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数学分析
第五篇一元函数积分学
定积分-面积计算的新方法
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更新:
2025-03-16 09:02
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定积分-面积计算的新方法
## 10.1 定积分与微积分基本定理 ## 10.1.1 面积计算的新方法 在第九章开始围绕面积计算问题的启发式讨论(参见图 9.1)使我们看到求导数运算的逆运算的重要性.然而其中留下了几个重要问题没有解决,首先是还不知道如何给出曲边梯形面积 $S(x)$ 的定义,然后是如何证明它可导,且成立 $S^{\prime}(x)=f(x)$ .同理可知,在例题 9.1 中对于抛物线 $y=x^2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 下的曲边梯形面积计算也存在同样的问题.为了解决这些问题我们需要全新的思想和方法. 从一个简单例子开始,这就是例题 9.1 中的那个曲边梯形的面积计算问题,但将采取完全不同的方法.下面我们结合图 10.1 来介绍这里的新方法.  如图 10.1 所示,考虑由 $y=x^2, y=0$ 和 $x=1$ 围成的曲边梯形(实际上是一个曲边三角形)的面积.这里还可与图 9.2 所提示的方法比较. 在分图(a)中,将区间 $[0,1]$ 作 $n$ 等分,这时的所有分点和区间的端点一共有 $n+1$ 个,按照大小可以排列为 $$ 0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots<\frac{n-1}{n}<\frac{n}{n}=1 $$ 这样就将原来的曲边梯形划分为 $n$ 个狭长的曲边梯形。它们的底边长度都是 $1 / n$ . 如分图(a)所示,对于其中第 $i$ 个曲边梯形,它包含一个底边相同而高为 $\frac{(i-1)^2}{n^2}$ 的内接矩形。同时又可以作出有相同底边而高为 $\frac{i^2}{n^2}$ 的外接矩形,它包含第 $i$ 个曲边梯形。 先考虑所有的
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