数的可积性与原函数的存在性。前一个问题将在本节解决，后一个问题对于许多具体例子来说不成问题，但是其存在性的一般性讨论将在 $\S 10.3$ 解决．

10．2．1 Riemann 可积的充分必要条件
由于在定积分定义中既有任意分划，又有任意选取的介点集，因此从定义出发来检验函数是否可积是困难的。为此我们介绍 Darboux 的方法，它就是体现在图 10.1 中的夹逼思想．这使得我们可以摆脱介点集的任意性而只需要考虑分划。

给定分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，对于 $i=1, \cdots, n$ 用 $M_i$ 和 $m_i$ 记 $f$ 在第 $i$ 个子区间上的上确界和下确界：

$$
M_i=\sup \left\{f(x) \mid x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i\right\}, \quad m_i=\inf \left\{f(x) \mid x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i\right\}
$$

然后分别乘以 $\Delta x_i$ 对 $i$ 求和，得到两个新的和式，且将 Riemann 和夹在中间：

$$
\underline{S}_P=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i=\bar{S}_P
$$

称左边的 $\underline{S}_P$ 为 Darboux 下和，右边的 $\bar{S}_P$ 为 Darboux 上和．它们的值只与分划 $P$有关，在不发生混淆时可将下标省略．

不等式（10．2）使我们摆脱了对于介点集 $\xi$ 的依赖，而可以用上和与下和来进行估计．再回顾 $\S 10.1 .1$ 中的例子 $f(x)=x^2, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，其中的 $S_n$ 和 $S_n^{\prime}$ 就是等距分划时的 Darboux 下和与 Darboux 上和。

又对 $i=1, \cdots n$ 引入记号 $\omega_i(i=1, \cdots, n)$ 表示函数 $f$ 在子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的振幅，即

$$
\omega_i=M_i-m_i
$$

这里注意所有的 $\omega_i$ 和 $\Delta x_i$ 都是非负数．现在将和式

$$
\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i=\bar{S}_P-\underline{S}_P
$$

称为与分划 $P$ 对应的振幅面积．它有明显的几何意义．回顾图 10．1，可见与其中的函数和分划对应的振幅面积就是分图（c）上的许多小矩形面积之和。

注意：对于 $[a, b]$ 上的有界函数，所有 $M_i, m_i, \omega_i$ 和振幅面积都是有限数．反之，如果振幅面积为有限数，则函数也一定有界。（关于振幅概念可以回顾第一章的定义 1.8 ，例题 1.3 和第五章的定义 5.1 等内容．）

现在叙述本小节的主要定理如下。
定理 10.3 对于在 $[a, b]$ 上定义的函数 $f$ ，以下三个条件等价：
（1）函数 $f$ 于 $[a, b]$ 上 Riemann 可积；
（2）（可积第一充要条件） $\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i=0$ ；
（3）（可积第二充要条件）对 $\forall \varepsilon>0, \exists P$ ，使得成立 $\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\varepsilon$ ．
注 在定理的（2）中出现的极限与 Riemann 和的极限（见定义 10.3 及其注）属于同一类型的极限，用 $\varepsilon-\delta$ 语言写出就是

$$
\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i=0 \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall P(\|P\|<\delta): \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\varepsilon
$$

与定义 10.3 比较，上述极限中不出现介点集，因此更简单一些．
下面我们对定理 10.3 的证明步骤是

$$
(1) \Longrightarrow(2) \Longrightarrow(3) \Longrightarrow(1)
$$

**其中第一步不难，第二步很容易，第三步则相当难，但正是在这一步证明中充分反映了定积分的基本思想和技巧．**

定理 10.3 的前两步证明
$(1) \Longrightarrow(2)$ ．从 $f$ 为 $( R )$ 可积的定义知道，对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，对细度 $\|P\|<\delta$ 的每一个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ 和与 $P$ 相容的每一个介点集 $\xi$ ，成立

$$
\left|\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i-I\right|<\varepsilon
$$

