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微积分基本定理

## 10.1.13 微积分基本定理
Newton 和 Leibniz 在数学上的重大贡献之一是发现了下列定理。它揭示出微分和积分之间的可逆联系，为一门全新的数学学科的诞生奠定了基础

定理10.2（微积分基本定理）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上（ R ）可积，同时 $f$ 在 $[a, b]$上存在原函数 $F$ ，则成立下列的 Newton－Leibniz 公式

$$
\boxed{
\int_a^b f(x) d x=F(b)-F(a)\left(=\left.F(x)\right|_a ^b\right)  ...(10.1)
}
$$

证 根据 $f$ 的可积条件，定积分 $\int_a^b f(x) d x$ 有意义．问题只是证明公式的两边相等．取 $[a, b]$ 的分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，于是可以将（10．1）的右边改写为

$$
F(b)-F(a)=F\left(x_n\right)-F\left(x_0\right)=\sum_{i=1}^n\left[F\left(x_i\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right] .
$$

然后在每一个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上对于 $F$ 用 Lagrange 微分中值定理，存在 $\xi_i \in\left(x_{i-1}, x_i\right)$ ，使得

$$
F\left(x_i\right)-F\left(x_{i-1}\right)=F^{\prime}\left(\xi_i\right) \Delta x_i=f\left(\xi_i\right) \Delta x_i,
$$

于是就有

$$
F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i,
$$

令 $\|P\| \rightarrow 0$ ，利用 $f$ 可积，就知道右边和式的极限为 $\int_a^b f(x) d x$ ．
注1 这个非常关键的定理能够如此简短地得到证明依赖于两个因素：一是利用了 Lagrange 中值定理，即微分学中最有力的工具之一，二是利用了 Riemann 积分定义中介点集的任意性，从而可以成功地将 $F(b)-F(a)$ 写为 Riemann 和。

注2 上述定理中存在原函数的条件还可以放宽为存在广义的原函数．这就是 $F \in C[a, b]$ ，而等式 $F^{\prime}(x)=f(x)$ 可以允许在区间 $[a, b]$ 的有限个点上未必成立．这时 Newton－Leibniz 公式仍然成立．证明的方法也很简单，只要在原来的证明中取分划 $P$ 时，将所有例外点吸收为分点即可。或者也可以将区间 $[a, b]$ 用有限个例外点分成若干子区间，对每一个子区间写出 Newton－Leibniz 公式，然后相加即得。 （在关于原函数的定理 7.12 中已经考虑到这种可能性．）

**例题 10.2** 虽然 $F(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导，但下列计算对于 $a<0<b$ 仍然是正确的：

$$
\int_a^b \operatorname{sgn} x d x=\left.|x|\right|_a ^b=|b|-|a|,
$$

这是因为广义原函数 $|x|$ 在导数不存在的点 $x=0$ 处连续．

**例题10.3** 利用 Newton－Leibniz 公式就容易计算出如下几个简单的定积分：

$$
\int_0^1 x d x=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0 ^1=\frac{1}{2}, \quad \int_0^1 x^2 d x=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0 ^1=\frac{1}{3}
$$

其中的第二个就是例题 9.1 和在 $\S 10.1$ ． 1 中讨论的问题．

例题 10.4 同样容易得到

$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=-\left.\cos x\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}=1
$$

它表明由 $y=\sin x$ 和 $y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成的曲边三角形的面积恰好是 1 （见图 10．3）。当然还可以得到

![图片](/uploads/2025-02/743c20.jpg)
  
  由以上例题可见，在被积函数的原函数容易求出的前提下，我们完全不需要按照定积分的定义去计算极限，只要用 Newton－Leibniz 公式就够了。这使得定积分的计算变得非常容易。作为这方面的一个应用，有时我们会将某些数列看成为某个函数的 Riemann 和，从而将求数列极限的某些问题归结为定积分计算来解决．

例题 10.5 求极限：$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
解（在第二章的例题 2.28 和例题 2.29 的注 2 中对上述问题已经给了两个解，但都很难推广到更一般的问题上去．）将数列通项记为 $x_n$ ，改写为

$$
x_n=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right)
$$

就可以将 $x_n$ 看成为区间 $[0,1]$ 上的函数 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ 的一个 Riemann 和，其中采用 $n$ 等分的等距分划，并将每个小区间的右端点取为介点。因此极限为

$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\int_0^1 \frac{d x}{1+x}=\left.\ln (1+x)\right|_0 ^1=\ln 2
$$

例题 10.6 求极限 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
解 记数列通项为 $x_n$ ，则有

$$
\ln x_n=\frac{1}{n}\left(\ln 1+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)+\cdots+\ln \left(1+\frac{n-1}{n}\right)\right)
$$

可见这是 $[0,1]$ 上的函数 $f(x)=\ln (1+x)$ 的一个 Riemann 和，其中采用 $n$ 等分的等距分划，在每个子区间上取左端点为介点．从 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln x_n=\ln I$ 可见有

$$
\ln I=\int_0^1 \ln (1+x) d x=\left.[(1+x) \ln (1+x)-x]\right|_0 ^1=2 \ln 2-1=\ln \frac{4}{e}
$$

因此所求的极限为 $I=\frac{4}{ e }$ ．
当然以上几题的计算都有不严格处，即没有验证有关的函数在相应的区间上的（R）可积性，而这是应用 Newton－Leibniz 公式前需要解决的问题．那么如何来检验函数的（R）可积性呢？代替对许多具体问题的不胜其烦的一一讨论，我们将在下一节中统一解决几大类函数的可积性问题．

此外，对于曲边梯形的面积在目前就用积分来定义．具体来说，对于 $[a, b]$ 上的非负函数 $y=f(x)$ ，若 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，则就将曲边梯形

$$
\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}
$$

的面积定义为积分值 $\int_a^b f(x) d x$ ．这种做法当然有很大的局限性．对于一般平面图形的面积定义问题将在第三册中讨论．

除了可积性之外，为了利用微积分基本定理，即 Newton－Leibniz 公式（10．1），还需要知道什么样的函数存在原函数．这也是在第九章中没有讨论过的问题，在那里我们只学习了计算方法，而将原函数的存在性留待这一章处理．

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