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Riemann 黎曼积分的定义

## 10.1.2 Riemann 积分的定义
首先需要对如何划分区间，如何刻画划分越来越细等给出定义和适当的记号．为此在下面依次给出分划和 Riemann 和的定义。

定义 10.1 （**分划的定义**）对于有界闭区间 $[a, b]$ ，称分点的集合

$$
P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}
$$

为 $[a, b]$ 的一个分划（Partition），其中满足 $x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b$ ．$P$ 将 $[a, b]$分成 $n$ 个闭子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right], i=1, \cdots, n$ ．记这些子区间长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ ， $i=1, \cdots, n$ ，定义分划 $P$ 的细度为这些子区间长度中的最大数：

$$
\|P\|=\max \left\{\Delta x_1, \cdots, \Delta x_n\right\}
$$

（分划也可称为分割或划分，分划的细度也称为模或长度．）
在分划中最简单的是等距划分，即 $\Delta x_1=\cdots=\Delta x_n=\frac{b-a}{n}=\|P\|$ ．这时 $n \rightarrow \infty$ 就是 $\|P\| \rightarrow 0$ 。

定义10.2（**Riemann 和的定义**）设 $f$ 于 $[a, b]$ 上有定义。任取 $[a, b]$ 的一个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，又对于由 $P$ 生成的每个子区间任取一个介点 $\xi_i \in\left[x_{i-1}, x_i\right], i=1, \cdots, n$ ，然后作出一个有限和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i
$$

将它称为 $f$ 的一个 Riemann 和，或者更确切地说是由分划 $P$与介点集 $\xi=\left\{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right\}$ 共同确定的一个 Riemann 和。

在图10．2中作出了在 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的曲边梯形的外接矩形和内接矩形．$f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 就是底边长 $\Delta x_i$ 和高为 $f\left(\xi_i\right)$ 的矩形面积，它不大于外接矩形面积，也不小于内接矩形面积．

![图片](/uploads/2025-02/f707c9.jpg)
 
 以上定义的突出特点是有两个任意性．不仅分划任意，而且还允许在每个子区间中任意选取介点 $\xi_i$ 。为什么不简单地将 $\xi_i$ 取为端点 $x_{i-1}$ 或者 $x_i$ ？在早期由 Cauchy 提出的积分定义中就是如此．今天还将这样的和式所得到的积分称为 Cauchy 积分。但是后来发现 Riemann 的积分定义有很多优点，因此一般现在不再用 Cauchy 积分定义了．这样做会带来的优点我们不久就会看到。

现在可以讲什么是 Riemann 积分了。

## Riemann 积分的定义
定义10．3（Riemann 积分的定义）给定 $[a, b]$ 上的函数 $f$ ，若存在数 $I$ ，对于 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall P(\|P\|<\delta), \forall \xi\left(\xi_i \in\left[x_{i-1}, x_i\right] \forall i\right)$（即介点集 $\xi$ 与分划 $P$ 相容）：

$$
\left|\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i-I\right|<\varepsilon
$$

则称 $f$ 于 $[a, b]$ 上 Riemann 可积（或者说（R）可积，或简称可积 ${ }^{(1)}$ ），并将 $I$ 称为 $f$在 $[a, b]$ 上的 Riemann 积分或（R）积分，记为

$$
I=\int_a^b f(x) d x
$$

定积分记号与不定积分类似，其中同样有被积函数，被积表达式和积分变量。它的不同之处是在积分号的上下方出现有符号 $a, b$ 。今后称 $a$ 为积分下限，$b$ 称为为积分上限。又称 $[a, b]$ 为积分区间。

定义 10.3 中的定积分是一种新型的极限，常写为
$$
\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\int_a^b f(x) d x
$$

它与过去的数列极限和函数极限都不相同．
与以前相比，在数列极限中对给定的 $\varepsilon$ 取定 $N$ 之后，满足 $n \geqslant N$ 的 $n$ 也是无穷多个，但 $n$ 取定之后就确定了 $x_n$ ．对于函数极限来说，情况也是类似的．目前的 Riemann 和的极限则要复杂得多．对于给定的 $\varepsilon$ 取定 $\delta$ 之后，满足 $\|P\|<\delta$ 的分划 $P$ 当然有无穷多个，而取定一个分划 $P$ 之后，满足 $\xi_i \in\left[x_{i-1}, x_i\right] \forall i$ 的介点集也有无穷多个，而要求由它们确定的 Riemann 和都满足 $\left|\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i-I\right|<\varepsilon$ ．

下面叙述并证明有关 Riemann 积分的第一个定理。它是定积分的一个基本性质，同时也反映出 Riemann 和的定义 10.2 中介点集可以任意选取的重要性．

定理 10.1 （R）可积的函数一定是有界函数．
证 设 $f$ 于 $[a, b]$ 上（R）可积，且其积分值为 $I$ ，要证明 $f$ 于 $[a, b]$ 上有界．

根据定义，对 $\varepsilon_0=1$ ，存在 $\delta>0$ ，只要分划 $P$ 的细度小于 $\delta$ ，则对于与 $P$ 相容的任何介点集 $\xi$ ，成立 $\left|\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i-I\right|<1$ ，也就是

$$
I-1<\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i<I+1
$$

固定分划 $P$ ，又固定 $\xi_2, \cdots, \xi_n$ ，则就得到

$$
\frac{1}{\Delta x_1}\left(I-1-\sum_{i=2}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i\right)<f\left(\xi_1\right)<\frac{1}{\Delta x_1}\left(I+1-\sum_{i=2}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i\right)
$$

由于 $\xi_1 \in\left[a, x_1\right]$ 可以任取，可见 $f$ 于第一个子区间 $\left[a, x_1\right]$ 上有界．同理可知 $f$ 在其余 $n-1$ 个子区间上也都有界，因此 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界．

注 由此可见在 Riemann 积分定义中引入介点集的作用．与此相反的是，在 Cauchy 积分定义中就不能从可积性推出函数有界。

下面举一个最简单的例子说明如何理解定积分的定义．它相当于数列极限中的常值数列。

例题10．1 设 $f$ 是 $[a, b]$ 上恒等于 $c$ 的常值函数，则有

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i=c \sum_{i=1}^n \Delta x_i=c(b-a),
$$

可见当 $P$ 的细度趋于 0 时 Riemann 和的极限就是 $c(b-a)$ ，即得到
$$
\int_a^b c d x=c(b-a)
$$

容易理解按照定义 10.3 来计算定积分一般是非常困难的．从 $\S 10.1 .1$ 中 $y=x^2$的例子已经看到，在将介点集限制为子区间的端点的情况下，也还是需要利用前 $n$个正整数的平方和公式才能成功。因此我们需要有计算定积分的有效方法．这就是下面的微积分基本定理，其中的公式称为 Newton－Leibniz 公式．

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