也就是

$$
I-\varepsilon<\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i<I+\varepsilon
$$

其中 $I=\int_a^b f(x) d x$ ．
利用介点集的任意性，在上述不等式中对 Riemann 和取上下确界，就得到

$$
I-\varepsilon \leqslant \underline{S}_P=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i=\bar{S}_P \leqslant I+\varepsilon
$$

因此，只要 $\|P\|<\delta$ ，就成立

$$
0 \leqslant \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leqslant(I+\varepsilon)-(I-\varepsilon)=2 \varepsilon
$$

这就证明了（2）．
$(2) \Longrightarrow(3)$ ．这是容易的．因为 $(3)$ 中只要存在一个分划 $P$ 就够了。（这表明 （3）是要求最低的条件，因而往往就是最好用的条件．）
下面是最后一步，即 $(3) \Longrightarrow(1)$ 。这是最难的一步．为此需要先做准备工作，即建立关于 Darboux 和的两个引理。

> 引理1 设 $|f(x)| \leqslant M \forall x \in[a, b]$ ，分划 $P$ 的上和与下和为 $\bar{S}$ 与 $\underline{S}$ ，又设向 $P$多加一个分点后对应的上和与下和为 $\bar{S}^{\prime}$ 与 $\underline{S}^{\prime}$ ，则成立
$$
\underline{S} \leqslant \underline{S}^{\prime} \leqslant \bar{S}^{\prime} \leqslant \bar{S}
$$

即加入新分点后上和不增加，下和不减少，而且还有以下估计：

$$
\left|\bar{S}-\bar{S}^{\prime}\right| \leqslant 2 M\|P\|, \quad\left|\underline{S}-\underline{S}^{\prime}\right| \leqslant 2 M\|P\| .
$$

![图片](/uploads/2025-02/ffaf83.jpg)
 
 证 先看上和（参见图 10．4（a））．设新分点满足 $x_i^{\prime} \in\left(x_{i-1}, x_i\right)$ ，即加在由分划 $P$ 生成的第 $i$ 个子区间内。这样就将原来的一个子区间分成了两个．记 $f$ 在 $\left[x_{i-1}, x_i^{\prime}\right]$ 和 $\left[x_i^{\prime}, x_i\right]$ 上的上确界分别为 $M_i^{\prime}, M_i^{\prime \prime}$ ，则成立不等式

$$
M_i^{\prime}, M_i^{\prime \prime} \leqslant M_i
$$

比较上和 $\bar{S}$ 与新的上和 $\bar{S}^{\prime}$ ，则除了相同项之外，有

$$
M_i \Delta x_i=M_i \Delta x_i^{\prime}+M_i \Delta x_i^{\prime \prime} \geqslant M_i^{\prime} \Delta x_i^{\prime}+M_i^{\prime \prime} \Delta x_i^{\prime \prime}
$$

其中 $\Delta x_i^{\prime}=x_i^{\prime}-x_{i-1}, \Delta x_i^{\prime \prime}=x_i-x_i^{\prime}$ ，可见 $\bar{S} \geqslant \bar{S}^{\prime}$ 成立．再估计它们的差：

$$
\begin{aligned}
\left|\bar{S}-\bar{S}^{\prime}\right| & =\left|M_i \Delta x_i-M_i^{\prime} \Delta x_i^{\prime}-M_i^{\prime \prime} \Delta x_i^{\prime \prime}\right| \leqslant M \Delta x_i+M\left(\Delta x_i^{\prime}+\Delta x_i^{\prime \prime}\right) \\
& =2 M \Delta x_i \leqslant 2 M\|P\|
\end{aligned}
$$

对于下和 $\underline{S}$ ，可以用相同的方法得到所要的相应结论（参见图 10．4（b））．

引理 2 任何分划的上和不小于任何分划的下和。

证 设 $P_1, P_2$ 为任意两个分划，同时又考虑合并它们的所有分点后的分划，记为 $P_1 \cup P_2$ ，则从引理1（参见右边的图 10．5），就有不等式

$$
\bar{S}_{P_1} \geqslant \bar{S}_{P_1 \cup P_2} \geqslant \underline{S}_{P_1 \cup P_2} \geqslant \underline{S}_{P_2} .
$$

