最后更新: 2025-03-16 09:09 查看: 167 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Riemann 黎曼积分的定义

## 10.1.2 Riemann 积分的定义
首先需要对如何划分区间，如何刻画划分越来越细等给出定义和适当的记号．为此在下面依次给出分划和 Riemann 和的定义。

定义 10.1 （**分划的定义**）对于有界闭区间 $[a, b]$ ，称分点的集合

$$
P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}
$$

为 $[a, b]$ 的一个分划（Partition），其中满足 $x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b$ ．$P$ 将 $[a, b]$分成 $n$ 个闭子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right], i=1, \cdots, n$ ．记这些子区间长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ ， $i=1, \cdots, n$ ，定义分划 $P$ 的细度为这些子区间长度中的最大数：

$$
\|P\|=\max \left\{\Delta x_1, \cdots, \Delta x_n\right\}
$$

（分划也可称为分割或划分，分划的细度也称为模或长度．）
在分划中最简单的是等距划分，即 $\Delta x_1=\cdots=\Delta x_n=\frac{b-a}{n}=\|P\|$ ．这时 $n \rightarrow \infty$ 就是 $\|P\| \rightarrow 0$ 。

定义10.2（**Riemann 和的定义**）设 $f$ 于 $[a, b]$ 上有定义。任取 $[a, b]$ 的一个分划 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n\right\}$ ，又对于由 $P$ 生成的每个子区间任取一个介点 $\xi_i \in\left[x_{i-1}, x_i\right], i=1, \cdots, n$ ，然后作出一个有限和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i
$$

将它称为 $f$ 的一个 Riemann 和，或者更确切地说是由分划 $P$与介点集 $\xi=\left\{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right\}$ 共同确定的一个 Riemann 和。

在图10．2中作出了在 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上的曲边梯形的外接矩形和内接矩形．$f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 就是底边长 $\Delta x_i$ 和高为 $f\left(\xi_i\right)$ 的矩形面积，它不大于外接矩形面积，也

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