最后更新: 2025-03-16 09:13 查看: 229 次反馈同步训练

微积分基本定理

## 10.1.13 微积分基本定理
Newton 和 Leibniz 在数学上的重大贡献之一是发现了下列定理。它揭示出微分和积分之间的可逆联系，为一门全新的数学学科的诞生奠定了基础

定理10.2（微积分基本定理）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上（ R ）可积，同时 $f$ 在 $[a, b]$上存在原函数 $F$ ，则成立下列的 Newton－Leibniz 公式

$$
\boxed{
\int_a^b f(x) d x=F(b)-F(a)\left(=\left.F(x)\right|_a ^b\right)  ...(10.1)
}
$$

证 根据 $f$ 的可积条件，定积分 $\int_a^b f(x) d x$ 有意义．问题只是证明公式的两边相等．取 $[a, b]$ 的分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，于是可以将（10．1）的右边改写为

$$
F(b)-F(a)=F\left(x_n\right)-F\left(x_0\right)=\sum_{i=1}^n\left[F\left(x_i\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right] .
$$

然后在每一个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上对于 $F$ 用 Lagrange 微分中值定理，存在 $\xi_i \in\left(x_{i-1}, x_i\right)$ ，使得

$$
F\left(x_i\right)-F\left(x_{i-1}\right)=F^{\prime}\left(\xi_i\right) \Delta x_i=f\left(\xi_i\right) \Delta x_i,
$$

于是就有

$$
F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i,
$$

令 $\|P\| \rightarrow 0$ ，利用 $f$ 可积，就知道右边和式的极限为 $\int_a^b f(x) d x$ ．
注1 这个非常关键的定理能够如此简短地得到证明依赖于两个因素：一是利用了 Lagrange 中值定理，即微分学中最有力的工具之一，二是利用了 Riemann 积分定义中介点集的任意性，从而可以成功地将 $F(b)-F(a)$ 写为 Riemann 和。

注2 上述定理中存在原函数的条件还可以放宽为存在广义的原函数．这就是 $F \in C[a, b]$ ，而等式 $F^{\prime}(x)=f(x)$ 可以允许在区间 $[a, b]$ 的有限个点上未必成立．这时 Newton－Leibniz 公式仍然成立．证明的方法也很简单，只要在原来的证明中取分划 $P$ 时，将所有例外点吸收为分点即可。或者也可以将区间 $[a, b]$ 用有限个例外点分成若干子区间，对每一个子区间写出 Newton－Leibniz 公式，然后相加即得。 （在关于原函数的定理 7.12 中已经考虑到这种可能性．）

**例题 10.2** 虽然 $F(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导，但下列计算对于 $a<0<b$ 仍然是正确的：

$$
\int_a^b \operatorname{sgn} x d x=\left.|x|\right|_a ^b=|b|-|a|,
$$

这是因为广义原函数 $|x|$ 在导数不存在的点 $x=0$ 处连续．

**例题10.3** 利用 Newton－Leibniz 公式就容易计算出如下几个简单的定积分：

$$
\int_0^1 x d x=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0 ^1=\frac{1}{2}, \quad \int_0^1 x^2 d x=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0 ^1=\frac{1}{3}
$$

其中的第二个就是例题 9.1 和在 $\S 10.1$ ． 1 中讨论的问题．

例题 10.4 同样容易得到

$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=-\left.\cos x\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}=1
$$

它表明由 $y=\sin x$ 和 $y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成的曲边三角形的面积恰好是 1 （见图 10．3）。当然还可以得到

![图片](/uploads/2025-02/743c20.jpg)
  
  由以上例题可见，在被积函数的原函数容易求出的前提下，我们完全不需要按照定积分的定

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