![图片](/uploads/2025-02/f4577b.jpg)
 
 注 1 对图 10.5 需要做一点说明．在其左分图中作出了两个分划 $P_1$ 和 $P_2$ ，同时作出了 $\bar{S}_{P_1}$ 和 $\underline{S}_{P_2}$ ．为简单起见，由 $P_1$ 只生成 2 个子区间，由 $P_2$ 只生成 3 个子区间．右分图则是将两个分划合并，这时有 4 个子区间．在右分图中还作出了不等式 $\bar{S}_{P_1} \geqslant \bar{S}_{P_1 \cup P_2} \geqslant \underline{S}_{P_1 \cup P_2} \geqslant \underline{S}_{P_2}$ 的示意图．

注2 两个引理分别体现了对于分划可以施行两种手术：（1）增加分点，（2）将两个分划合并．这是关于分划的基本运算。

下面引入 Darboux 上积分和下积分的定义。
定义10．4 对于在 $[a, b]$ 上定义的函数 $f$ ，引入记号

$$
\bar{I}=\inf _P \bar{S}=\int_a^b f(x) d x, \quad \underline{I}=\sup _P \underline{S}=\int_{-a}^b f(x) d x
$$

并分别称为 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的 Darboux 上积分与下积分．
由于确界可以是无穷大，因此 Darboux 上积分和下积分的存在不需要什么条件．但对于有界函数来说，设 $|f(x)| \leqslant M \forall x \in[a, b]$ ，则任何分划对应的上和与下和都落在范围 $[-M(b-a), M(b-a)]$ 之中．因此 Darboux 上积分和下积分都是有限数。又从定义可见对任何分划 $P$ 一定成立不等式

$$
\underline{S}_P \leqslant \underline{I} \leqslant \bar{I} \leqslant \bar{S}_P .
$$

注意：Darboux 上积分与 Darboux 下积分可以不相等．下面就是一个例子．

例题 $1 0 . 7$ 对于 $[0,1]$ 上的 Dirichlet 函数来说，由于任何子区间中既有有理数，又有无理数，因此不论什么分划 $P$ ，Darboux 上和与下和总是分别等于 1 和 0 ．因此知道其 Darboux 上积分等于 1, 下积分等于 0 。

现在来完成定理 10.3 的最后一步的证明．
定理 10.3 中的 $(3) \Longrightarrow(1)$ 的证明
由（3）成立已经可以推出函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，否则至少会有一个子区间上的振幅是无穷大，从而振幅面积也是无穷大．

取 $M$ 使得 $|f(x)| \leqslant M \forall x \in[a, b]$ 成立，于是由每个分划确定的上和 $\bar{S}$ 满足 $|\bar{S}| \leqslant M(b-a)$ ．设 $\bar{I}$ 是在定义 10.4 中由（10．3）定义的上积分，我们来证明：在条件（3）成立时，$f$ 在 $[a, b]$ 上的定积分就等于 $\bar{I}$ ．

利用条件（3）成立，对给定的 $\varepsilon>0$ ，存在一个分划 $P_1$ ，满足不等式

$$
\bar{S}_{P_1}-\underline{S}_{P_1}=\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\frac{\varepsilon}{2}
$$

为方便起见，将分划 $P_1$ 中除端点 $a, b$ 之外的分点个数记为 $n_1$ ．
从引理 2 和关于 $\bar{I}$ 的定义（10．3），可见这时成立不等式（参见图 10．6（a））

$$
\underline{S}_{P_1} \leqslant \bar{I} \leqslant \bar{S}_{P_1} .
$$

现在的问题是对于任意一个分划 $P$ ，它的细度小到什么程度时才能保证 $\bar{S}_P-\underline{S}_P<$ $\varepsilon$ ？出发点是已经有了上述分划 $P_1$ ．

