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定积分-面积计算的新方法

## 10.1 定积分与微积分基本定理
## 10.1.1 面积计算的新方法
在第九章开始围绕面积计算问题的启发式讨论（参见图 9．1）使我们看到求导数运算的逆运算的重要性．然而其中留下了几个重要问题没有解决，首先是还不知道如何给出曲边梯形面积 $S(x)$ 的定义，然后是如何证明它可导，且成立 $S^{\prime}(x)=f(x)$ ．同理可知，在例题 9.1 中对于抛物线 $y=x^2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 下的曲边梯形面积计算也存在同样的问题．为了解决这些问题我们需要全新的思想和方法．

从一个简单例子开始，这就是例题 9.1 中的那个曲边梯形的面积计算问题，但将采取完全不同的方法．下面我们结合图 10.1 来介绍这里的新方法．
 ![图片](/uploads/2025-02/942640.jpg)
 如图 10.1 所示，考虑由 $y=x^2, y=0$ 和 $x=1$ 围成的曲边梯形（实际上是一个曲边三角形）的面积．这里还可与图 9.2 所提示的方法比较．
 
在分图（a）中，将区间 $[0,1]$ 作 $n$ 等分，这时的所有分点和区间的端点一共有 $n+1$ 个，按照大小可以排列为

$$
0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots<\frac{n-1}{n}<\frac{n}{n}=1
$$

这样就将原来的曲边梯形划分为 $n$ 个狭长的曲边梯形。它们的底边长度都是 $1 / n$ ．
如分图（a）所示，对于其中第 $i$ 个曲边梯形，它包含一个底边相同而高为 $\frac{(i-1)^2}{n^2}$ 的内接矩形。同时又可以作出有相同底边而高为 $\frac{i^2}{n^2}$ 的外接矩形，它包含第 $i$ 个曲边梯形。

先考虑所有的内接矩形，即对于 $i=1, \cdots, n$ 的点集

$$
\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{i-1}{n} \leqslant x \leqslant \frac{i}{n}\right., 0 \leqslant y \leqslant\left(\frac{i-1}{n}\right)^2\right\}
$$

这样就得到分图（b）．不难计算出所有内接矩形面积之和为

$$
\begin{aligned}
S_n & =\frac{1}{n} \cdot 0+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n-1} i^2 \\
& =\frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n-1)(2 n-1)}{6}=\frac{(n-1)(2 n-1)}{6 n^2}
\end{aligned}
$$

令 $n \rightarrow \infty$ 就得到极限值为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\frac{1}{3}
$$

问题：每一个狭长的曲边梯形与上述矩形之间还有一个小小的曲边三角形，当 $n$ 趋于无穷大时，这些三角形的个数也趋于无穷大，而每一个三角形的面积趋于 0 ，于是它们的面积之和就是 $0 \cdot \infty$ 型的不定式。其极限是否是 0 ？如果不是 0 ，则上面的计算结果就未必是原来的曲边梯形的面积。

现在采用夹逼方法，即对每一个底边长度为 $1 / n$ 的狭长的曲边梯形，同时考虑包含它的外接矩形，即平面点集

$$
\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{i-1}{n} \leqslant x \leqslant \frac{i}{n}\right., 0 \leqslant y \leqslant\left(\frac{i}{n}\right)^2\right\}
$$

其中 $i=1, \cdots, n$ ．再计算所有外接矩形面积之和，记为 $S_n^{\prime}$ ，即有

$$
\begin{aligned}
S_n^{\prime} & =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{n}\left(\frac{n}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 \\
& =\frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6 n^2}
\end{aligned}
$$

由此可见有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime}=\frac{1}{3}
$$

这同时也证明了 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_n^{\prime}-S_n\right)=0$ ，即前面的 $0 \cdot \infty$ 型的不定式的极限只能是 0 ．
虽然我们并没有对于曲边梯形面积给出定义，但从上面的计算可以看出，无论如何定义曲边梯形的面积 $S$ ，只要这个定义合理，则总应该满足不等式
$$
S_n \leqslant S \leqslant S_n^{\prime}
$$

因此只能得到 $S=\frac{1}{3}$ ．这里夹在中间的不是数列，因此不能用现成的夹逼定理．然而夹逼的思想仍然有效。

在这个例子的以上计算中恰好可以利用 $n$ 个正整数的平方和公式。这有偶然性．对于其他的一般函数就不知道如何做了．然而从下面可见，上述例子中所体现出来的许多新思想是与积分学理论密切有关的．这就是本书要介绍的 Riemann 积分．当然它后来又发展成为 Lebesgue 积分，但我们认为在本科的数学分析中还是应当以 Riemann 积分为主来介绍积分学。

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