合并 $P$ 和 $P_1$ 得到 $P \cup P_1$ ．由于它是 $P_1$的加细，从引理1有（参见图10．6（b））

$$
\underline{S}_{P_1} \leqslant \underline{S}_{P \cup P_1} \leqslant \bar{I} \leqslant \bar{S}_{P \cup P_1} \leqslant \bar{S}_{P_1},
$$

并可以从 $\bar{S}_{P_1}-\underline{S}_{P_1}<\frac{\varepsilon}{2}$ 得到

$$
\bar{S}_{P \cup P_1}-\underline{S}_{P \cup P_1}<\frac{\varepsilon}{2} .
$$

又将分划 $P \cup P_1$ 看成是 $P$ 的加细，所增加的点的个数至多为 $n_1$ ，就可以再用引理 1 估计得到：
 ![图片](/uploads/2025-02/c62ade.jpg)
 $$
\begin{aligned}
& 0 \leqslant \bar{S}_P-\bar{S}_{P \cup P_1} \leqslant 2 n_1 M\|P\|, \\
& 0 \leqslant \underline{S}_{P \cup P_1}-\underline{S}_P \leqslant 2 n_1 M\|P\| .
\end{aligned}
$$

（这就是对图 10．6（c）中两个粗黑线段的长度的估计．）
将以上两式相加并整理后得到

$$
\bar{S}_P-\underline{S}_P \leqslant \bar{S}_{P \cup P_1}-\underline{S}_{P \cup P_1}+4 n_1 M\|P\|<\frac{\varepsilon}{2}+4 n_1 M\|P\| .
$$

于是为了使得上式最后一项 $<\frac{\varepsilon}{2}$ 只要取 $\delta=\frac{\varepsilon}{8 n_1 M}$ ，就可以使得当 $\|P\|<\delta$ 时成立 $\bar{S}_P-\underline{S}_P<\varepsilon$ ．

如引入 Darboux 上和与下和时所示（见（10．2）），与 $P$ 对应的 Riemann 和，无论其中与 $P$ 相容的介点集如何取，都成立不等式 $\underline{S}_P \leqslant \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i \leqslant \bar{S}_P$ ，同时又成立与（10．4）类似的不等式 $\underline{S}_P \leqslant \bar{I} \leqslant \bar{S}_P$ ．

综合以上就有

$$
\left|\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i-\bar{I}\right|<\varepsilon
$$

即 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，于是（1）成立．
综合以上就得到 $(1) \Longleftrightarrow(2) \Longleftrightarrow(3)$ ．
综合以上就得到 $(1) \Longleftrightarrow(2) \Longleftrightarrow(3)$ ．
注1 上述证明表明在 $[a, b]$ 上的函数 $f$ 为 Riemann 可积时其积分值等于 Darboux 上积分。完全对称地可知这个积分值也等于 Darboux 下积分。因此可积时一定有 $\bar{I}=\underline{I}$ 。易见这也是必要的。实际上可以直接证明这是 $f$ 为 Riemann 可积的充分条件，留作练习题。

注 2 定理 10.3 的可积第二充要条件特别简单，只要对于给定的每一个 $\varepsilon$ 找到

一个分划即可．于是我们要问，这是为什么？在过去所学的数列极限和函数极限中是否也有类似的结果？

可以指出，关键在于某种单调性．引理 1 所说的就是这种单调性．分划全体所成集合的特性在前面已经看到，虽然两个分划难以直接比较，但采取加细和合并方法，可以看出对应的上和与下和也具有某种＂单调性＂．这就是可积的第二充要条件的本质所在。

与此对应，在过去的单调数列和单调函数中也确实存在类似的结论．例如正项单调数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫于 0 的充分必要条件就可以简单地叙述为：对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在一个 $N$ ，使得 $x_N<\varepsilon$（留作练习题）．

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